李三華

(井岡山大學(xué) 數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 吉安 343009)

在高等院校數(shù)學(xué)系開設(shè)《初等數(shù)學(xué)研究》這一課程，主要是為了數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生將來能從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作。眾所周知，《初等數(shù)學(xué)研究》課程旨在“居高臨下”地對初等數(shù)學(xué)從內(nèi)容到理論體系、知識結(jié)構(gòu)有一個系統(tǒng)深入的研究，［1］雖然這門課程中大多數(shù)概念和原理為學(xué)生所熟悉，但是學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的積極性不是很高，總覺得太簡單而不像對待其他數(shù)學(xué)專業(yè)知識那么重視。另外，作為高校教育工作者有時會把高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)割裂開來，［2］不會考慮到用高等數(shù)學(xué)的思想、知識、方法來解決初等數(shù)學(xué)問題，也不會考慮把初等數(shù)學(xué)問題放在數(shù)學(xué)文化背景下教學(xué)，以身試教為學(xué)生作榜樣。如此下去，學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程的時候，感覺自己還是像中學(xué)生一樣處理初等數(shù)學(xué)問題，完全不會把所學(xué)的大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行考慮問題，導(dǎo)致學(xué)生的思維能力回到了中學(xué)生時代的原點，更何況談及學(xué)生創(chuàng)新思維能力、探索能力的培養(yǎng)與陶冶學(xué)生數(shù)學(xué)文化情操。

鑒于以上情況，從文化視角［3］下對初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)中作了一些深入的改革，主要從高等數(shù)學(xué)知識在這門課程中充分挖掘與之相關(guān)的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容并如何調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，更新傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育觀念、轉(zhuǎn)變已有的教學(xué)方式，以符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育目的的全面貫徹，即適合社會大眾的需要。

1 利用高等數(shù)學(xué)知識挖掘初等數(shù)學(xué)研究中容易忽視的內(nèi)容，注重學(xué)生的個人體驗

初等數(shù)學(xué)是一門綜合性學(xué)科，涉及了各個方面的數(shù)學(xué)知識，其內(nèi)容看似簡單，但與高等數(shù)學(xué)的牽連極其緊密，需要高等數(shù)學(xué)來進(jìn)行研究解釋緣由及發(fā)展過程，挖掘它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延、解題思路、數(shù)學(xué)文化等。因而在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)中，結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識，提出課題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究及查找文獻(xiàn)資料。

1.1 突出數(shù)論在初等數(shù)學(xué)研究的教育文化價值，促使學(xué)生對問題的思考及解決

初等數(shù)學(xué)研究中一些細(xì)小的內(nèi)容很容易被學(xué)生忽視，認(rèn)為它們極其簡單，其實不然，這些內(nèi)容表面上看起來確實顯而易見的，但是要學(xué)生說出其緣由來，估計很難道出個一二。這就需要教師利用高等數(shù)學(xué)來挖掘初等數(shù)學(xué)研究中細(xì)小內(nèi)容。比如在有理數(shù)域中提到分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化:有理數(shù)，當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5 時，則可化為有限小數(shù)。當(dāng)分母n 含有2 和5 以外的其它質(zhì)因數(shù)時，則可化為循環(huán)小數(shù)。這個教學(xué)內(nèi)容一不小心就會跳過，不會被學(xué)生注意到，就算看見了，也不會把它作為一個研究問題去考慮。因此，這就要求教師對這個內(nèi)容的處理，如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地探究這個問題的緣由以及相關(guān)研究問題。首先，引導(dǎo)學(xué)生把已經(jīng)學(xué)過的數(shù)論的相關(guān)知識和定理從腦海中回顧起來，或者作為課堂討論形式來說明為什么當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5 時，則可化為有限小數(shù)。而為什么當(dāng)分母n 含有2 和5 以外的其它質(zhì)因數(shù)時，則可化為循環(huán)小數(shù)，此時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)循環(huán)小數(shù)分兩種情形，一種是純循環(huán)小數(shù)，另一種是混循環(huán)小數(shù)，接著提問具備什么條件下，有理數(shù)是純循環(huán)還是混循環(huán)小數(shù)呢?然后要利用歐拉定理和費馬定理在研究循環(huán)小數(shù)的作用，進(jìn)一步深入說明有理數(shù)能表成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件是n 與10 互質(zhì)以及當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5，其他質(zhì)因數(shù)與10 互質(zhì)時，有理數(shù)可以表成混循環(huán)小數(shù)。在這個過程中，讓學(xué)生查詢數(shù)論資料來分析上述問題，在分析過程中，更能清楚地認(rèn)識到同余、簡化剩余系的概念及性質(zhì)，并把這些性質(zhì)來理解上述兩個著名的定理。用數(shù)論的觀點，使學(xué)生意識到課本上幾行字間都能透出深奧的數(shù)學(xué)文化知識，使學(xué)生對在中小學(xué)時代在頭腦中建構(gòu)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行了調(diào)整，對這部分知識的認(rèn)識提高了層次，同時學(xué)習(xí)目的性增強(qiáng)了。利用數(shù)論知識指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)，學(xué)生自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)也得到了培養(yǎng)，進(jìn)而更能激發(fā)學(xué)習(xí)的主動性。

