夏　夢(mèng)(上海交通大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,上海200240)

各向同性硬化參數(shù)對(duì)板料成形極限曲線計(jì)算結(jié)果的影響

夏夢(mèng)(上海交通大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,上海200240)

摘要：板料的成形極限曲線可以通過材料的本構(gòu)方程結(jié)合塑性失穩(wěn)理論進(jìn)行計(jì)算得到。本文使用了金屬的彈塑性本構(gòu)模型結(jié)合極限點(diǎn)分叉理論進(jìn)行計(jì)算，研究了各向同性硬化指數(shù)n及強(qiáng)度系數(shù)k對(duì)金屬材料的成形極限的影響。

關(guān)鍵詞：各向同性硬化參數(shù)；成形極限曲線；塑性失穩(wěn)理論

1　導(dǎo)論

板料的成形極限反映了它在加工達(dá)到塑性失穩(wěn)前能獲得的最大的變形程度，是板材成形的重要性能指標(biāo)。1965年Keeler[1]及Goodwin[2]提出的以極限應(yīng)變構(gòu)成的成形極限曲線（FormingLimitCurve，F(xiàn)LC）為定量衡量板材拉伸失穩(wěn)極限提供了一種簡(jiǎn)便實(shí)用的工具，至今仍廣泛應(yīng)用于板材成形領(lǐng)域。成形極限曲線可以通過試驗(yàn)測(cè)定和理論計(jì)算兩種方法獲得，其中理論計(jì)算主要是通過采用不同的屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系，利用拉伸失穩(wěn)準(zhǔn)則作為頸縮或斷裂發(fā)生的判據(jù)來進(jìn)行的[3]。隨著有限元法及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，板材成形極限圖的理論計(jì)算更容易實(shí)現(xiàn)，其應(yīng)用也更加廣泛。

材料的應(yīng)變硬化能力決定了材料在頸縮前依靠硬化使材料均勻變形的能力的大小，顯然，材料的應(yīng)變硬化參數(shù)對(duì)它的成形極限有著很大的影響。本文用彈塑性本構(gòu)模型表征材料的力學(xué)行為，以極限點(diǎn)分叉理論作為頸縮發(fā)生的判據(jù)，使用ABAQUS進(jìn)行了金屬材料的成形極限曲線的預(yù)測(cè)計(jì)算，通過控制變量法研究了各向同性硬化指數(shù)n及強(qiáng)度參數(shù)k對(duì)成形極限曲線計(jì)算結(jié)果的影響。

2　材料的力學(xué)行為

計(jì)算使用的材料為彈塑性材料。當(dāng)金屬材料經(jīng)歷大變形時(shí)，其彈性變形遠(yuǎn)小于塑性變形，其力學(xué)行為一般采用次彈塑性模型來表征[4]，次彈性響應(yīng)定律為：

其中HY為一個(gè)標(biāo)量模量，它與材料各向同性強(qiáng)化常數(shù)有關(guān)，Cep為四階彈塑性切線模量的Voigt矩陣形式，a為表征加載方式的指數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)表示塑性加載，a=0表示彈性加載或卸載。

一般情況下，材料在斷裂前內(nèi)部組織會(huì)發(fā)生惡化，因此本文引入Lemaitre損傷理論提出的損傷標(biāo)量d來表征金屬材料中的微裂紋、孔隙等微損傷，變量d的定義為：

式中S、Sdef、Seff分別表示單位體積單元上某截面的面積、該截面的損傷面積及該截面的有效承載面積。在Lemaitre模型中，如果考慮微裂紋和微空洞的方向性，那么d就是法向量的函數(shù)，本文中假設(shè)損傷是各向同性的，即金屬在各方向上微缺陷都是相同的，因此將損傷變量d作為標(biāo)量考慮且取值區(qū)間為[0,1]。d等于0時(shí)表示單元完全無損傷，d等于1時(shí)表示單元完全受損分裂成兩部分。

那么在此模型下材料某截面上的有效應(yīng)力與名義應(yīng)力之間則具有如下關(guān)系：

二者關(guān)系的物理解釋為損傷系數(shù)為d的單位體積元某截面名義應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變等效于無損傷的單位體積元該截面上有效應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變。損傷參數(shù)d的演化方程為：

其中Hd為一個(gè)標(biāo)量模量，與材料常數(shù)β、Sa、sb，彈性應(yīng)變能釋放率Ye及其閾值Yei有關(guān)。

使用式（6）新定義的有效應(yīng)力取代公式（1）（2）（3）中的應(yīng)力張量，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到新的應(yīng)力率與總變形率之間的關(guān)系為：

式（5）與式（9）即為我們計(jì)算時(shí)使用的材料本構(gòu)方程，計(jì)算時(shí)將以上本構(gòu)關(guān)系通過UMAT用戶子程序?qū)崿F(xiàn)，程序中采用4階龍格庫(kù)塔算法來進(jìn)行應(yīng)力迭代更新。

3　Va lanis極限點(diǎn)分叉理論

極限點(diǎn)分叉理論是一種預(yù)測(cè)材料的分散性失穩(wěn)的理論，最早由Valanis在1989年提出，所以又稱為Valanis極限點(diǎn)分叉理論，它認(rèn)為頸縮發(fā)生時(shí)名義應(yīng)力是不變的，即有：

