顧曉光，馬義中，劉 健，汪建均，歐陽林寒

（南京理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇南京210094）

基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計

顧曉光，馬義中，劉 健，汪建均，歐陽林寒

（南京理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇南京210094）

針對多元質(zhì)量特性參數(shù)設(shè)計中模型不確定性問題，提出了一種基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計方法。首先，采用雙響應(yīng)曲面法建立各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的近似模型，進而計算各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間，在此基礎(chǔ)上對質(zhì)量特性指標(biāo)在各自約束條件下的滿意解集進行定義并對約束放寬策略進行設(shè)計，最終通過指標(biāo)相容性分析得到滿足所有約束條件的相容性解集。通過對實際工業(yè)案例進行分析，表明該方法能有效減小模型不確定性的影響，在滿意解集中選取的滿意解與傳統(tǒng)穩(wěn)健解相比更加可靠。

置信區(qū)間；多元質(zhì)量特性；滿意參數(shù)設(shè)計；模型不確定性

0 引 言

參數(shù)設(shè)計由日本著名質(zhì)量專家田口博士于20世紀(jì)60年代提出，主要被應(yīng)用于產(chǎn)品設(shè)計或工藝設(shè)計階段，通過優(yōu)化設(shè)計變量，達到減小波動，提高產(chǎn)品／過程質(zhì)量的目的［1］。傳統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計方法有田口方法、響應(yīng)曲面法、雙響應(yīng)曲面法等［23］。田口方法利用質(zhì)量損失函數(shù)對損失進行度量，是一種以實驗設(shè)計為基礎(chǔ)的用于產(chǎn)品質(zhì)量改進的設(shè)計方法。盡管田口方法已被工業(yè)界和學(xué)術(shù)界廣泛運用，但是其實現(xiàn)參數(shù)設(shè)計的方法和技術(shù)方面仍存在相當(dāng)大的爭議［45］，如：未能提供響應(yīng)與設(shè)計變量之間的數(shù)學(xué)模型、田口內(nèi)外乘積表導(dǎo)致實驗次數(shù)過多以及信噪比作為目標(biāo)函數(shù)效率較低等。響應(yīng)曲面法是Box于1951年提出的一種用于優(yōu)化響應(yīng)變量的方法，該方法通過采用系統(tǒng)的方式對實驗進行設(shè)計，分析輸入變量與響應(yīng)變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系，進而得到相應(yīng)的響應(yīng)變量值和輸入變量水平。文獻［6］較早地將響應(yīng)曲面法引入到參數(shù)設(shè)計中，采用合理的實驗設(shè)計對已有數(shù)據(jù)進行回歸分析，構(gòu)建設(shè)計變量與質(zhì)量指標(biāo)之間的響應(yīng)曲面模型，以尋找設(shè)計變量的最佳組合。響應(yīng)曲面法因其具有嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)依據(jù)、模型可靠性較高等優(yōu)點，引起了學(xué)者的關(guān)注和研究。文獻［7］指出質(zhì)量指標(biāo)對目標(biāo)值的波動是由偏差和方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）組成，在參數(shù)設(shè)計過程中需要同時考慮這兩部分的影響，因此引入了雙響應(yīng)曲面法，首先通過實驗設(shè)計同時擬合質(zhì)量特性值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差響應(yīng)曲面模型，然后將均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后求得標(biāo)準(zhǔn)差最小時的設(shè)計變量值。雙響應(yīng)曲面法通過優(yōu)化質(zhì)量特性的方差或標(biāo)準(zhǔn)差，提高了質(zhì)量特性的穩(wěn)健性，被廣泛地應(yīng)用于產(chǎn)品的參數(shù)設(shè)計中。

