趙東東

（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

一、數(shù)學(xué)符號概述

1.歷史介紹類

桂質(zhì)亮從原始計數(shù)符號、數(shù)字符號以及代數(shù)幾何符號三個方面對古代數(shù)學(xué)符號的發(fā)展、演變進(jìn)行了敘述，并指出：相對于計數(shù)技巧，原始計數(shù)符號對數(shù)學(xué)的發(fā)展具有更基本、更重要的作用；該時期形成了大致完善的數(shù)字符號系統(tǒng)，在代數(shù)幾何領(lǐng)域不成系統(tǒng)地出現(xiàn)了一些縮寫與象形符號。

此外，徐美進(jìn)基于對數(shù)學(xué)符號的分類，從表示數(shù)與量的符號、表示某種運(yùn)算的符號（即運(yùn)算符號）、表示某種關(guān)系的符號以及僅作為記號的符號等四個方面論述了數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生、演變和發(fā)展。托和勒理則論述了在數(shù)學(xué)符號化的發(fā)展進(jìn)程中數(shù)的記號的產(chǎn)生以及代數(shù)的符號化，此外也介紹了笛卡爾和萊布尼茨關(guān)于符號化的思想以及數(shù)理邏輯興起所具有的深遠(yuǎn)意義。

2.數(shù)學(xué)符號界定

薛茂芳認(rèn)為：數(shù)學(xué)符號有兩種含義。一種是單指表示數(shù)學(xué)概念的符號；另一種泛指整個數(shù)學(xué)符號體系。它既包括表示數(shù)學(xué)概念的符號，又包括表示數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證適用的所有符號以及其他專用符號，等等。

徐美進(jìn)將數(shù)學(xué)符號分為四類：表示數(shù)與量的符號、表示某種運(yùn)算的符號（即運(yùn)算符號）、表示某種關(guān)系的符號以及僅作為記號的符號。

3.數(shù)學(xué)符號特點(diǎn)

時靖認(rèn)為數(shù)學(xué)符號具有統(tǒng)一性。與一般語言系統(tǒng)不同，數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)每個符號都有具體含義，有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。此外，數(shù)學(xué)符號還具有抽象、簡潔、準(zhǔn)確、層次性和系統(tǒng)性等特點(diǎn)。

桂質(zhì)亮指出：數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)具有約定性、規(guī)范性、簡潔性、準(zhǔn)確性、形式化，以及層次性、系統(tǒng)性等特點(diǎn)。

4.數(shù)學(xué)符號功能

桂質(zhì)亮認(rèn)為數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的功能體現(xiàn)在傳達(dá)數(shù)學(xué)思想、簡化數(shù)學(xué)推理、輔助數(shù)學(xué)思維以及自我生成等方面。

托和勒理認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)是認(rèn)識的載體、描述的手段以及推理的工具。它可以有效約簡思維、加快思維進(jìn)程。此外，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)使思維得以規(guī)范，促進(jìn)了思維的機(jī)械化并且使思維過程演算化、計算化，使人機(jī)對話成為可能。

二、數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)與教學(xué)

1.數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)

戴風(fēng)明對符號學(xué)習(xí)的困難成因進(jìn)行了分析，認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)困難成因主要有：（1）學(xué)生沒有理解數(shù)學(xué)符號的意義；（2）在使用數(shù)學(xué)符號時受負(fù)遷移影響；（3）缺乏將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言的能力；（4）缺乏數(shù)學(xué)語言識別的能力。

2.數(shù)學(xué)符號教學(xué)與應(yīng)用

王成營認(rèn)為，承載數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)符號自成體系，除具有文字語言、符號語言和圖表語言三種等價的符號形式外，還具有基本意義、聯(lián)想意義、轉(zhuǎn)換意義等不同的符號意義?；诖?，數(shù)學(xué)符號意義獲得能力具有多元性、層次性以及發(fā)展性。它以數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)為例，給出了培養(yǎng)學(xué)生符號意義獲得能力的四個階段，即符號的識別與切分、符號意義的聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)、符號意義的整合與優(yōu)化、符號的操作與表征等。

時靖認(rèn)為，在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中一方面要使學(xué)生正確書寫讀出數(shù)學(xué)符號和準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)符號的意義；另一方面則需加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的表述。

戴風(fēng)明認(rèn)為，在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律并用符號來表示。此外，還應(yīng)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)特征從而克服學(xué)習(xí)上的負(fù)遷移，通過讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)語言各種形態(tài)之間的互譯來增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識等。

……

3.數(shù)學(xué)符號意識

戴風(fēng)明認(rèn)為，教學(xué)中應(yīng)從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識：（1）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；（2）使學(xué)生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，并能用符號表示；（3）使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)特征；（4）使學(xué)生能對數(shù)學(xué)語言在各形態(tài)間互譯；（5）借助問題解決增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識；

