周 延馮大政 朱國輝 向平葉

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

空域數(shù)據(jù)分解的兩級降維自適應(yīng)處理方法

周 延*馮大政 朱國輝 向平葉

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

傳統(tǒng)的后多普勒自適應(yīng)處理方法，如因子法和擴展因子法，雖然能大大降低自適應(yīng)處理時的運算量和獨立同分布樣本的需求量，但在天線陣元數(shù)進一步增大的情況下，還是不能有效抑制雜波。針對這一問題，該文提出一種空域數(shù)據(jù)分解的兩級降維自適應(yīng)處理方法。該方法將多普勒濾波后的空域數(shù)據(jù)進行分解，使其變?yōu)閮蓚€向量的Kronecker乘積，得到一雙二次代價函數(shù)，利用循環(huán)迭代的思想求解最優(yōu)權(quán)。實驗表明該方法具有快速收斂，所需訓(xùn)練樣本少的優(yōu)點，尤其在小樣本條件下該方法抑制雜波的性能明顯優(yōu)于因子法和擴展因子法。

雷達(dá)信號處理；空時自適應(yīng)處理(STAP)；雜波抑制；降維

1 引言

在時域和空域聯(lián)合進行雜波抑制的空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術(shù)自上世紀(jì)發(fā)展至今，已經(jīng)取得了長足的進步[19]-。全維STAP雖然性能優(yōu)異，但由于巨大的運算量和獨立同分布訓(xùn)練樣本的需求量，其應(yīng)用價值只體現(xiàn)在理論中。降維STAP方法，如因子法(Factored Approach, FA)，擴展因子法(Extended Factored Approach, EFA)[10]通過先時域多普勒濾波后空域自適應(yīng)波束形成的方式，將全維自適應(yīng)處理的問題轉(zhuǎn)變成了在K個多普勒通道(假設(shè)有K個多普勒通道)分別自適應(yīng)波束形成的問題，從而大大降低了運算量和獨立同分布的訓(xùn)練樣本需求量。但是即使如此，在天線陣元龐大的情況下，F(xiàn)A和EFA還是不能有效抑制雜波[1114]-。

針對這一問題，本文提出了一種空域數(shù)據(jù)分解的兩級降維自適應(yīng)處理方法。首先將接收到的雜波和目標(biāo)數(shù)據(jù)經(jīng)過多普勒濾波，將濾波后的空域數(shù)據(jù)進行分解，使其變?yōu)閮蓚€向量的Kronecker乘積，然后得到一雙二次代價函數(shù)，利用循環(huán)迭代的思想求解最優(yōu)權(quán)。實驗表明該方法具有快速收斂性，在小樣本條件下該方法明顯優(yōu)于因子法和擴展因子法。

2 信號模型及先時后空自適應(yīng)處理原理

如圖1所示，假設(shè)機載相控陣?yán)走_(dá)天線為均勻線陣，或者是由面陣經(jīng)過微波合成的等效線陣結(jié)構(gòu)，陣元數(shù)為N。載機以av的速度平行于地面飛行，雷達(dá)工作波長為λ，脈沖重復(fù)頻率為rf。一個相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內(nèi)發(fā)射的脈沖數(shù)為K。如圖1所示，以天線陣元在地面的投影方向為方位角0?起點，假設(shè)地面散射點處于第l個距離環(huán)，即俯仰角為lθ，相對于載機天線的方位角為i?，則該雜波散射點回波的空時采樣數(shù)據(jù)為[3]

圖1 機載相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)

其中，符號?表示Kronecker積，Rl為第l個距離環(huán)上散射點與雷達(dá)之間的距離，F(xiàn)(θl,?i)為發(fā)射方向圖增益，G(θl)為接收陣列合成增益，σi(θ,?)為該散射單元的雜波雷達(dá)截面積，ct,i為該雜波散射點的時域?qū)蚴噶?，cs,i為該雜波散射點的空域?qū)蚴噶俊?/p>

其中，符號(·)T表示轉(zhuǎn)置，ωt,i=2vacosθlcos?i/λfr, ωs,i=d cosθlcos?i/λ分別為歸一化多普勒頻率和空域頻率。則第l個距離環(huán)上接收的雜波加噪聲數(shù)據(jù)為