產(chǎn)品系統(tǒng)往往要滿足多個質(zhì)量特性的要求，因此多元質(zhì)量特性參數(shù)設(shè)計問題的研究對實現(xiàn)產(chǎn)品系統(tǒng)的持續(xù)質(zhì)量改進具有十分重要的意義。關(guān)于多元質(zhì)量特性的參數(shù)設(shè)計問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得不少的研究成果，所采用的方法主要有如下幾種［8-10］：滿意度法、質(zhì)量損失函數(shù)法、馬氏距離法、過程能力指數(shù)法等。這些方法可分為兩類：一類是將響應(yīng)輸出分為主響應(yīng)與次響應(yīng)，把雙響應(yīng)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為次響應(yīng)作為約束條件的主響應(yīng)最優(yōu)化問題；另一類是建立一個綜合目標(biāo)函數(shù)，求取綜合目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。然而在工程實踐中，設(shè)計變量通常要滿足多個性能指標(biāo)，設(shè)計者所期望的變量優(yōu)化策略應(yīng)是得到相容區(qū)域盡可能大的滿意解集，以便為進一步設(shè)計和物理實現(xiàn)留有更大的自由度。文獻［11］從工程角度對多元質(zhì)量特性的參數(shù)設(shè)計問題進行分析，指出了基于最優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)設(shè)計方法的不足，同時借鑒指標(biāo)相容性分析和滿意控制理論，提出了滿意參數(shù)設(shè)計方法。該方法將設(shè)計變量從理想值點的形式擴展為區(qū)域的形式，為產(chǎn)品設(shè)計提供盡可能大的滿意解集，以滿足多項性能指標(biāo)及其約束優(yōu)先級要求。

隨著生產(chǎn)工藝復(fù)雜度的提升，簡單的多項式模型對生產(chǎn)過程的真實關(guān)系難以準(zhǔn)確刻畫，設(shè)備及測量方法等對實驗數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性會有較大影響，這就使擬合得到的數(shù)學(xué)模型具有不確定性。模型不確定性通常體現(xiàn)為：在構(gòu)建模型時，無法準(zhǔn)確篩選出模型中的顯著性變量；在擬合模型系數(shù)時，無法準(zhǔn)確估計模型的回歸系數(shù)，并由此產(chǎn)生估計誤差等。不少學(xué)者指出：在參數(shù)設(shè)計中，如果設(shè)計人員未考慮模型不確定性，將無法估計出正確的設(shè)計變量，甚至推導(dǎo)出不科學(xué)的結(jié)論［12-14］。目前，關(guān)于模型不確定性問題的研究主要采用兩種方法：貝葉斯法和置信區(qū)間法。文獻［15］對于一系列不同結(jié)構(gòu)的模型，采用貝葉斯方法擬合模型并識別各模型是真實模型的后驗概率，以后驗概率值最大時的模型為穩(wěn)健實驗設(shè)計的模型，減少線性回歸模型中模型不確定性的影響。文獻［16］同時考慮模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)中的不確定性，采用貝葉斯方法計算不同結(jié)構(gòu)模型的后驗概率并作為權(quán)重，再通過加權(quán)平均方法得到組合模型，以提高穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的可靠性。文獻［17］將高斯過程模型作為計算機仿真的近似模型，運用貝葉斯方法研究了穩(wěn)健設(shè)計優(yōu)化過程中模型輸入未知和模型插值所導(dǎo)致的不確定性問題，分析了計算機實驗設(shè)計中模型不確定性的影響。文獻［18］分析模型的估計誤差對穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的影響，運用貝葉斯后驗預(yù)測方法以評估預(yù)測響應(yīng)值落在規(guī)格限內(nèi)的概率，以響應(yīng)預(yù)測值規(guī)格限內(nèi)概率最大時的參數(shù)值為最優(yōu)參數(shù)。文獻［19］指出由于模型存在不確定性，通過穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計得到一組特定的設(shè)計變量值是不合理的，因此，根據(jù)變量的分布情況采集實驗數(shù)據(jù)，計算可控變量的置信區(qū)間，進而分析并證明了設(shè)計變量的真實值會以較高的概率落在該置信區(qū)間內(nèi)。文獻［20］提出了一種謹慎的穩(wěn)健設(shè)計方法，基于響應(yīng)曲面模型，采用貝葉斯方法計算模型參數(shù)的后驗概率并得到后驗均值和方差，最終獲得謹慎穩(wěn)健設(shè)計下的輸入?yún)?shù)值。雖然目前貝葉斯方法常被用于解決參數(shù)設(shè)計中的模型不確定性問題，但是也有不少學(xué)者指出其局限［21-23］：①用于分析的先驗信息通常不易獲取，若先驗信息不正確，那么基于此所得的結(jié)果將是無用的甚至是錯誤的；②后驗分布未知時，計算量較大。特別地，在解決多元質(zhì)量特性的不確定問題時，這些局限會更加突出，使得貝葉斯方法難以向工程實踐推廣應(yīng)用。文獻［24］通過預(yù)測響應(yīng)變量置信區(qū)間，并在該區(qū)間內(nèi)進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計以減小模型不確定性的影響，但該方法只對單個質(zhì)量特性的參數(shù)設(shè)計問題進行了研究。文獻［25］將置信區(qū)間方法推廣到多元質(zhì)量特性的參數(shù)設(shè)計中，基于滿意度函數(shù)法提出了考慮模型不確定性的多響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化方法，采用該方法對實際案例分析，比較了所得優(yōu)化解與傳統(tǒng)優(yōu)化解的異同，指出置信區(qū)間方法計算簡單，與其他方法相比更便于工程實踐。文獻［26］同時考慮二次損失的期望和方差，提出了一種整合的損失函數(shù)方法，其中在構(gòu)建優(yōu)化策略時，使模型預(yù)測的置信區(qū)間滿足響應(yīng)規(guī)格限的要求，以降低模型不確定性對優(yōu)化結(jié)果的影響。以上解決模型不確定性問題的方法，從不同角度分析模型不確定性帶來的影響，進而求解得到相應(yīng)策略下的設(shè)計變量值。然而，在產(chǎn)品參數(shù)設(shè)計的工程實踐中，指標(biāo)約束通常是具有優(yōu)先級的，即優(yōu)先使某些重要的指標(biāo)約束被滿足，再考慮其他指標(biāo)約束，而且生產(chǎn)過程中產(chǎn)品性能指標(biāo)會隨環(huán)境變化或部件老化等原因而惡化，這就要求設(shè)計變量具有更大的備選空間以便于后繼改進和設(shè)計。滿意參數(shù)設(shè)計方法在解決這些問題時比傳統(tǒng)的方法更具有優(yōu)勢。

