周一恒++王金聚

摘 要：本文采用“微元法”證明了球殼在帶電和不帶電兩種情況下兩個(gè)相似的結(jié)論，并且舉例說(shuō)明了這兩個(gè)結(jié)論的廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：均質(zhì)球殼；均勻帶電球殼；殼內(nèi)引力的矢量和

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）5-0042-2

1 均質(zhì)球殼

均質(zhì)球殼，顧名思義，就是指質(zhì)量分布均勻的球殼，對(duì)這樣的質(zhì)量分布均勻且厚度處處相同的球殼而言，有如下一條重要的結(jié)論：

結(jié)論1：厚度均勻的均質(zhì)球殼對(duì)其空腔內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力的矢量和為零。

下面我們采用“微元法”證明上述這一結(jié)論：

如圖1所示，將球殼看成是由許許多多半徑不等的同心“球皮”疊加而成，每一層球皮的厚度d都足夠小。以殼內(nèi)任一點(diǎn)P為頂點(diǎn)，任作一對(duì)頂角很小的對(duì)頂?shù)男A錐體，圓錐體在最外層球皮上截取的面積分別記為△S1、△S2。圓錐體的軸線為O1O2，與最外層球皮交于O1、O2兩點(diǎn)，小圓錐體又將諸層球皮分割成許許多多個(gè)小體積元。圖中的陰影ABDC部分就是最外層球皮上被截取的小體積元的截面圖。

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圖1 球殼內(nèi)取對(duì)頂小圓錐體

連接OO1、OO2，則△OO1O2為等腰三角形。設(shè)兩底角的角度為α，小圓錐體的頂角為θ，PO1=r1，過(guò)O1點(diǎn)作一與軸線O1O2垂直的平面，則面積元△S1在該平面上的投影為△S1cosα。該投影的形狀為一圓面，圓面的直徑近似為r1θ（θ單位：弧度）。所以，圓的面積也可以寫成■π（r1θ）2，即

△S1cosα=■π（r1θ）2。

把球皮ABDC的體積記為△V1，則△V1=△S1d=■，設(shè)球殼的密度為ρ，則該體積元的質(zhì)量為： Δm1=■。

設(shè)P處放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則它受到體積元△m1的引力大小為：

ΔF1=G■=■=■。

同理，與體積元△m1關(guān)于P點(diǎn)相對(duì)的另一體積元△m2對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力大小為：

ΔF2=G■=■=■，

∴△F1=△F2。

由于二者方向相反，故二體積元△m1、△m2對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力的矢量和為零。

推而廣之，由于任意一對(duì)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積元對(duì)P處質(zhì)點(diǎn)的引力之和都為零，所以整個(gè)厚度均勻的均質(zhì)球殼對(duì)其空腔內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零，命題得證。

上述結(jié)論常常用于討論球類的引力問(wèn)題，下面我們用它來(lái)討論一下地球內(nèi)、外的重力加速度隨高度變化的情況。

假定地球的密度是均勻的，在地球內(nèi)部距地心r處的重力加速度設(shè)為g，根據(jù)上述的結(jié)論——其外部球殼對(duì)r處質(zhì)點(diǎn)的引力之和為零。所以有■=mg，Mr是半徑為r的內(nèi)部中心球體的質(zhì)量。

將Mr=ρ·■πr3代入上式得g=■·r，這說(shuō)明在地球內(nèi)部g與r成正比。

接下來(lái)我們?cè)儆懻撘幌碌乇碇系闹亓铀俣入S高度變化的情況：

同樣假定地球的密度ρ是均勻的，設(shè)地球的半徑為R，地表之上距地心r處的重力加速度為g，由萬(wàn)有引力定律得■=mg，將M=ρ·■πR3代入上式得g=■·■∝■。

設(shè)地表處的重力加速度為g0，由■=mg0，

得g0=■。

式中萬(wàn)有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，地球質(zhì)量M=5.98×1024 kg， 地球的平均半徑R=6.37×106 m，所以，可以求得地球表面的重力加速度為：g0=■ m/s2=9.82 m/s2。

綜上所述，地球內(nèi)外的重力加速度g隨距地心的距離r的變化如圖2所示：

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圖2 地球內(nèi)外重力加速度與距地心r的關(guān)系

2 均勻帶電球殼

若球殼的厚度均勻且所帶電荷的分布也均勻，則有如下的一條類似結(jié)論：

結(jié)論2：厚度均勻的均勻帶電球殼對(duì)殼內(nèi)任一點(diǎn)電荷的庫(kù)侖力的矢量和為零。

由于庫(kù)侖定律與萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F=k■、F=G■的極度相似性，所以我們采用與結(jié)論1的證明完全類似的方法，可以順利得出上述結(jié)論2，此處不再贅述。結(jié)論2在討論帶電球或者球殼類的問(wèn)題時(shí)同樣應(yīng)用廣泛。

例 有一個(gè)均勻的帶電球體，球心在O點(diǎn)，半徑為R，電荷體密度為ρ。球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔，空腔球心在O′點(diǎn)，半徑為R′，OO'=a。如圖3所示，試求空腔中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解析：這里要用到正、負(fù)電荷疊加的思想。

將該空心球看成是完整的帶正電的實(shí)心大球與空腔處帶負(fù)電的實(shí)心小球的疊加體，且大球與小球所帶電荷的體密度相等，則在空腔處正負(fù)電荷疊加的結(jié)果仍然是電中性的，相當(dāng)于空腔內(nèi)不帶電。

對(duì)于空腔中任意一點(diǎn)P，設(shè)OP=r1，O'P=r2，則帶正電的大球在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)僅由半徑為r1的球內(nèi)電荷所決定。場(chǎng)強(qiáng)的大小為E■=k■=■kρπr■，方向由O指向P。

同理，虛擬的帶負(fù)電的“小球”在P點(diǎn)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為：E2=k■=■kρπr■，方向由P指向O′。

E1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則，合矢量EP的方向如圖3所示。

所以，EP=■E■=■kρπa 。

Ep的方向沿O → O′。顯然，由于P點(diǎn)的任意性，空腔內(nèi)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小都是■kρπa，方向均沿O → O′，即空腔里的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)線如圖4所示。

參考文獻(xiàn)：

[1]王金聚.談?wù)剬?duì)球類問(wèn)題的求解[J].物理教學(xué)探討，2005，（5）：13.

[2]王朝銀，等. 2012步步高大一輪復(fù)習(xí)講義[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2011.（欄目編輯 羅琬華）