孫廣才

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

水力學(xué)模型一般由一組微分方程組成，其絕大多數(shù)是非線性的.水力學(xué)問(wèn)題的主要研究方法有觀測(cè)實(shí)驗(yàn)、理論分析和數(shù)值模擬等幾種方法.

計(jì)算水力學(xué)是以水力學(xué)基本方程為基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)研究自然界和水利工程中的水流現(xiàn)象，以及伴隨著水體流動(dòng)所發(fā)生的熱輸運(yùn)、物質(zhì)輸運(yùn)等問(wèn)題.通過(guò)對(duì)水流數(shù)學(xué)模型的分析與求解，研究其規(guī)律，以便準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)和控制水流及其輸運(yùn)現(xiàn)象.這在國(guó)家的水利建設(shè)、環(huán)境保護(hù)、工程管理、防止洪水災(zāi)害等國(guó)民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域，都有著重要的作用和意義.

1 水力學(xué)的基本方程

1.1 守恒定律［1］

(1)質(zhì)量守恒(連續(xù)方程)

其中:v為水流的瞬時(shí)速度場(chǎng)，ρ為密度.

寫(xiě)成張量形式為:

其中:xj(j=1，2，3)對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)x，y和z;vj為水流的瞬時(shí)速度xj方向的分量，對(duì)應(yīng)于u，v和w.

流體密度ρ近似為常數(shù)，即?ρ/?t=0，這時(shí)稱為不可壓粘性流動(dòng).此時(shí)(1)簡(jiǎn)化為:

其中:xj(j=1，2，3)對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)x，y和z;uj對(duì)應(yīng)于u，v和w;為時(shí)間變化率為位移變化率;

(2)動(dòng)量守恒 (Navier－Stokes方程)

水流動(dòng)量守恒的微分方程，即Navier－Stokes方程.其張量形式為:p為動(dòng)水壓強(qiáng);γ為運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù);fi表示單位質(zhì)量力.

(3)輸運(yùn)物質(zhì)守恒和熱量守恒

設(shè)v為水流的瞬時(shí)速度場(chǎng)，c為水流挾帶的污染物質(zhì)或懸移質(zhì)的濃度，則c的守恒可表示為:

由Jc=－Γcgradc(Γc為擴(kuò)散系數(shù))得，方程張量形式為:

將濃度c換成溫度T，則得到熱量守恒方程:

其中:JT=－ΓTgradT(Fourier熱傳導(dǎo)定律).

1.2 二維淺水方程［1］

描述流體運(yùn)動(dòng)的最基本的方程是所謂的連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程.其中主要的是Navier－Stokes方程，也叫做N－S方程.根據(jù)不同的研究對(duì)象和條件，這些方程又有各種不同的變形，這里僅舉一例.

水流運(yùn)動(dòng)的二維淺水方程如下:

其中:h為水深;u、v分別為笛卡兒坐標(biāo)下x、y方向沿水深的平均速度;g是重力加速度;n是曼寧糙率系數(shù);k是紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù);f是地轉(zhuǎn)參數(shù)，f=2wsinψ，w是地球的自轉(zhuǎn)速度，ψ是緯度.

(7)式中，第一個(gè)方程是連續(xù)性方程，后兩個(gè)為運(yùn)動(dòng)方程.

2 水力學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的研究方法

水力學(xué)中各種復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象的主要研究方法有:觀測(cè)實(shí)驗(yàn)、理論分析和數(shù)值模擬等幾種方法［1］.

原型觀測(cè)是認(rèn)識(shí)自然現(xiàn)象的基礎(chǔ)和來(lái)源，其觀測(cè)結(jié)果最直觀、真實(shí)，不存在模型縮尺問(wèn)題，能夠提供實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值模擬和最后驗(yàn)證所需的參數(shù)及數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)研究是根據(jù)相似理論進(jìn)行物理模擬試驗(yàn)，用特定測(cè)量技術(shù)觀測(cè)流動(dòng)參數(shù)，分析、處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).其相似準(zhǔn)則可從各物理量的理論表達(dá)式中導(dǎo)出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可為數(shù)值模擬提供需要的計(jì)算參數(shù).常用的實(shí)驗(yàn)有:水池實(shí)驗(yàn)、水洞實(shí)驗(yàn)等.觀測(cè)實(shí)驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是物理現(xiàn)象和測(cè)試結(jié)果最直觀、真實(shí)，可靠，發(fā)現(xiàn)理論和檢驗(yàn)理論都需要依靠觀測(cè)實(shí)驗(yàn)的方法.其缺點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)需要實(shí)驗(yàn)設(shè)備，且設(shè)備要求高，設(shè)計(jì)制造周期長(zhǎng);運(yùn)行費(fèi)用高;真實(shí)模擬物理問(wèn)題困難，不是所有環(huán)境都能滿足實(shí)驗(yàn);觀測(cè)實(shí)驗(yàn)不可重復(fù)，不可控制;只能得到有限實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)且測(cè)量存在困難等.

