張晉紅

復(fù)習(xí)是綜合性的，是對(duì)課本原有知識(shí)點(diǎn)的梳理、整合和鞏固、提升.要提高復(fù)習(xí)課的效率，教師首先要鉆研課本，站在放眼整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高度，從課本中找到知識(shí)的增長(zhǎng)點(diǎn).特別是可以把過去僅供新授課使用的課本例習(xí)題進(jìn)行適度地改編，合理地二度開發(fā).此舉不僅可以提高課本的使用效率，還可以更深刻地讓學(xué)生從中體會(huì)到知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，比課本之外的教輔資料往往具有更佳的效果.中考復(fù)習(xí)課教學(xué)之所以青睞教輔、丟棄課本，究其原因，很大程度上是因?yàn)榻處熡X得課本題目太簡(jiǎn)單而且都已用過.實(shí)際上，我們很多時(shí)候只要對(duì)課本題目稍加改變，比如改變問題的呈現(xiàn)方式，就可以讓它們煥發(fā)出“第二春”的風(fēng)采.以下就原浙教版課本八下內(nèi)容（第4章4.2節(jié)證明2的作業(yè)題以及證明3中例5、例6）的改編為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì).

一、去掉圖形分類討論

課本中的一些幾何題，原本看似簡(jiǎn)單，但若拿掉圖形，去掉“如圖”二字，就會(huì)出現(xiàn)形狀或者位置不確定的復(fù)雜情況，這時(shí)往往就需要進(jìn)行分類討論，課本中問題就會(huì)躍升為能力區(qū)分度比較高的問題.

課本作業(yè)題2，如圖1，△ABC的兩條高BE，CF相交于點(diǎn)O.求證：∠BOC=180°-∠A.

去掉圖形改編成：△ABC的兩條高BE，CF所在的直線相交于點(diǎn)O（點(diǎn)O不與三個(gè)頂點(diǎn)重合），若∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為 ? ? ? ? ?.此時(shí)，由于三角形的高的位置不確定，還會(huì)出現(xiàn)△ABC是鈍角三角形的可能（如圖2），所以答案是50°或130°.此題在我區(qū)初三模擬測(cè)試的數(shù)據(jù)中顯示難度系數(shù)為0.46，說明難度不低.

課本例題5，如圖3，AD是△ABC的高，E是AD上一點(diǎn)，且AD=BD，DE=DC，求證：∠BED=∠C.

去掉“如圖”，改編1：已知AD是△ABC的高（點(diǎn)D不與B，C重合），E是AD上一點(diǎn)，且AD=BD，DE=DC，則∠BED與∠ACB滿足的關(guān)系式是 ? ? ? ? ?.答案是：∠BED=∠ACB或 ∠BED+∠ACB=180°.

去掉“如圖”改編2（從全等到相似）：已知AD是△ABC的高（點(diǎn)D不與B，C重合），E是線段AD上一點(diǎn)，且=，給出下列結(jié)論：①∠BED=∠ACB;②BE⊥AC;③CE⊥AB;④△ADC∽△BDE;⑤△DEC∽△DBA.其中正確的是（ ? ）

A.①②④ ? ? ? ?B.①③⑤

C.①②③ ? ? ? ?D.④⑤

改編2的正確答案為D.但在參加我區(qū)期末測(cè)試的3095名學(xué)生中，選A的有1977人，占比63.9%;而選D的只有377人，占比12.2%.該題的難度系數(shù)為0.12，說明它是一道超難題.選擇失誤的原因是學(xué)生在解題時(shí)依然忽視了△ABC是鈍角三角形的可能（如圖4）.

課本例題6 ，如圖5，AD是三角形紙片ABC的高.將紙片沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合.求證：EF∥BC.

去圖改編為：已知在銳角三角形紙片ABC中，BC=4，高AD=3，直線EF∥BC，分別交線段AB，AC，AD于E，F(xiàn)，G，設(shè)EF=x.

（1）求線段AG的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）;

（2）將紙片沿直線EF折疊，設(shè)點(diǎn)A落在平面上的點(diǎn)為P，△PEF與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

答案為（如圖6）：（1）y=x;（2）當(dāng)0

此題的（2）由于涉及落點(diǎn)位置的討論，所以難度系數(shù)僅為0.21.

由上可見，需要分類討論的問題始終是學(xué)生的死穴.我區(qū)期末檢測(cè)的數(shù)據(jù)顯示，從2001年至今，學(xué)生分類討論的能力“風(fēng)景依舊”，沒有提高.因?yàn)榻柚罅拷梯o的“如圖”解題訓(xùn)練，難以培養(yǎng)學(xué)生的這一能力.而要提升它最好的途徑就是去掉圖形，讓學(xué)生自己畫出示意圖.通過去圖，課本資源不僅可以“再生”，而且還提高了思維的含金量.

二、變換題型放大功能

課本中的例題多以解答題的面貌示人，但實(shí)際上若能將它們“變臉”，比如將它們變換成客觀題或作圖題等，就能放大課本原題的功能.