其中向量n為高斯白噪聲向量，Nc為一個距離單元上的雜波散射點個數(shù)。

傳統(tǒng)的先時域后空域的降維空時自適應(yīng)處理方法，如FA和EFA，都是先在時域上進行固定多普勒濾波，然后再對每個多普勒通道的數(shù)據(jù)進行自適應(yīng)處理。假設(shè)第k(k=1,2,…,K)個多普勒通道的K×1維濾波器系數(shù)向量為fk，則經(jīng)過第k個多普勒通道濾波后的雜波加噪聲數(shù)據(jù)變?yōu)?/p>

其中符號(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。IN為N×N單位矩陣。假設(shè)目標(biāo)導(dǎo)向矢量為

st為目標(biāo)時域?qū)蚴噶?，ss為目標(biāo)空域?qū)蚴噶俊?/p>

其中tω為目標(biāo)歸一化多普勒頻率，sω為目標(biāo)歸一化空域頻率，則目標(biāo)導(dǎo)向矢量經(jīng)過第k個多普勒通道濾波后的數(shù)據(jù)變?yōu)?/p>

FA處理的準(zhǔn)則是保持第k個多普勒通道目標(biāo)信號能量不變的前提下抑制雜波使得雜波輸出能量最小[3]：

利用拉格朗日乘子法可得式(10)的最優(yōu)解為

其最優(yōu)解為

其中L是選取的距離單元個數(shù)。理論上來說，當(dāng)選取的獨立同分布的訓(xùn)練樣本個數(shù)L→∞時，=,=,但實際中不可能選取無窮多個獨立同分布的訓(xùn)練樣本數(shù)。而Reed和Brennan曾證明，在高斯噪聲環(huán)境中，獨立同分布的訓(xùn)練樣本個數(shù)超過待處理雜波協(xié)方差矩陣維數(shù)的2倍時，輸出的歸一化信雜噪比損失不超過3 dB[15]。雖然相比于全維STAP, FA和EFA算法需求的獨立同分布訓(xùn)練樣本個數(shù)分別降到了2N和6N，計算量也有一定的下降。但隨著相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)天線陣元個數(shù)的增加，F(xiàn)A和EFA所需要的獨立同分布訓(xùn)練樣本個數(shù)也會顯著增加，從而使得它們抑制雜波的能力減弱。

3 空域數(shù)據(jù)分解的兩級降維自適應(yīng)處理方法

以FA算法中多普勒濾波后的空域數(shù)據(jù)為例。雜波數(shù)據(jù)經(jīng)過第k個多普勒通道濾波后可以表示為

令

分別為N1×1和N2×1的列向量，其中N=N1N2。式(16)可以表示為

將式(10)所表示的濾波器權(quán)系數(shù)也表示成如下分離的形式：

其中u=[u,u,…,u ]T,v=[v,v,…,v ]T。將式

12N 112N2 (21)代入式(10)，得到

代價函數(shù)式(22)是關(guān)于未知向量u和v的雙二次代價函數(shù)。根據(jù)循環(huán)最小化的思想，任意給u或v一個初值，代入式(22)循環(huán)迭代求解u和v，直到得到的誤差小于給定的誤差為止，即首先固定住u，給u一初值，記為(0)u，代入式(22)，可得

其中IN2為N2×N2單位矩陣。令Rv=(u(0)，得到

將得到的(1)v代入式(22)繼續(xù)迭代，得

其中IN1為N1×N1單位矩陣。同樣地，令Ru=得

迭代過程中的協(xié)方差矩陣大小分別為Rv∈CN2×N2和Ru∈CN1×N1，通過分解空域數(shù)據(jù)，估計雜波加噪聲協(xié)方差矩陣所需的獨立同分布訓(xùn)練樣本只需要大于2max(N1,N2)，而且N1和N2的值越靠近，所需要的樣本數(shù)量越少。將空域數(shù)據(jù)分解后應(yīng)用于EFA方法與此類似，在此不再贅述。