理論分析所揭示的是普遍規(guī)律，具有普遍適用性.其中的關(guān)鍵點(diǎn)在于提出理論模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求出理論結(jié)果.它的優(yōu)點(diǎn)是能夠準(zhǔn)確描述和反映流體運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象和規(guī)律.首先，如果能夠通過(guò)精確求解描述水流及其輸運(yùn)現(xiàn)象的微分方程，得到流場(chǎng)中各物理量的表達(dá)式，以及全流場(chǎng)的準(zhǔn)確信息，這無(wú)疑與物理模擬或數(shù)值模擬所得到的局部近似值是不可比擬的，要更為全面和深刻.再者，要證明對(duì)特定水力現(xiàn)象的數(shù)值模擬是準(zhǔn)確的，需要用理論分析方法對(duì)數(shù)學(xué)模型的正確性和適用性加以證明.最后，還需要用理論分析工具對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行整理和分析.理論分析的缺點(diǎn)是因?yàn)閿?shù)學(xué)上的困難，許多實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題難以精確求解，而且其求解過(guò)程繁瑣，分析范圍有限.只有特定條件下的極少數(shù)問(wèn)題，通過(guò)簡(jiǎn)化其運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件，可獲得解析解.目前，理論分析法對(duì)絕大多數(shù)的水力學(xué)實(shí)際問(wèn)題是無(wú)能為力的.

數(shù)值模擬也叫作數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)，是指對(duì)流體力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程作簡(jiǎn)化并進(jìn)行數(shù)值離散，建立數(shù)值模型，編制程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，獲得定量描述流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值解，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較.

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程，在無(wú)法獲得理論精確解的情況下，只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)求解.這種通過(guò)數(shù)值計(jì)算獲得流動(dòng)區(qū)域中離散點(diǎn)的數(shù)值解的方法，通常稱為流體力學(xué)數(shù)值解法.隨著高速電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)顯示出其巨大的優(yōu)勢(shì).計(jì)算水力學(xué)是以流體力學(xué)的基本方程(N－S方程)為理論依據(jù)，采用離散化的數(shù)值方法對(duì)流體力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬和分析.常用的離散方法有:有限差分法、有限元法、有限體積法等.

數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)是所有試驗(yàn)條件都以數(shù)字形式給出，不受試驗(yàn)場(chǎng)地和試驗(yàn)儀器的影響;能計(jì)算理論分析方法無(wú)法求解的數(shù)學(xué)方程，模擬多種因素在復(fù)雜條件下的物理過(guò)程;比實(shí)驗(yàn)方法省時(shí)省錢(qián)，計(jì)算結(jié)果可反復(fù)使用，具有高效、經(jīng)濟(jì)、簡(jiǎn)便的特點(diǎn).數(shù)值方法的缺點(diǎn)是受數(shù)學(xué)模型正確性和計(jì)算機(jī)性能的限制;數(shù)值模擬的可靠性和精度取決于數(shù)學(xué)方程的離散方法、誤差和計(jì)算方法;它無(wú)法模擬數(shù)學(xué)方程尚不能描述的物理現(xiàn)象，難以處理小尺度紊動(dòng)、拐點(diǎn)和奇點(diǎn)等局部現(xiàn)象;模擬過(guò)程不夠直觀、逼真.

3 水力學(xué)數(shù)值模擬常用方法及比較

3.1 水力學(xué)數(shù)值模擬常用方法

(1)有限差分法［2］.數(shù)值計(jì)算中最常用且經(jīng)典的方法就是有限差分法.它的基本思想是按時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)對(duì)定解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分;將連續(xù)的求解區(qū)域用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替，用差商替換導(dǎo)數(shù)，把微分方程離散化為差分方程組，即代數(shù)方程組;求解該差分方程組，得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解，作為微分方程定解問(wèn)題的數(shù)值近似解.

(2)有限元法［3］.有限元方法在水力學(xué)數(shù)值計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，其求解問(wèn)題的基本思路和步驟為:建立與實(shí)際流體控制方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分方程;根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行單元剖分;根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，確定單元基函數(shù);離散微分方程，通過(guò)計(jì)算獲得含有待定系數(shù)的單元有限元方程;把局部單元總體合成，形成總體有限元方程;求解有限元方程，獲得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.不同的權(quán)函數(shù)和不同的插值函數(shù)形式，構(gòu)成了不同的有限元方法.

(3)有限體積法［3］.有限體積法的基本思路為:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行體積劃分，將其劃分成若干控制體積，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)控制體積;將實(shí)際流體控制方程對(duì)每一控制體積積分，可得到一組離散方程.其中的未知數(shù)是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的因變量的數(shù)值.

(4)有限分析法［4］.有限分析法是由美國(guó)華裔科學(xué)家陳景仁教授在1980年提出的.其原理是在局部單元上線性化微分方程和插值近似邊界的條件下，求局部單元上的解析解，從而構(gòu)成整體的線性代數(shù)方程組.有限分析法將解析法與數(shù)值法相結(jié)合，是計(jì)算流體力學(xué)的一個(gè)進(jìn)步.