從演繹到歸納：課本中的例題通常采用演繹的方式解題，缺少對(duì)學(xué)生歸納能力的培養(yǎng).史寧中教授認(rèn)為：“從思維訓(xùn)練的角度考慮，過去的教育缺少歸納能力的培養(yǎng)，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新性人才是不利的.應(yīng)該注重學(xué)生探究的過程、思考的過程、反思的過程.培養(yǎng)學(xué)生的直覺，創(chuàng)新產(chǎn)生于直覺.”如果將一些課本中的解答題適度地進(jìn)行題型的轉(zhuǎn)換，就能擴(kuò)大題目的功能，讓學(xué)生體會(huì)到歸納的魅力.比如，上面的課本例6，原題是證明題，再次使用時(shí)，我們可以將它改編成選擇題，用以歸納能力的培養(yǎng).

課本例6改編成選擇題：△ABC紙片中，AB=BC>AC，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC上，將紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處.則下列結(jié)論正確的是（ ? ?）

①△BED是等腰直角三角形;②∠EDF=∠CDF;③EF是△ABC的中位線;④BD+CF=ED+EF.

A.①② ? ? ? ? B.②③

C.②③④ ? ? ? ? ? ? ? ? D.①②③④

這里要用演繹的方法證明④BD+CF=ED+EF不成立不太容易，但此題是客觀題，我們可以試著將圖形特殊化（如圖7），不妨設(shè)∠B=36°，則∠A=∠C=72°.這時(shí)，就比較容易得到只有②③是正確的，故選B.

從證明題到作圖題：在2012年杭州市初中學(xué)業(yè)水平抽測(cè)中，有這樣一道試題：如圖8，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且EF∥BC.

（1）求證：△AEF∽△ABC;

（2）另有一個(gè)△AMN滿足條件：△AMN≌△AEF，且點(diǎn)M，N分別在△ABC的兩條邊上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△AMN（保留作圖痕跡），并證明你畫出的△AMN滿足條件.

此題是命題人給出的送分題，但第（2）小題卻讓眾多學(xué)生犯難，其中不乏優(yōu)秀的學(xué)生.正確的畫法如圖9，但很多優(yōu)生給出的圖形是圖10.綜其原因是因?yàn)檎n本中的作圖題幾乎都是給定材料（給出線段或角），再要求在另一位置畫出符合條件的圖形.而這里則是讓學(xué)生在已知△AEF中自選邊或角進(jìn)行作圖.從給定材料到自選材料，學(xué)生對(duì)這一變化一下子無所適從.如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活“取材”呢，只要我們將“隔夜飯”換種方式重新烹飪，就能讓學(xué)生品嘗到別樣的滋味.比如將課本中的證明題改寫成作圖題，下面是對(duì)課本作業(yè)題3的改編.

課本作業(yè)題3，如圖11，△ABC≌△BAD，BC與AD交于點(diǎn)O.求證：OC=OD.

此題貌似簡(jiǎn)單，似乎沒有再利用的價(jià)值.但實(shí)際上，只要將它稍加改編，就可以在復(fù)習(xí)課中再次使用它.

改編成作圖題：如圖12，已知△ABC，請(qǐng)?jiān)凇鰽BC所在的平面內(nèi)畫出以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形（保留作圖痕跡），使得△ABC與△ABD全等（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），并證明你畫出的△ABD滿足條件;若直線AD與直線BC交于點(diǎn)O，OC等于OD嗎？請(qǐng)說明理由.

改編后的問題讓學(xué)生在已知三角形ABC中自選邊或角進(jìn)行作圖.由于學(xué)生所選材料的不同，這樣的畫圖不僅復(fù)習(xí)了所有三角形全等的判定方法，而且由于畫出的△ABD不唯一，進(jìn)而也培養(yǎng)了學(xué)生分類的意識(shí)（如圖13）.不僅如此，因?yàn)閳D形的軸對(duì)稱性，畫點(diǎn)D亦還可通過軸對(duì)稱畫圖得到，可謂一功三效，大大提升了原題的功能.

三、逆向給題變通思維

我們還可將課本中問題的結(jié)論作為條件之一，提出有關(guān)的新問題，即原問題的一個(gè)“逆向”命題.

如課本作業(yè)題4，如圖14，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=50°.把△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，得△AB′C′，B′C′交AB于點(diǎn)D.求∠BDB′的度數(shù).

逆向改編：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°.把△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得△AB′C′，B′C′交AB于點(diǎn)D. 若∠BDB′=75°，求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑與AB，AB′所圍圖形的面積與△ABC面積的比值.

這里為了計(jì)算的方便，將∠B=50°改為∠B=30°（如圖15）.改編后的問題需要先求得旋轉(zhuǎn)角為45°，然后再根據(jù)扇形的面積公式求得比值為π.

這一改編不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性，而且將旋轉(zhuǎn)的知識(shí)植入了圓的內(nèi)容后能使學(xué)生學(xué)會(huì)站在整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度解決問題.

綜上所述，只要我們對(duì)課本資源進(jìn)行有效的二度開發(fā)，就能大大提高復(fù)習(xí)課的效率.僅一頁半的課本內(nèi)容就潛藏著如此巨大的能量，所以只要我們善于挖掘，巧用課本資源，就一定能和題海說再見.endprint