4 收斂性和計算量分析

令代價函數(shù)J (u,v)=E[|(u?v)H(l)|2]+μ[(u ?v-1]，將上面循環(huán)迭代得到的u(0),u(1),…, u(k)和v(1),v(2),…,v(k)代入J(u,v)后會有如下結(jié)果J(u(0),v(1))≥J (u(1),v(1))≥…≥J(u(k-1),

v(k-1))≥J(u(k-1),v(k))≥J(u(k),v(k))(27)即上述迭代算法的每一步迭代均使代價函數(shù)單調(diào)下降。另一方面，代價函數(shù)J(u,v)≥0，有下界，因此該迭代算法具有收斂性。

空域數(shù)據(jù)分解后的FA所需要估計的相關(guān)矩陣Rv和Ru的維數(shù)分別為N2×N2和N1×N1，所以自適應(yīng)處理時所需要的樣本數(shù)L1只需大于2max(N1, N2)，而FA自適應(yīng)處理所需要的樣本數(shù)L2則需要大于2N。從實驗分析可以看出，雙迭代算法具有快速收斂性，只需要8步即可基本達(dá)到收斂值。由于時域處理方法一樣，我們只分析空域自適應(yīng)處理時的計算量。一般乘法次數(shù)和除法次數(shù)用來表征計算量，則空域分解后的FA空域自適應(yīng)所需要的計算量約為8[L1(+)+2(+)/3]，原FA空域自適應(yīng)所需要的計算量約為[L2N2+2N3/3]，通常情況下，L1＜L2且+＜＜N3，在天線陣元數(shù)趨于龐大的情況下，F(xiàn)A所需要的計算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空域數(shù)據(jù)分解后的FA。

5 仿真實驗

我們進行了以下仿真實驗來驗證本算法性能。實驗中假設(shè)一6464×的面陣，按列加權(quán)合成為一線陣。一個相干處理間隔內(nèi)的脈沖數(shù)16K=。飛行高度ha=9 km ，發(fā)射波長λ=0.2 m 。脈沖重復(fù)頻率fr=2000 Hz ，載機飛行速度va=100 m/s 。我們沿著方位角將一個距離單元從0?到180?等間隔劃分為300個雜波散射單元。雜噪比CNR=60 dB。由于地面風(fēng)吹草動等因素，造成雜波內(nèi)部運動，從而導(dǎo)致雜波譜一定程度展寬，假設(shè)雜波相對帶寬Br=0.02。陣元幅相誤差設(shè)定為2%。實驗滿足遠(yuǎn)場條件。

STAP處理器的性能通常用改善因子(Improvement Factor, IF)來衡量，其定義為系統(tǒng)輸出端與輸入端信雜噪比之比。圖2顯示了在獨立同分布樣本數(shù)為31，即獨立同分布訓(xùn)練樣本數(shù)量遠(yuǎn)小于2NK的情況下的各算法改善因子的比較。一個多普勒通道濾波后的空域數(shù)據(jù)為一大小為一64×1的列矢量，本實驗中將一個多普勒通道的空域數(shù)據(jù)分解為兩個8×1的短矢量的Kronecker積，將3個多普勒通道聯(lián)合的空域數(shù)據(jù)分解為一個12×1和一個16×1的短矢量的Kronecker積。圖2中SD+FA表示空域數(shù)據(jù)分解后的FA, SD+EFA表示空域數(shù)據(jù)分解后的EFA。從圖2中可以看出，空域數(shù)據(jù)分解后的EFA比原EFA的算法性能在小樣本情況下有很大的提升，空域數(shù)據(jù)分解后的FA比原FA的算法性能也有一定的提升，在小樣本條件下，它跟EFA算法有著幾乎一樣的改善因子性能。