1.2 初等數(shù)學(xué)研究也可激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的情感

目前，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)逐步進(jìn)入了大學(xué)數(shù)學(xué)各個學(xué)科的教學(xué)中，在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)也不例外，也需要數(shù)學(xué)史融入其中，使教學(xué)內(nèi)容豐富起來，不至于學(xué)生僅限于如何解題而感到疲乏，而且更助于學(xué)生理解其他高等數(shù)學(xué)知識，學(xué)生自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)也得到了進(jìn)一步的提高。

比如數(shù)系的擴(kuò)充，［4］首先自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中的需要。利用多媒體把繩結(jié)法和中國古代的甲骨文記數(shù)法展現(xiàn)出來，使學(xué)生從視覺上就知道了古代人們是如何來記數(shù)的以及認(rèn)識我國古代的甲骨文中的“數(shù)”字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù)，由此理科的學(xué)生也知道“數(shù)”是個象形文字。然后由有理數(shù)談到實數(shù)，添了無理數(shù)。新數(shù)的產(chǎn)生不是一帆風(fēng)順的，正是由于它的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)”信條，［5］引起了數(shù)學(xué)界思想的混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。接著當(dāng)無理數(shù)的位置確定后，人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，例如最簡單的二次方程x2+1 = 0 在實數(shù)范圍是沒有解的。從12 世紀(jì)到16 世紀(jì)數(shù)學(xué)史上主要關(guān)心的問題是解決三次方程和四次方程，都要利用到負(fù)數(shù)平方根，在那個年代負(fù)數(shù)本身就是令人懷疑的，負(fù)數(shù)的平方根就更加荒謬了，所以有人稱負(fù)數(shù)平方根是“不可捉摸而無用的東西”。直至17 世紀(jì)，“虛數(shù)”這個名詞由著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因為當(dāng)時的觀念認(rèn)為這是真實不存在的數(shù)字。虛數(shù)，人們開始稱之為“實數(shù)的鬼魂”，1637 年笛卡兒稱為“想像中的數(shù)”，后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應(yīng)平面上的縱軸，與對應(yīng)平面上橫軸的實數(shù)同樣真實。1777 年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)開始使用符號i 表示虛數(shù)的單位，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并把它們應(yīng)用到水利學(xué)、地圖繪制學(xué)上。19 歲的高斯通過復(fù)數(shù)原理，成功解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，同時將直角坐標(biāo)平面上的點和復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，是復(fù)數(shù)領(lǐng)域的集大成者。至此虛數(shù)才廣為人知。真是:虛數(shù)不虛。如此看來，數(shù)的產(chǎn)生都要經(jīng)歷幾個世紀(jì)，才被大眾接受，學(xué)生由此感覺到每個事物都是來之不易，感受到數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)高峰的堅強(qiáng)意志的攀登。利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)，不但使學(xué)生對數(shù)學(xué)中每個概念有了前前后后的了解，而且讓學(xué)生得到了數(shù)學(xué)文化的熏陶，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)追求的精神帶到學(xué)習(xí)當(dāng)中去。

1.3 揭示初等數(shù)學(xué)研究內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)知識相互呼應(yīng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

大家都知道，利用高等數(shù)學(xué)知識和方法研究初等數(shù)學(xué)的概念、原理、方法和問題，能使學(xué)生“居高臨下”的學(xué)習(xí)，是主動接受信息和創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生過程。反過來，初等數(shù)學(xué)的研究方法同樣會對高等數(shù)學(xué)知識和方法產(chǎn)生鞏固和啟發(fā)的作用。