針對多元質(zhì)量特性參數(shù)設(shè)計中模型不確定性問題，本文從工程應(yīng)用的角度，提出了一種基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計方法。該方法構(gòu)建各個質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的雙響應(yīng)曲面模型并計算置信區(qū)間，然后分析各質(zhì)量特性的類別，進而定義各指標(biāo)的滿意解集及不同指標(biāo)之間的相容性解集，再分解指標(biāo)約束并對約束放寬策略進行設(shè)計，最終通過指標(biāo)相容性分析得到滿足所有約束條件的滿意解集。

1 滿意參數(shù)設(shè)計的基本思想

1.1 滿意參數(shù)設(shè)計問題的描述

由文獻［11］，將滿意參數(shù)設(shè)計問題做如下描述：

給定約束集合A，滿意區(qū)域Ω和函數(shù)

式中，G為一個屬性函數(shù)。滿意參數(shù)設(shè)計就是尋找盡可能大的集合Λ?A，滿足?ω∈Λ，G（ω）?Ω的過程。

1.2 指標(biāo)相容性分析

在多元質(zhì)量特性參數(shù)設(shè)計過程中，通常要解決產(chǎn)品的多個指標(biāo)約束沖突問題，這就需要對指標(biāo)進行相容性分析。滿意參數(shù)設(shè)計中相容性分析的定義［11］如下：

假設(shè)a、b為某一問題的兩個指標(biāo)且分別滿足約束條件a∈［la，ha］、b∈［lb，hb］。Ωa、Ωb分別為滿足約束條件a∈［la，ha］、b∈［lb，hb］時設(shè)計變量的取值范圍。若滿足以下條件：

稱指標(biāo)a、b在約束條件a∈［la，ha］、b∈［lb，hb］下是相容的。記Ωc為指標(biāo)a、b在約束條件a∈［la，ha］、b∈［lb，hb］下的相容性解集。反之，則說明不相容。