其中，N為名義應(yīng)力張量，T為第一類P-K應(yīng)力張量，F(xiàn)為變形梯度，Lt為連接變形梯度材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)與第一類P-K應(yīng)力率的切線模量，在使用以t時(shí)刻的當(dāng)前時(shí)刻構(gòu)形為參考構(gòu)形的更新拉格朗日方法時(shí)它具有如下表達(dá)形式：

于是，頸縮發(fā)生時(shí)切線模量Lt是奇異的，必有一個(gè)特征值為0，在計(jì)算時(shí)當(dāng)出現(xiàn)第一個(gè)為0的特征值時(shí)，此時(shí)det（Lt）=0，式（10）得到滿足，此時(shí)程序停止計(jì)算，輸出的長(zhǎng)軸應(yīng)變與短軸應(yīng)變值即為該材料在該加載路徑下的極限應(yīng)變值。

4　計(jì)算結(jié)果

本文的計(jì)算分別在無損傷彈塑性材料模型和帶損傷彈塑性模型下進(jìn)行，材料服從第二節(jié)所述的本構(gòu)關(guān)系和Ludw ig各向同性硬化準(zhǔn)則，計(jì)算使用的主要材料參數(shù)如下表所示，其中的損傷參數(shù)只適用于帶損傷模型。各向同性硬化模型硬化模型的兩個(gè)重要參數(shù)分別為強(qiáng)度系數(shù)k和硬化指數(shù)n，下面將采用控制變量法來進(jìn)行計(jì)算以研究這兩個(gè)參數(shù)對(duì)材料成形極限的影響。當(dāng)k取值變化時(shí)，n始終取值為0.6；同樣地，當(dāng)n取值變化時(shí)，k的取值始終為550MPa。計(jì)算結(jié)果如圖1及圖2所示。

計(jì)算使用材料模型的主要參數(shù)

硬化指數(shù)n對(duì)FLCs的影響的計(jì)算結(jié)果如圖1所示。結(jié)果顯示，盡管損傷的演變改變了成形極限曲線的形狀并降低了材料的成形極限，但n值的大小對(duì)材料成形極限的影響趨勢(shì)都是相同的，即硬化指數(shù)值越大變形集中出現(xiàn)得越晚，板料的成形極限曲線越高，但是曲線的整體形狀并不受其取值大小的影響。應(yīng)變硬化指數(shù)n反映的是材料在頸縮失穩(wěn)發(fā)生前依靠硬化進(jìn)行均勻變形的能力，n值越高，材料由均勻變形到不均勻變形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)越往后推移。

圖2顯示了強(qiáng)度系數(shù)k對(duì)FLCs的影響。圖2（a）顯示出在不考慮損傷時(shí)，參數(shù)k的取值越大，材料的成形極限曲線的位置越高即材料的成形性能越好，但是這種影響并不是均勻的，可以看出k=1500MPa與k=1000MPa時(shí)的成形極限之間的差異要明顯小于k=1000MPa與k=500MPa時(shí)的成形極限之間的差異。文獻(xiàn)研究表明k值能反映材料的抗塑性變形能力、可承受均勻變形的最大程度以及實(shí)際的承載能力，因此可以作為一個(gè)衡量板料成形能力的指標(biāo)。而圖2（b）顯示的結(jié)果則完全不同于圖2（a）的結(jié)果，在材料存在損傷時(shí)，反而是應(yīng)變強(qiáng)度系數(shù)k值越大，成形極限曲線越低，并且k值的改變還有可能影響成形極限曲線的形狀，當(dāng)k值從500MPa變?yōu)?000MPa時(shí)，成形極限曲線的形狀發(fā)生了明顯的變化，且在拉-壓區(qū)成形極限之間的差異較小，而在拉-拉區(qū)成形極限之間存在明顯的差異。造成這種差異的可能原因是：k值的不同會(huì)影響材料損傷發(fā)展的程度，當(dāng)損傷發(fā)展帶來的負(fù)面影響要高于k值增加帶來的正面影響時(shí)就會(huì)出現(xiàn)如圖2（b）所示的變化趨勢(shì)。應(yīng)變強(qiáng)化系數(shù)與損傷之間的關(guān)系還有待驗(yàn)證，但是顯然k值對(duì)板料成形極限的影響并不是獨(dú)立的，如何用它來準(zhǔn)確衡量板料的成形極限還有待研究。

5　結(jié)論

本文使用金屬材料的彈塑性本構(gòu)模型，結(jié)合Valanis極限點(diǎn)分叉理論，使用ABAQUS軟件對(duì)材料的成形極限曲線進(jìn)行了理論計(jì)算，研究了各向同性硬化指數(shù)n和強(qiáng)度系數(shù)k對(duì)金屬材料的成形極限曲線的理論預(yù)測(cè)值的影響，結(jié)果顯示：n值越大，曲線越高即材料的成形性越好；在無損傷時(shí)，k值越大曲線越高，而在有損傷時(shí)，k值越大曲線越低，我們認(rèn)為這是由于損傷帶來的負(fù)面影響高于k值帶來的正面影響造成的，可能與設(shè)定的損傷相關(guān)參數(shù)取值有關(guān)，具體關(guān)系有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

參考文獻(xiàn)：

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[3]陳劼實(shí)，周賢賓.板料成形極限的理論預(yù)測(cè)與數(shù)值模擬研究[J].塑性工程學(xué)報(bào)，2004,11(01):13-17.

[4]莊茁譯.連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元[M].北京:清華大學(xué)出版社，2002:534-537.

作者簡(jiǎn)介：夏夢(mèng)（1990-），女，碩士生，主要研究方向?yàn)榻饘俦“宓某尚涡浴?/p>