丁健峻,薛齊文,劉旭東

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院,遼寧 大連 116028;2. 北京機(jī)械設(shè)備研究所,北京 100854)

基于區(qū)間攝動(dòng)理論的隧道結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

丁健峻1,薛齊文1,劉旭東2

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院,遼寧 大連 116028;2. 北京機(jī)械設(shè)備研究所,北京 100854)

基于區(qū)間攝動(dòng)理論，針對(duì)隧道結(jié)構(gòu)不確定量，結(jié)合基于單元的有限元方法，建立了隧道結(jié)構(gòu)區(qū)間求解模型.該模型采用8節(jié)點(diǎn)等參元進(jìn)行離散，同時(shí)考慮物理參數(shù)不確定性、材料非均質(zhì)不確定性和荷載不確定性，利用區(qū)間有限元方法，對(duì)模型進(jìn)行了不確定性分析，得到了隧道結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)的區(qū)間范圍，并將結(jié)果與ANSYS軟件分析結(jié)果相對(duì)比.數(shù)值結(jié)果表明該模型在求解隧道結(jié)構(gòu)不確定性問題是有效的、可行的.

響應(yīng)分析；不確定性；區(qū)間攝動(dòng)理論；區(qū)間有限元

0 引言

巖土工程是一個(gè)高度復(fù)雜的不確定和不確知系統(tǒng)，在以往的分析中，學(xué)者們將結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件及邊界條件等均視為確定量進(jìn)行分析求解，使結(jié)果存在一定的誤差甚至是錯(cuò)誤.近年來，隨著全國各地高速公路、高速鐵路的飛速發(fā)展，加之科學(xué)技術(shù)以及人們環(huán)境保護(hù)意識(shí)的增長(zhǎng)，以往高挖高填的施工、設(shè)計(jì)工藝越來越不能滿足人們的各項(xiàng)需求，隨之而來的是隧道工程在工程實(shí)際中所占比例提高.近年來許多學(xué)者投身于隧道結(jié)構(gòu)的研究中去，但多是基于確定性進(jìn)行分析研究的.為了得到更加準(zhǔn)確且對(duì)工程實(shí)際有指導(dǎo)意義的分析結(jié)果，對(duì)于隧道結(jié)構(gòu)不確定性問題的研究尤為重要.

針對(duì)不確定性問題的不同類型，目前主要存在三種方法進(jìn)行求解：隨機(jī)模型、模糊模型、區(qū)間分析模型[1].區(qū)間分析模型，無需依賴大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來描述不確定參數(shù)的概率分布或者隸屬函數(shù)，僅需通過不確定參數(shù)的取值范圍，便能求解出響應(yīng)的區(qū)間范圍，更加符合工程實(shí)際.這有助于該模型在工程實(shí)際應(yīng)用中的推廣，區(qū)間攝動(dòng)理論在區(qū)間模型求解過程中也能很好的提高求解效率，減少計(jì)算成本.區(qū)間分析模型在其他領(lǐng)域應(yīng)用較廣，并且取得了很多成果[2-4]，但對(duì)于隧道結(jié)構(gòu)的應(yīng)用而言還相對(duì)較少.

鑒于以上原因，本文基于區(qū)間攝動(dòng)理論，結(jié)合基于單元的有限元方法，建立了隧道結(jié)構(gòu)求解模型，將隧道結(jié)構(gòu)及其周圍巖土視為半無限體，同時(shí)考慮物理參數(shù)、初始條件及所用材料的不確定性對(duì)該結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行靜力響應(yīng)分析，給出了相應(yīng)的數(shù)值算例，將不確定性計(jì)算結(jié)果與ANSYS軟件分析出的確定性結(jié)果相對(duì)比.計(jì)算結(jié)果表明，所提數(shù)值求解模型在對(duì)隧道結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)不確定性問題進(jìn)行分析時(shí)有良好的精度是有效的、可行的.

1 有限元模型

基于單元的有限元控制方程[3]：

KU=F

(1)

引入?yún)^(qū)間攝動(dòng)理論,其中:

將式(1)展開后可得到基于區(qū)間攝動(dòng)理論的單元的有限元方程：

(2)

即，可將工程分解成確定性部分和不確定性部分：

FC=KCUC

(3)

(4)

忽略高階項(xiàng)得：

(5)

將式(3)和(5)利用數(shù)學(xué)變換后可得：

(6)

(7)

令ΔU=ΔU1即得到位移的1階攝動(dòng)解：

(8)

將式(8)帶入式(4)并舍去高階項(xiàng)整理后可得位移的2階攝動(dòng)解：

(9)

同理亦可得到位移的n階攝動(dòng)解，由此可知

(10)

其中，K代表結(jié)構(gòu)剛度陣，U為結(jié)構(gòu)位移列向量，F(xiàn)為外荷載列向量，ΔK,ΔU,ΔF表示相應(yīng)參數(shù)的微小攝動(dòng)量.

由此，通過區(qū)間攝動(dòng)理論，將式(1)分離成表達(dá)形式均為確定性形式的確定性部分式(3)和不確定性部分式(4)，得到1階攝動(dòng)解式(8)與2階攝動(dòng)解式(9)，同理亦可推算出n階攝動(dòng)解，本文計(jì)算中，通過聯(lián)立方程式(3)和式(5)，求解算例，推算至位移響應(yīng)的三階攝動(dòng)解，一定程度上提高了計(jì)算結(jié)果的精度.

