鄭 堂 李世平 程雙江 鄔肖敏

(第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025)

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隨機(jī)共振用于微弱信號(hào)檢測時(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)研究

鄭 堂 李世平 程雙江 鄔肖敏

(第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025)

分析了參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振中系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對輸出效果的影響，通過仿真，得出了不同參數(shù)條件下系統(tǒng)輸出效果，同時(shí)，分析了信噪比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化關(guān)系，定量的描述了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對輸出的影響，根據(jù)仿真結(jié)果，總結(jié)了隨機(jī)共振用于微弱信號(hào)檢測時(shí)的參數(shù)調(diào)節(jié)策略，為參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振提供了一個(gè)具體可行的操作步驟。

微弱信號(hào)；信噪比；隨機(jī)共振；結(jié)構(gòu)參數(shù)

0 引言

隨機(jī)共振的概念是1981年Benzi及其團(tuán)隊(duì)在研究古氣候冰川問題時(shí)提出的[1]，用以解釋地球氣候以十萬年為周期的冰川期與暖氣候期的交替現(xiàn)象。隨機(jī)共振現(xiàn)象可以簡要的描述如下：對于淹沒于噪聲中的周期信號(hào)，當(dāng)通過某些非線性系統(tǒng)處理后，噪聲和周期信號(hào)能夠達(dá)到一種協(xié)同作用，使得噪聲能量向周期信號(hào)轉(zhuǎn)換，從而使得系統(tǒng)的輸出得到優(yōu)化，輸出中的周期信號(hào)得以凸顯出來。這正是將隨機(jī)共振用于檢測微弱信號(hào)的機(jī)理所在。

與傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測方法不同，隨機(jī)共振是利用噪聲而非抑制噪聲，這使得它在檢測微弱信號(hào)時(shí)具有很多其它方法所不具備的優(yōu)勢。目前，用于研究隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型主要有以下幾個(gè)[2-7]：雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、閾值系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)和帶參數(shù)的神經(jīng)模型等。本文選用的是非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，具體的說就是非線性朗之萬方程(Langevin Equation，LE)。

隨機(jī)共振提出之初，人們僅僅將目光集中于噪聲對系統(tǒng)輸出的影響，即適當(dāng)增大輸入信號(hào)中的噪聲強(qiáng)度使得輸出中的周期信號(hào)更好的凸顯出來，但隨著Xu等人在研究多頻模擬信號(hào)處理時(shí)提出了參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振即思想[8-9]之后，系統(tǒng)參數(shù)對輸出效果的影響越來越受到重視，本文著重研究的就是非線性朗之萬方程(Langevin Equation，LE)中的兩個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)輸出的影響，同時(shí)得出調(diào)節(jié)這兩個(gè)參數(shù)的方法策略。

1 隨機(jī)共振數(shù)學(xué)模型

本文用于研究隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型是非線性朗之萬方程，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

(2)

圖1 a=b=1且無輸入信號(hào)時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)

當(dāng)輸入信號(hào)換為周期信號(hào)時(shí)，即s(t)=A0cos(ωt)，考慮系統(tǒng)狀態(tài)的演化。當(dāng)周期信號(hào)幅值A(chǔ)0小于靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0時(shí)，雖然隨著ωt由2p 變化到0的過程中，輸入值相當(dāng)于常值輸入時(shí)A由0變化到A0，但是由于A0始終小于靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0，因此，布朗粒子只能在某一個(gè)勢阱內(nèi)部作小范圍震蕩，無法發(fā)生勢阱間的躍遷，然而當(dāng)周期信號(hào)幅值A(chǔ)0大于靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0時(shí)，情況就完全不一樣了，此時(shí)，隨著ωt由2p 變化到0，輸入值將最終達(dá)到A0而超過靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0，布朗粒子將有條件在勢阱間發(fā)生躍遷，即發(fā)生圖2的演化過程，且此時(shí)布朗粒子躍遷的頻率正是信號(hào)頻率。