滿意參數(shù)設(shè)計舍棄了傳統(tǒng)參數(shù)設(shè)計中對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化的方式，根據(jù)工程情況確定指標(biāo)的約束范圍，再采用分解指標(biāo)約束、設(shè)計約束放寬策略及分析指標(biāo)相容性等一系列方法，得到設(shè)計變量的滿意解集。設(shè)計人員可以按照工程中的實際情況，在滿意解集中選擇設(shè)計變量值。

2 基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計

2.1 多元質(zhì)量特性的雙響應(yīng)曲面模型

根據(jù)文獻［7］給出的雙響應(yīng)曲面模型，本文對多元質(zhì)量特性的雙響應(yīng)曲面模型作如下描述。

假設(shè)ym表示第m個質(zhì)量特性，xi（i＝1，2，…，k）表示第i個影響因子，則質(zhì)量特性ym的均值和標(biāo)準(zhǔn)差二階模型為

式中，βm0、βmi和βmij分別為均值μm模型的常數(shù)項、一次項和二次項的回歸系數(shù)；γm0、γmi和γmj分別為標(biāo)準(zhǔn)差σm模型的常數(shù)項、一次項二次項的回歸系數(shù)；和為擬合誤差，通常假設(shè)采用最小二乘回歸法估計均值和標(biāo)準(zhǔn)差模型函數(shù)

2.2 均值和標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間的計算公式

參照文獻［27］中單質(zhì)量特性置信區(qū)間計算方法，本文給出了計算各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間的方法。關(guān)于質(zhì)量特性ym的均值，通過對設(shè)計因子進行顯著性檢驗，篩選出顯著因子，得到均值模型的顯著因子向量

可以得模型的系數(shù)向量為

那么，式（5）可寫成

假設(shè)xit（t＝1，2，…，n）為設(shè)計因子xi在第t組實驗時的樣本數(shù)據(jù)，可以得到樣本數(shù)據(jù)矩陣

因此，均值估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為

由于均值和標(biāo)準(zhǔn)差的二階模型形式相似，所以均值和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間計算方法也基本相同。當(dāng)置信水平為1－α?xí)r，標(biāo)準(zhǔn)差σm的置信區(qū)間為

2.3 不同類型質(zhì)量特性滿意解集的定義

根據(jù)田口的質(zhì)量觀，質(zhì)量特性通常分為3種類型［9］：①望大特性；②望小特性；③望目特性。均值指標(biāo)特性通常與質(zhì)量特性保持一致，而標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)一般為望小特性。本文依據(jù)各質(zhì)量特性的類型，采用置信區(qū)間的思想，分別對均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的滿意解集進行定義。

定義1若質(zhì)量特性ym為望大特性且均值指標(biāo)μm滿足以下條件：

定義2若質(zhì)量特性ym為望小特性且均值指標(biāo)μm滿足以下條件：

定義3若質(zhì)量特性ym為望目特性且均值指標(biāo)μm滿足以下條件：

定義4若標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)σm滿足以下條件：

2.4 均值 標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的相容性分析

定義5若滿足以下條件：

b

定義7若滿足以下條件：

定義8若滿足以下條件：

以上定義分別對不同質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的相容性以及同一質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相容性進行了描述，給出了判定均值 標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)是否相容的依據(jù)。

2.5 計算步驟

根據(jù)上文中相關(guān)定義和滿意參數(shù)設(shè)計方法的一般流程［11］，本文提出了基于置信區(qū)間的滿意參數(shù)設(shè)計方法，其計算步驟為：

步驟1采集并分析實驗數(shù)據(jù)，構(gòu)建各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的雙響應(yīng)曲面模型。

步驟2分析均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)及其約束條件，將其劃分為硬約束及軟約束。

步驟3考慮模型不確定性，采用置信區(qū)間法，得到均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)在各自最寬松約束條件下的滿意解集。如果所有滿意解集均不為空集，轉(zhuǎn)到步驟4，否則退出計算，并提示滿足所有指標(biāo)約束條件的滿意解不存在。