2 模型建立

如圖1所示，結(jié)構(gòu)底邊長(zhǎng)10.6m，高11.3m，厚度選取為單位厚度， 隧道弧頂半徑為2m， 寬4m，高5m，隧道結(jié)構(gòu)襯砌部分厚度為0.3m，隧道路基填筑為1m.

圖1 隧道模型

結(jié)構(gòu)劃分時(shí)采用8節(jié)點(diǎn)等參元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共計(jì)劃分88個(gè)單元，316個(gè)節(jié)點(diǎn)，為方便分析，選取測(cè)點(diǎn)1,2,3,4,5,6，如圖2所示.計(jì)算時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)為半無限體，對(duì)除結(jié)構(gòu)頂邊外的其余三邊上各節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全約束，即Ux=Uy=0.

圖2 模型單元?jiǎng)澐旨皽y(cè)點(diǎn)分布

3 算例

考慮隧道結(jié)構(gòu)的區(qū)間靜力問題，如圖1所示的隧道結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格劃分及測(cè)點(diǎn)分布如圖2所示，考慮結(jié)構(gòu)的各物理參數(shù)、初始條件為區(qū)間變量時(shí)，分析該截面測(cè)點(diǎn)的區(qū)間靜力位移響應(yīng)問題，并將計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析的確定性結(jié)果相對(duì)比.

算例1 在結(jié)構(gòu)頂端施加一恒定荷載F=10kN,對(duì)圖中所示各點(diǎn)進(jìn)行位移響應(yīng)分析.假設(shè)確定性情況下彈性模量E=2 000MPa，泊松比μ=0.3.計(jì)算結(jié)果見表1，表2.

表1 區(qū)間計(jì)算結(jié)果1

注：表中位移單位為mm，下表同

由表1，表2可知，結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間范圍的改變并不影響區(qū)間中值的計(jì)算結(jié)果，僅改變區(qū)間結(jié)果的范圍大小，這與前文公式相一致.區(qū)間中值計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果基本一致，能較好的滿足計(jì)算精度.

表2 區(qū)間計(jì)算結(jié)果2

表3 區(qū)間計(jì)算結(jié)果3

表4 區(qū)間計(jì)算結(jié)果4

表5 區(qū)間計(jì)算結(jié)果5

算例2 在結(jié)構(gòu)頂端施加一恒定荷載F=10kN,假設(shè)在確定性情況下，襯砌結(jié)構(gòu)及隧道路基的彈性模量E2為3 000MPa，其余部位彈性模量E1為2 000MPa，泊松比μ皆為0.3.計(jì)算結(jié)果見表3～表5.

由表3～表5可知，當(dāng)考慮材料參數(shù)的不均勻性時(shí)，計(jì)算結(jié)果同樣滿足前文公式，區(qū)間范圍大小的改變并不影響區(qū)間中值結(jié)果，僅對(duì)區(qū)間結(jié)果的范圍有影響，并且區(qū)間中值計(jì)算結(jié)果與ANSYS分析結(jié)果基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型對(duì)于隧道結(jié)構(gòu)不確定性靜力分析的有效性與可行性.

4 結(jié)論

本文將區(qū)間攝動(dòng)理論與有限元方法相結(jié)合，針對(duì)結(jié)構(gòu)的靜力問題，對(duì)具有區(qū)間參數(shù)的隧道結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)問題進(jìn)行了分析.通過數(shù)值算例，驗(yàn)證了所建立的數(shù)值計(jì)算模型在計(jì)算具有區(qū)間參數(shù)的隧道結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)問題的分析和求解中的有效性和可行性，并且有良好的計(jì)算精度，有望于進(jìn)一步對(duì)動(dòng)力問題進(jìn)行研究.

[1]蘇靜波,邵建國.基于區(qū)間分析的工程結(jié)構(gòu)不確定性研究現(xiàn)狀與展望[J].力學(xué)進(jìn)展,2005,35(3):338-344.

[2]杜秀云,唐禎安,薛齊文.瞬態(tài)熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)不確定性區(qū)間數(shù)值分析[J].功能材料,2013,44(11):1558-1561.

[3]蘇靜波.工程結(jié)構(gòu)不確定性分析及其工程研究[D].南京:河海大學(xué),2006.

[4]SHAO GUOJIAN,SU JINGBO.Interval Finite Element Method and Its Application on Anti-Slide Stability Analysis[J]. Applied Mathematics and Mechanics (English Edition),2007,28(4):521-529

[5]GUO SHUXIANG,LV ZHENZHOU.Interval Arithmetic and Static Interval Finite Element Method[J]. Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2001,22(12):1390-1396.

[6]蘇靜波,邵國建,劉寧.基于單元的子區(qū)間攝動(dòng)有限元方法研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(4):524-528.

Tunnel Structure Response Analysis based on Interval Perturbation Theory

DING Jianjun1,XUE Qiwen1,LIU Xudong2

(1.School of Civil and Safety Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;2.Beijing Insititute of Machinery and Equipment,Beijing 100854,China)

A numerical model is established on the basis of combining finite element method and the interval perturbation theory to solve uncertainty problem for the tunnel structure. This model discrete by 8-node isoparametric element,and is solved by the interval finite element method considering the physical parameter uncertainty,the material heterogeneity uncertainty and the load uncertainty.The effectiveness and feasibility of the model is proved by the comparison of the interval analysis results with certainty results with ANSYS.

response analysis;uncertainty;interval perturbation theory;interval finite element method

1673- 9590(2015)01- 0068- 04

2014-01-31

丁健峻(1986-)，男，碩士研究生；薛齊文(1976-)，男，教授，博士，主要從事傳輸反問題、計(jì)算力學(xué)的研究

A

E- mail:sanji_911@163.com.