下面考慮噪聲存在時(shí)的情況，此時(shí)輸入信號(hào)為s(t)+Γ(t)，這里Γ(t)為高斯白噪聲。前文提到，當(dāng)周期信號(hào)幅值A(chǔ)0小于靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0時(shí)，布朗粒子是無法發(fā)生勢阱間躍遷的，然而，在引入了噪聲后，情況會(huì)發(fā)生變化，只要噪聲和信號(hào)的合同作用能夠超過系統(tǒng)的靜態(tài)閾值A(chǔ)c0，那么在噪聲的協(xié)同下，布朗粒子就能夠發(fā)生阱間躍遷，即在 [-a/b，a/b]間來回翻轉(zhuǎn)，由于翻轉(zhuǎn)的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號(hào)幅值，同時(shí)，有序的翻轉(zhuǎn)大大抑制了噪聲的能量，使得輸出信號(hào)中周期成分很好的凸顯出來，信噪比得到很大提高，這種在雙穩(wěn)系統(tǒng)條件下的噪聲與周期信號(hào)的協(xié)同作用就是隨機(jī)共振，我們用它來檢測微弱周期信號(hào)的原理也是基于此。

從上面的描述中可以看出，靜態(tài)觸發(fā)閾值A(chǔ)c0是一個(gè)與隨機(jī)共振演化息息相關(guān)的參數(shù)，而這一參數(shù)又直接受系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a和b的影響，因此，隨機(jī)共振效果與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有密切聯(lián)系。

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)a和b對系統(tǒng)輸出的影響

為研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)輸出的具體影響，通過仿真考察不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下系統(tǒng)的輸出效果，得出結(jié)構(gòu)參數(shù)對輸出的影響規(guī)律。

仿真采用四階龍格——庫塔算法，首先選取參數(shù)如下：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取a=1，b=100，噪聲強(qiáng)度為D=0.02，周期信號(hào)幅值為A=0.01，頻率為f=0.01Hz，采樣頻率fs=5Hz。通過仿真得出系統(tǒng)輸入輸出時(shí)域頻域圖如圖3所示。

圖3中，不論是輸入時(shí)頻域圖還是輸出時(shí)頻域圖，都無法分辨出有周期信號(hào)成分的存在，這說明在這一結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，周期信號(hào)、噪聲和系統(tǒng)無法達(dá)到一定的協(xié)同作用，系統(tǒng)沒有發(fā)生隨機(jī)共振，輸出中周期信號(hào)未能凸顯出來。

圖2 隨機(jī)共振演化過程

圖3 a=1，b=100時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻圖

圖4 a=2，b=100和a=3，b=100時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻圖

下面改變參數(shù)a分別使得a=2和a=3，得出仿真結(jié)果如圖4所示，圖中(a)和(b)分別為a=2,b=100和a=3,b=100時(shí)系統(tǒng)輸出頻域圖。從圖4(a)可以看出，在輸出頻域圖中周期信號(hào)頻率f=0.01Hz處有一個(gè)明顯凸起的譜峰，從輸出信號(hào)中可以分辨出周期成分的存在。

從圖3到圖4(a)的變化可以看出，適當(dāng)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)使得系統(tǒng)輸出效果得到了優(yōu)化。

從圖4(b)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a=3，輸出頻域圖中無法分辨出有周期信號(hào)的存在，原因是系統(tǒng)參數(shù)a過大，導(dǎo)致靜態(tài)觸發(fā)閾值過高，當(dāng)前的周期信號(hào)和噪聲的協(xié)同作用無法翻越勢阱。

從圖4(a)到圖4(b)的變化可以看出，系統(tǒng)參數(shù)a并非越大越好，過大的a值會(huì)使得效果變差。

以上定性分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)a對系統(tǒng)輸出的影響，下面通過定量分析系統(tǒng)輸出信噪比隨a的變化關(guān)系考察結(jié)構(gòu)參數(shù)a對輸出效果的影響，其中信噪比的定義為周期信號(hào)頻率處的譜值與同頻背底噪聲之比(取對數(shù)，單位為dB)。

保持圖3中除a以外的其它參數(shù)不變，通過仿真得出系統(tǒng)輸出信噪比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)a的變化關(guān)系如圖5所示。

圖5 b=100時(shí)系統(tǒng)輸出信噪比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)b變化曲線