比如實數(shù)的概念，初等數(shù)學(xué)研究中首先給出正實數(shù)的定義:正的十進(jìn)小數(shù)叫做正實數(shù)，然后定義實數(shù)是正實數(shù)、負(fù)實數(shù)和0 的總稱。緊接著介紹有理閉區(qū)間套，運用數(shù)學(xué)分析的區(qū)間套定理說明存在唯一的一個實數(shù)。按照這個順序講解的話，學(xué)生可能會想這個有理閉區(qū)間套定理怎么憑空產(chǎn)生的呢。不妨先從康托的基本序列說來介紹實數(shù)的定義，它是指有理數(shù)的基本序列的等價類稱為實數(shù)。其基本思想:把無限小數(shù)看作是一個有限小數(shù)序列的極限，例如:1.4，1.41，1.414，1.4142，……。再介紹戴德金分割說:有理數(shù)的戴德金分割稱為實數(shù)，有端點分割稱為有理數(shù)，無端點分割稱為無理數(shù)。它的基本思想是:有理數(shù)在直線上分布是稠密的，但是不連續(xù)的，存在“漏洞”。“洞”是一個無法從自身的結(jié)構(gòu)來定義的概念，但是“洞”在直線上對其他點起到“分割”的作用。如此這樣，學(xué)生自然而然覺得構(gòu)造有理區(qū)間套是有歷史依據(jù)的，只要取這個實數(shù)的不足近似值和過剩近似值，構(gòu)成一系列的有理數(shù)列。同時，學(xué)生也就明白了數(shù)學(xué)分析課本中如何會有閉區(qū)間套定理也是現(xiàn)實背景材料的，也致使學(xué)生在這方面的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)更加鞏固和提高。另外，初等數(shù)學(xué)研究還介紹實數(shù)的加減乘除以及開方都是構(gòu)造了一系列不同的有理區(qū)間套來進(jìn)行證明的，學(xué)生讀到這里，心里也就一切開闊明亮了，不需要像以前讀數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)間套定理只是死背死理解，那么在此就有很好的實例加以深刻理解。

2 轉(zhuǎn)變初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)方式，擴(kuò)大學(xué)生的活動探究領(lǐng)域

初等數(shù)學(xué)中的各個部分，各個專題的題目都很多，學(xué)生學(xué)習(xí)它們不可能像中學(xué)生一樣，仍處于中學(xué)時代所學(xué)習(xí)的知識、方法來解決問題或者一味地機(jī)械做題，使初等數(shù)學(xué)脫離了高等數(shù)學(xué)，無法達(dá)到教育的首要目標(biāo)在于造就能夠創(chuàng)新的人才。這就希望教師精心策劃教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生特點，把教材處理得當(dāng)，引導(dǎo)學(xué)生從被動地接受知識轉(zhuǎn)變到主動地、創(chuàng)新地組成自己的知識結(jié)構(gòu)，給學(xué)生一個活動探究空間。

2.1 在初等數(shù)學(xué)研究中引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行探索，還原數(shù)學(xué)方法本貌

數(shù)學(xué)方法是從個別的解題目的過程中，提煉出普遍的、一般方法，反過來再用數(shù)學(xué)方法來指導(dǎo)解決具體問題，這些對于教師來都是非常重要的能力，那么在初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)中更加要給學(xué)生充分的探究空間，［6］還原數(shù)學(xué)方法本來形成的過程。

比如多項式的因式分解，是一種與多項式乘法相反的恒等變形過程。和多項式乘法有固定的運算程序截然不同，因式分解往往使人感到難度較大，沒有刻板程式可以依循，有一些突發(fā)奇想的因式分解的高度技巧性，也是學(xué)生難以想到的。在此，我們就是要把這種高度技巧性的數(shù)學(xué)方法給還原出來。例如，在有理數(shù)集內(nèi)分解x5+ x－1 的因式，課本上的解法就是由視察法，本題無一次因式。因為x5和x 的次數(shù)相差太大，可考慮添加一些中間項，使它們產(chǎn)生聯(lián)系，即x5+ x－1 = x5+ x2－x2+ x－1 = x2(x3+1)－ (x2－ x +1)= x2(x +1)(x2－x +1)－ (x2－x +1)= (x2－x+1)(x3+x2－1)。面對這些陌生的因式分解題，為什么要添加中間項這一方法，往往使人感到束手無策。下面我們就還原這個過程。先用綜合除法分析原式在有理數(shù)集上沒有一次因式。假定原式含有x 的二次因式和x 的三次因式。設(shè)x5+ x－1 = (x2+ mx + n)(x3+ kx2+ lx + q)= x5+ (k+ m)x4+ (l + mk + n)x3+ (q + ml + kn)x2+ (mq + nl)x +nq，比較等式兩端對應(yīng)項的系數(shù)，經(jīng)合理計算得出m =－1，n = 1，k = 1，l = 0，q =－1 。此過程完全可由學(xué)生自己推算出來，如同起初研究者一樣，研究解題思路，還原解題方法，歸納總結(jié)一系列的類似題型，得出經(jīng)驗。當(dāng)然，經(jīng)過這樣的思維和聯(lián)想，繼而培養(yǎng)自己的聯(lián)想能力和發(fā)散思維能力，這都是有效的途徑。再次碰到類似題型就知道要添加哪些中間項，如何分組分解，如在有理數(shù)域上分解x4+x3－5x－3 的因式，也是添加中間項x2，得到原式= x4－x + x3+x2－2x－x2－2x－3 = x(x3－1)+x(x2+x－2)－(x2+2x +3)= x(x－1)(x2+2x +3)－(x2+2x +3)= (x2+2x +3)(x2－x－1)。

