文/王原光

平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

文/王原光

平面向量作為數(shù)學(xué)工具，是代數(shù)和幾何的紐帶，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)中的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介。向量和圖象、函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、平面幾何等基礎(chǔ)知識結(jié)合，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，將幾何知識和代數(shù)知識有機(jī)地結(jié)合在一起，能為多角度地展開解題思路提供廣闊的空間。本文從六個方面說明了平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

平面向量;數(shù)學(xué)思想方法;應(yīng)用

近年來，我國把坐標(biāo)和向量、概率分布、導(dǎo)數(shù)等陸續(xù)納入三年制高中教學(xué)大綱，無疑是國家數(shù)學(xué)課程改革的一個正確方向，也向教育先進(jìn)國家靠攏邁出了堅實(shí)的一步。

坐標(biāo)與向量，作為現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材各成員中的“寵兒”，與其它數(shù)學(xué)知識有密切的聯(lián)系，應(yīng)用起來非常方便，很討人喜歡。以下根據(jù)本人的教學(xué)實(shí)踐以及組織數(shù)學(xué)課外興趣小組活動的經(jīng)歷，與各位同仁談?wù)勂矫嫦蛄咳绾误w現(xiàn)它的工具與紐帶的作用。

一、向量在圖形上的應(yīng)用

向量源于圖形，它和幾何的關(guān)系本是“魚水”關(guān)系。許多幾何問題，都可借向量簡單解決。

例1、已知平面上的一個三角形ABC，在已知平面上有一點(diǎn)P，設(shè)AP的中點(diǎn)是Q，BQ的中點(diǎn)是R，CR的中點(diǎn)是S.證明只有唯一的一點(diǎn)P使得S=P，另外，設(shè)這點(diǎn)為P0時，求△ABC和△P0BC的面積比。

因此，S△ABC:S△P0BC=21k:3 k=7:1.這里，向量加法和定量比分點(diǎn)起了關(guān)鍵的定位作用，具有其它方法所沒有的優(yōu)越性。

用向量法解幾何題，通常分三步進(jìn)行:

首先，將幾何問題的條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題，用向量語言表示;然后，設(shè)置基本向量，將問題中的相關(guān)向量用“基本向量”表示出來;最后，通過“基本向量”進(jìn)行推理、運(yùn)算，得出求解結(jié)論。其中“基本向量”選取是否恰當(dāng)，直接影響問題解決的難易程度，這是解題過程中一個關(guān)鍵要素。

至于向量在空間圖形上的應(yīng)用的好處，教材和各種資料已有較多的論述，各類問題都有專門的討論。比如證明共線(面)問題、平行問題、垂直問題、角和距離的求解，以及存在性等問題幾乎都可以用向量來解決，這里就不再舉例了。

二、向量在函數(shù)中的運(yùn)用

三、向量在證明不等式中的應(yīng)用

設(shè)非零向量→a，→b的夾角為θ，則︱→a·→b︱=︱→a︱·︱→b︱·︱Cosθ︱。故→a·→b≤︱→a·→b︱≤︱→a︱·︱→b︱。該不等式結(jié)果簡單，但應(yīng)用廣泛，現(xiàn)舉例如下。

該題證法極多，但構(gòu)造向量來證明不失為一種好方法。

傳統(tǒng)的不等式的證明要用到分析、綜合的各種“技巧”，而向量法卻回避了這些高“技巧”，較為簡單地解決了這些令人頭痛的問題。

四、向量在三角中的應(yīng)用

當(dāng)把向量坐標(biāo)形式表示，且引進(jìn)三角函數(shù)于坐標(biāo)中時，向量與三角就交溶為一體了。近年來各省份的高考、模擬考題，經(jīng)常出現(xiàn)這類問題，應(yīng)引起足夠重視。

以上用到了向量的數(shù)量積定義，坐標(biāo)表示下的模公式，內(nèi)積公式以及三角恒等變形，體現(xiàn)了綜合利用三角知識和向量知識解題的能力。這種方法也比傳統(tǒng)的解三角形方法更簡易。

五、向量在數(shù)列中的應(yīng)用

在向量坐標(biāo)化的情況下，如果考慮的是向量序列，那么向量的問題實(shí)際便成了數(shù)列的問題。

這類問題的關(guān)鍵是利用向量的概念或運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，再用數(shù)列的有關(guān)知識解之。

六、向量在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何的許多問題，常常用向量語言來敘述。因此，首先要正確運(yùn)用向量概念把原文“翻譯”過來;以便看出所論問題的實(shí)質(zhì)。

(2)設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過M，且取最小值時，求橢圓的方程。

事實(shí)上，向量與解析幾何的結(jié)合也是高考命題的趨勢，也應(yīng)引起重視，從上例可以看出，除了要讀懂“向量語言”外，就是一個運(yùn)用向量和解析幾何知識綜合解決問題的過程。

最后，要強(qiáng)調(diào)的是，向量具有工具性作用，用它可證明許多重要公式。如利用向量的內(nèi)積，可證明公式Cos(α－β)= CosαCosβ+SinαSinβ

同樣，可利用單位向量和數(shù)量積證明解三角形必須的三大定理——射影定理、正弦定理和余弦定理。

綜上所述，向量象一貼強(qiáng)有力的粘合劑，把各部分知識連成一個有機(jī)的整體。由于這一點(diǎn)，我們在教學(xué)中至少要做以下工作:(1)讓學(xué)生掌握向量的基本概念和基本運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上學(xué)會運(yùn)用向量語言;(2)了解向量知識與其它數(shù)學(xué)知識的交匯作用，應(yīng)用向量知識盡量簡便地分析和解決問題;(3)經(jīng)常去對照有關(guān)問題的向量解法和傳統(tǒng)解法，把“向量思想”、“向量法”納入基本數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法，并在教學(xué)實(shí)踐中逐步歸納、總結(jié)、完善向量思想，學(xué)會舉一反三。這無論對他們應(yīng)考和將來的深造，都是有益的。

(作者單位:長汀一中)

［1］［日］圣文社編《大學(xué)入學(xué)考試·數(shù)學(xué)試題選》人民教育出版社。1979，12

［2］［日］矢野健太郎著《數(shù)學(xué)解題技巧》(第二卷上冊)黑龍江人民出版社。1983，10

［3］《新概念教材·奧賽全解》(高一數(shù)學(xué))南方出版社2005，5

［4］《2005全國各省市高考模擬試題匯編·數(shù)學(xué)》西藏人民出版社2005，7

王原光，男，中學(xué)一級教師，研究方向:高中數(shù)學(xué)教學(xué)。