3.2 分析

有限差分法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念明確，表達(dá)簡(jiǎn)單，直接將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;在解的唯一性、收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計(jì)等方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較完善，可以根據(jù)不同的離散方法得到不同的精度;計(jì)算程序簡(jiǎn)單.主要缺點(diǎn)是離散方程的守恒性難以保證;對(duì)復(fù)雜流體區(qū)域的適應(yīng)性較差，可采用貼體坐標(biāo)系進(jìn)行變換，但計(jì)算比較復(fù)雜.

有限元法適合于橢圓型問(wèn)題的求解，能夠較好地模擬具有復(fù)雜區(qū)域和物理?xiàng)l件的流場(chǎng).其主要優(yōu)點(diǎn)有:邊界適應(yīng)性強(qiáng)，計(jì)算精度高;可任意局部加密;易于實(shí)現(xiàn)程序的標(biāo)準(zhǔn)化，通用性強(qiáng).在函數(shù)分析、優(yōu)化理論等基礎(chǔ)上建立的現(xiàn)代有限元形式下，如果選取特定的權(quán)函數(shù)，有限元法可以退化為有限差分、有限體積等方法.有限元在固體力學(xué)中獲得了巨大的成功，但在流體力學(xué)中容易產(chǎn)生穩(wěn)定性和收斂性方面的問(wèn)題，從而制約了有限元法在計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.

有限體積法屬于采用局部近似的離散方法，適用于流體計(jì)算，可用于不規(guī)則網(wǎng)格.它的主要優(yōu)點(diǎn)是:基本思路易于理解;離散方程系數(shù)的物理意義清晰、明確;離散方程對(duì)任一控制體積和整個(gè)計(jì)算區(qū)域守恒，穩(wěn)定性良好;計(jì)算方法成熟，易于編程.其缺點(diǎn)是:計(jì)算精度較低.

有限分析法計(jì)算精度高，具有自動(dòng)迎風(fēng)特性，能準(zhǔn)確地模擬對(duì)流項(xiàng)，收斂較快，計(jì)算穩(wěn)定性好.其缺點(diǎn)是單元系數(shù)復(fù)雜，含有無(wú)窮級(jí)數(shù)，給實(shí)際計(jì)算和理論分析都帶來(lái)了一些困難.

3.3 比較

下面對(duì)上述水力學(xué)數(shù)值模擬中的幾種方法進(jìn)行比較分析.由于水力學(xué)數(shù)值模擬最常用的方法是有限體積法和有限差分法.所以主要對(duì)這兩種方法加以比較:(1)有限體積法的截差是不確定的，有限差分法的截差是直觀的、確定的;(2)有限體積法是對(duì)每個(gè)控制體積進(jìn)行積分推導(dǎo)出來(lái)的，有限差分法則是直接根據(jù)微分方程推導(dǎo)出來(lái)，這是二者最本質(zhì)的區(qū)別;(3)積分時(shí)的精度和處理導(dǎo)數(shù)的精度共同決定了有限體積法的精度.一般來(lái)說(shuō)，由于積分的精度限制，有限體積法的精度總體是二階的.而有限差分法的精度要復(fù)雜得多，一般來(lái)說(shuō)可以比有限體積法的精度更高一些;(4)有限體積法對(duì)于守恒型方程的離散方程保持守恒性，有限差分法則不一定有守恒性;(5)在適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域及邊界的計(jì)算方面，有限體積法比有限差分法有明顯的優(yōu)勢(shì);(6)有限體積法和有限差分法在有些情況下導(dǎo)出的形式相同，但概念不同.

有限體積法和有限元法相比，具有守恒性、物理概念明確的優(yōu)勢(shì);其劣勢(shì)在于計(jì)算精度比有限元法要差.

有限元方法與有限差分法相比，優(yōu)勢(shì)在于能更好地適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域的計(jì)算.而在求解效率和收斂速度方面，有限差分法具有優(yōu)勢(shì).

4 結(jié)語(yǔ)

20世紀(jì)后半葉以來(lái)，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，為數(shù)值求解水流數(shù)學(xué)模型帶來(lái)了活力.目前，隨著高速計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算水力學(xué)正處于快速發(fā)展階段，新的結(jié)果層出不窮.但理論還不夠成熟，方法和工具還受到各方面的限制.從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，水流(特別是紊流)模型的非線性特征，包含著許多數(shù)學(xué)上極富挑戰(zhàn)性的理論問(wèn)題.就計(jì)算方法而言，更需要不斷地探索和創(chuàng)新，建立新的模型和算法，以滿足解決實(shí)際問(wèn)題之需要.因此，該領(lǐng)域的研究有著廣闊的發(fā)展空間和廣泛的應(yīng)用前景.

［1］魏文禮.計(jì)算水力學(xué)理論、方法及應(yīng)用［M］.西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

［2］李榮華.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［3］劉儒勛，舒其望.計(jì)算流體力學(xué)的若干新方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［4］槐文信，趙明登，童漢毅.河道及近海水流的數(shù)值模擬［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.