2.2 在初等數(shù)學(xué)研究中引導(dǎo)學(xué)生對案例進(jìn)行反思，轉(zhuǎn)變學(xué)生自己的角色

在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)過程中，有時候不需要講太深奧的知識以及中學(xué)不涉及的問題與方法，而多講中學(xué)數(shù)學(xué)未探索的又對中學(xué)數(shù)學(xué)有用的東西，講一些學(xué)生在中學(xué)時代容易忽略的問題。

如方程是初等代數(shù)最基本的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)各分支及其它許多學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。方程和方程組的中心問題是求解，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中的方程理論，是以集合和函數(shù)概念為基礎(chǔ)、以解析式的恒等變形為主要工具展開。大家都知道解方程的過程，是通過對等式兩邊的解析式進(jìn)行一系列變形來實現(xiàn)的，在變形過程中要判別方程的解是否“失真”，在中學(xué)里老師只是告訴學(xué)生哪些方程該要注意失根或增根，對于“為什么”的問題沒有給出具體的理論依據(jù)。在初等數(shù)學(xué)研究中，教師提出以上問題，引導(dǎo)學(xué)生在課本里尋找真正的答案。此時，學(xué)生就要把自己當(dāng)成一個老師，指出方程的解是否“失真”，與方程的同解性有關(guān)，即方程經(jīng)過恒等變形后，新方程與原方程的定義域要相同，則兩個方程才同解。有了這個定理，對于常見方程的解法的同解性分析，就變得簡單多了，例如分式方程、無理方程等，再也不需要像中學(xué)一樣進(jìn)行機(jī)械地記憶并出錯，容易忘記。

初等數(shù)學(xué)研究還涉及到一些中學(xué)數(shù)學(xué)的邊緣問題。比如方程組的解法，如果一個二元二次方程組中有一個是二元一次方程，或者兩個都是二元二次方程，但可通過加減消元法消去二次項或其中有一個可以分解成一次因式的，這些在中學(xué)數(shù)學(xué)里都有詳述。但是一些特殊類型的二元二次與二元三次方程組，就要根據(jù)方程組的具體特征，采用適當(dāng)方法消元、降次及分解因式等。對于方程組內(nèi)至少有一個初等超越方程，它沒有系統(tǒng)的初等解法可循，但對于某些特殊的超越方程組，則可根據(jù)其特點采用適當(dāng)?shù)某醯确椒ㄇ蠼?，并依?jù)有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合所給方程的具體特征考慮其解法。這些問題，教師都可以適當(dāng)?shù)嘏e例，引導(dǎo)學(xué)生動手動腦，讓學(xué)生自己嘗試分析一個題目或講述一個專題，教師加以指導(dǎo)、補(bǔ)充。

［1］張志敏. 充分發(fā)揮《初等數(shù)學(xué)研究》課的教育教學(xué)價值［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996，5(1):86－90.

［2］邵光華. 高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)“初等數(shù)學(xué)研究”教學(xué)改革初探［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996，5(3):42－45.

［3］鄧東皋，孫小禮，張祖貴. 數(shù)學(xué)與文化［M］. 北京:北京大學(xué)出版社，1990.

［4］李長明，周煥山. 初等數(shù)學(xué)研究［M］. 北京:高等教育出版社，1995.

［5］李文林. 數(shù)學(xué)史概論［M］. 北京:高等教育出版社，2000.

［6］劉忠東.《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》課堂的主體性分析和教學(xué)模式構(gòu)建［J］. 宜春學(xué)院學(xué)報，2012，34(12):142－145.