李幫魁，吳行鵬認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生符號意識應(yīng)注意：（1）充分利用“表征”，豐富學(xué)生的符號語言，加深認(rèn)識。在教學(xué)實踐中，應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷“從具體事物個性化的符號表示學(xué)會數(shù)學(xué)的表示”的符號化表征過程，豐富符號語言，為進(jìn)行符號思維奠定基礎(chǔ)。（2）掌握不同符號間的轉(zhuǎn)換。在生活和學(xué)習(xí)中，通過用多種形式表述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象，可以有效獲得對概念本身或問題背景的深入理解。

在教學(xué)實踐方面，萬兆榮以蘇教版“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)為例，介紹了如何有效引導(dǎo)學(xué)生建立符號意識。

三、其他相關(guān)研究

郭思樂認(rèn)為：基礎(chǔ)教育中諸多問題的根源在于對課程的本質(zhì)認(rèn)識局限于符號研究課程本體。符號研究課程本體注重把握符號的自身形式，脫離了生活和實際，忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。相反，符號實踐課程本體拒絕無意義的形而上重復(fù)，把指向生活實際作為符號使用實踐的最終取向，從而利于形成個性化的符號文化、利于提高教育的質(zhì)量和效率。他進(jìn)一步提出，揭示兩種課程本體的機(jī)理并真正實現(xiàn)由符號研究課程本體向符號實踐課程本體的回歸是深入進(jìn)行課程改革的關(guān)鍵。

喻紹梧從數(shù)學(xué)語言的特征、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言的建構(gòu)等出發(fā)對數(shù)學(xué)語言以及數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了論述。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)中的引進(jìn)與應(yīng)用有利于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。引入符號來代表“數(shù)”是代數(shù)成為一門學(xué)科的關(guān)鍵性的一步。此外，他認(rèn)為“符號的引進(jìn)不僅具有表述的作用，而且還有創(chuàng)造的作用?！?/p>

四、小結(jié)與研究展望

之前國內(nèi)對數(shù)學(xué)符號的研究涉及領(lǐng)域相對較廣。從縱向發(fā)展來看，國內(nèi)對數(shù)學(xué)符號的研究由起初的歷史介紹與理論探究逐步豐富、發(fā)展并且深入，與實踐教學(xué)聯(lián)系越發(fā)緊密；從橫向來看，數(shù)學(xué)符號研究內(nèi)容不斷豐富，如數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言的相關(guān)研究、數(shù)學(xué)符號的識別等，在博碩士論文中還有相關(guān)的調(diào)查研究與教學(xué)策略探究。此外，作為課程標(biāo)準(zhǔn)重要內(nèi)容的數(shù)學(xué)符號意識受到重視且研究文章數(shù)增長較快。

1.增加實證性的量化研究，建立相應(yīng)的評估量表

對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行的理論探討文章雖然較多且涉及面較廣，但是實證性的量化研究卻不多。隨著當(dāng)今“大數(shù)據(jù)”時代的到來，應(yīng)該充分利用和發(fā)揮數(shù)字的力量，針對部分研究方向進(jìn)行量化研究。此外，還應(yīng)建立相應(yīng)的評估量表，從而得到量化的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析。如，在研究數(shù)學(xué)符號意識時，有了相應(yīng)的評估量表就可以得到不同年齡階段、不同符號意識方面學(xué)生的發(fā)展水平，從而分階段、有針對性地根據(jù)相應(yīng)理論（如“最近發(fā)展區(qū)”）進(jìn)行教學(xué)活動。

2.加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號實踐教學(xué)方面的專門研究

縱覽數(shù)學(xué)符號相關(guān)文獻(xiàn)，雖然博碩士論文中有不少調(diào)查類文章、數(shù)學(xué)符號教學(xué)策略類文章，但與實踐教學(xué)相結(jié)合的、對實際教學(xué)產(chǎn)生直接引導(dǎo)與示范作用的高層次文章較少。教育理論的發(fā)展應(yīng)注重在實際生活中的應(yīng)用，充分發(fā)揮其對實踐教學(xué)的引領(lǐng)作用。

［1］桂質(zhì)亮.古代數(shù)學(xué)符號的發(fā)展與演變［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1989，23（03）：447-455.

［2］徐美進(jìn).數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)中的作用［J］.遼寧工學(xué)院學(xué)報，1996，16（04）：77-81.

［3］托和勒理.數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的形成與認(rèn)識功能［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，1995（02）：31-37.

［4］薛茂芳.數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1986（02）：92-95.

［5］時靖.淺談數(shù)學(xué)符號［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報：教育科學(xué)版，2011，24（12）：123-124.

［6］桂質(zhì)亮.論數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的特點(diǎn)與功能［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1990，24（04）：509-515.

［7］戴風(fēng)明.淺談增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的教學(xué)途徑［J］.教育與職業(yè)，2005（35）：129-130.

［8］李幫魁，吳行鵬.數(shù)學(xué)符號意識的形成途徑［J］.教育科學(xué)論壇，2012（02）：44-45.

［9］萬兆榮.展示建模過程，建立符號意識：關(guān)于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)思考［J］.教學(xué)與管理，2014：40-42.

［10］郭思樂.課程本體：從符號研究回歸符號實踐［J］.教育研究，2003（07）：72-78.

［11］喻紹梧.數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報，2002，18（05）：62-66.