圖中細(xì)實(shí)線是通過仿真描繪的實(shí)際變化曲線，粗實(shí)線是根據(jù)細(xì)實(shí)線繪制的趨勢圖，從圖中可以明顯看到，隨著a的增大，系統(tǒng)輸出信噪比呈現(xiàn)出先升高后降低的趨勢，大致在a=2時(shí)達(dá)到峰值。這很好的解釋了系統(tǒng)輸出特性從圖3到圖4(a)再到圖4(b)的變化，同時(shí)也直觀的顯示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a對輸出性能的具體影響。

從以上對輸出信噪比的定量分析可以看出，結(jié)構(gòu)參數(shù)a對系統(tǒng)輸出效果有著很大的影響，對于一定的輸入信號(hào)，我們始終能找到一個(gè)合適的a值使得系統(tǒng)輸出信噪比最大，而且這一a值只有一個(gè)，高于或低于這一值都會(huì)使得系統(tǒng)輸出變差。

上面分析了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a對輸出的影響，那么結(jié)構(gòu)參數(shù)b的改變會(huì)對系統(tǒng)輸出產(chǎn)生什么影響呢，下面在圖4(a)參數(shù)的基礎(chǔ)上將b減小到10，同時(shí)調(diào)節(jié)a使得系統(tǒng)輸出效果最佳，在a=0.39時(shí)得到系統(tǒng)的最佳輸出效果如圖6(b)所示。

對比圖6(b)和圖4的輸出頻域圖可以看出，圖6(b)中周期信號(hào)頻率f=0.01Hz處的譜值更加明顯的凸顯了出來，譜值高度明顯高于圖4中周期信號(hào)頻率處的譜值高度，可以說，當(dāng)b由100減小到10后，系統(tǒng)輸出效果得到了很好的改善。

在結(jié)構(gòu)參數(shù)b=10的條件下，再次考察系統(tǒng)輸出信噪比隨參數(shù)a的變化關(guān)系，通過仿真得出關(guān)系曲線如圖7所示。

圖6 b=10，a=0.39時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出頻域圖

圖中細(xì)實(shí)線是通過仿真描繪的實(shí)際變化曲線，粗實(shí)線是根據(jù)細(xì)實(shí)線繪制的趨勢圖。從這一曲線可以明顯看到，輸出信噪比峰值達(dá)到了12dB以上，比圖5中b=100時(shí)的峰值大約高出4dB多，這一結(jié)果充分說明了參數(shù)b對系統(tǒng)輸出效果的影響，對于一定的周期信號(hào)和噪聲，合理的選擇參數(shù)b能夠有效地提高系統(tǒng)輸出信噪比，使輸出信號(hào)中周期信號(hào)更加明顯的凸顯出來。

圖7 b=10時(shí)系統(tǒng)輸出信噪比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)a變化曲線

3 參數(shù)調(diào)節(jié)策略

從上面的分析可以看出，通過對參數(shù)a的調(diào)節(jié)，可以得到一個(gè)最佳的a值，使得輸出信噪比取得極值，而通過對參數(shù)b的調(diào)節(jié)，可以提高輸出信噪比的極值，使得輸出效果得到進(jìn)一步的改善。據(jù)此，提出如下的參數(shù)調(diào)節(jié)策略：

1)對于一定的輸入信號(hào)，首先選取一個(gè)合適的參數(shù)b，使得輸出信噪比峰值滿足要求；

2)根據(jù)所選的參數(shù)b，調(diào)節(jié)參數(shù)a，使得系統(tǒng)輸出能夠取得信噪比峰值。

通過這樣一個(gè)調(diào)節(jié)策略，可以使得系統(tǒng)輸出得到一個(gè)最優(yōu)效果，從而更加有效地檢測出輸入信號(hào)中的微弱周期成分。

4 結(jié)束語

全文著重分析了在進(jìn)行微弱周期信號(hào)檢測時(shí)非線性朗之萬方程中的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)a和b分別對系統(tǒng)輸出效果的影響，通過仿真得出了系統(tǒng)輸出信噪比與兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)仿真分析結(jié)果，得出了隨機(jī)共振用于微弱信號(hào)檢測時(shí)的參數(shù)調(diào)節(jié)策略，為參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振提供了一個(gè)具體的操作步驟，得出了理想的結(jié)論。

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.07.01