圖3顯示了在歸一化多普勒頻率ft=0.3，歸一化空域頻率fs=0處的改善因子隨樣本數(shù)變化的曲線，實驗結(jié)果是經(jīng)過200次Monto Carlo實驗的平均結(jié)果，可以看到，將3個多普勒通道聯(lián)合的空域數(shù)據(jù)分解為一個12×1和一個16×1的短矢量的Kronecker積后，空域數(shù)據(jù)分解后的EFA在樣本數(shù)為32左右就與收斂值相差3 dB，而從理論上講，EFA達(dá)到與收斂值相差3 dB所需要的樣本數(shù)為2×192=384，這要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于空域數(shù)據(jù)分解后的EFA所需要的樣本數(shù)。本實驗中沒有加入陣元幅相誤差，是在理想情況下進行的實驗，因此本實驗中達(dá)到收斂的改善因子要高于圖2和圖4中的改善因子。

圖4給出了空域數(shù)據(jù)分解后的EFA隨迭代次數(shù)的性能改善曲線。從圖4中可以看出，經(jīng)過8～10步迭代后的改善因子與收斂值僅僅相差0.7 dB，這說明了本文算法的快速收斂性。需要指出的是，前文中的實驗結(jié)果均是迭代10步得到的結(jié)果。

圖5給出了代價函數(shù)的值J(u,v)隨u和v每步迭代值變化的曲線，其中縱坐標(biāo)上輸出的數(shù)值是10lg(J(u,v))。從圖5中可以看出，J(u,v)的值隨著迭代步數(shù)下降，這和式(27)吻合。在迭代步數(shù)到達(dá)10步左右，J(u,v)到達(dá)收斂值。該實驗結(jié)果驗證了本文所提迭代算法的收斂性能。

圖2 空域數(shù)據(jù)分解后與原算法在小樣本條件下的改善因子比較

圖3 空域數(shù)據(jù)分解后EFA的改 善因子與樣本數(shù)變化關(guān)系

圖4 空域數(shù)據(jù)分解后EFA隨 迭代次數(shù)的性能改善曲線

圖5 代價函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線

6 結(jié)束語

針對小樣本、大陣列條件下，傳統(tǒng)的先時域后空域的降維空時自適應(yīng)處理方法樣本需求量不足，雜波抑制性能嚴(yán)重下降的問題，本文提出兩級降維自適應(yīng)處理方法，能大幅降低大陣列條件下訓(xùn)練樣本需求量和自適應(yīng)處理計算量，在小樣本條件下該方法抑制雜波的性能明顯優(yōu)于因子法和擴展因子法。該方法通過將多普勒濾波后的空域數(shù)據(jù)分解為兩個短向量的Kronecker乘積，得到一雙二次代價函數(shù)，然后利用循環(huán)迭代的思想求解最優(yōu)權(quán)。實驗表明該方法具有快速收斂性，具有一定的工程應(yīng)用價值。

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周 延： 男，1988年生，博士生，研究方向為空時自適應(yīng)信號處理.

馮大政： 男，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為盲信號處理、雷達(dá)信號處理、無源定位和陣列信號處理等.

朱國輝： 男，1987年生，博士生，研究方向為無源定位技術(shù).

Two-stage Reduced-dimension Adaptive Processing Method Based on the Spatial Data Decomposition

Zhou Yan Feng Da-zheng Zhu Guo-hui Xiang Ping-ye
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)

The traditional post-Doppler adaptive processing approaches such as Factored Approach (FA) and Extended Factored Approach (EFA) can significantly reduce the computation-cost and training sample requirement in adaptive processing. However, their clutter suppression ability is considerably degraded with the increasing number of antenna elements. To solve this problem, a two-stage reduced-dimension adaptive processing method based on the decomposition of spatial data is proposed. This method decomposes the spatial data after Doppler filtering into a Kronecker product of two short vectors. Then a bi-quadratic cost function is obtained. The circular iteration is applied to solve the optimal weight. Experimental results show that the proposed method has the advantages of fast convergence and small training samples requirement. It has greater clutter suppression ability especially in small training samples support compared with FA and EFA.

Radar signal processing; Space-Time Adaptive Processing (STAP); Clutter suppression; Reduceddimension

TN959.73

A

1009-5896(2015)02-0334-05

10.11999/JEIT140508

2014-04-17收到，2014-08-29改回

國家自然科學(xué)基金(61271293)資助課題

*通信作者：周延 spainraul123@126.com