步驟4分析軟約束并確定其優(yōu)先級，同時對軟約束放寬策略進行設(shè)計。

步驟5分析均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)約束的相容性，求解滿足所有約束條件的相容性解集。當(dāng)指標(biāo)約束之間存在沖突時，按照步驟4中的軟約束放寬策略對相應(yīng)指標(biāo)約束放寬；如果相容性解集為空集，則無法得到滿足所有指標(biāo)約束條件的滿意解。

3 實例分析

3.1 膠質(zhì)氣體泡沫實驗

文獻［28］首先研究了膠質(zhì)氣體泡沫的參數(shù)設(shè)計問題，隨后文獻［9］和文獻［29］分別采用過程能力指數(shù)法和滿意度函數(shù)法對該問題進行了研究。膠質(zhì)氣體泡沫的參數(shù)設(shè)計問題涉及多個質(zhì)量特性和設(shè)計變量，不同質(zhì)量特性的指標(biāo)擁有不同的優(yōu)先級。本文以穩(wěn)定性（y1）、容積率（y2）和溫度（y3）為質(zhì)量特性，研究設(shè)計變量表面活性劑濃度（x1），鹽濃度（x2）和攪拌時間（x3）的參數(shù)設(shè)計。其中，y1為望大質(zhì)量特性，y2為望小質(zhì)量特性，y3為望目質(zhì)量特性，設(shè)計變量的取值范圍為－1≤x1≤1、－1≤x2≤1、－1≤x3≤1。各質(zhì)量特性需要滿足如下要求：

（1）穩(wěn)定性（y1）、容積率（y2）和溫度（y3）的標(biāo)準(zhǔn)差分別必須滿足σ1≤0.1、σ2≤0.1和σ3≤2；

（2）溫度（y3）均值的目標(biāo)值為30℃。穩(wěn)定性（y1）、容積率（y2）和溫度（y3）的均值要盡可能滿足約束條件μ1≥5、μ2≤0.4和23≤μ3≤37，當(dāng)指標(biāo)約束不相容時，可以放寬約束條件至μ1≥4.5、μ2≤0.5和20≤μ3≤40。

步驟1 表1為膠質(zhì)氣體泡沫實驗的實驗數(shù)據(jù)，采用雙響應(yīng)曲面法分析實驗數(shù)據(jù)，可以得到各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差的近似模型［9］：

表1 膠質(zhì)氣體泡沫實驗的實驗數(shù)據(jù)

其中，在擬合溫度（y3）的估計標(biāo)準(zhǔn)差模型時，x1x2x3項的影響較為顯著，因此在擬合標(biāo)準(zhǔn)差^σ3近似模型的過程中需要考慮x1x2x3項。

步驟2 由于各質(zhì)量特性標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的約束條件為固定范圍，而均值指標(biāo)的約束條件可以視情況放寬，因此可以分解約束條件為硬約束和軟約束，具體情況如下。

步驟3考慮模型不確定性，根據(jù)步驟1和步驟2的分析結(jié)果，計算各個指標(biāo)分別滿足硬約束和放寬軟約束條件下的滿意解集。通過對數(shù)據(jù)分析可知：當(dāng)α≤0.75時，各均值和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間較窄，無法得到滿足所有指標(biāo)約束條件的滿意解集。故本文令α＝0.8，此時各均值和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間足夠?qū)挘兄笜?biāo)在各自最寬松約束條件下的滿意解集均不為空集。

步驟4為了說明文中所提出的方法，通過與工程師對本實驗分析研究，本文對軟約束的優(yōu)先級做如下規(guī)定：

按照軟約束的優(yōu)先級設(shè)計約束放寬策略及相容性分析計算步驟（見圖1）。首先在硬約束H1、H2、H3條件下對指標(biāo)進行相容性分析，硬約束條件下相容性解集為非空集，說明硬約束條件下指標(biāo)相容；然后按照軟約束S1、S2、S3的優(yōu)先級依次進行指標(biāo)相容性分析，若相容性解集均為非空集，說明軟約束S1、S2、S3與硬約束相容，可以得到滿足所有約束條件的指標(biāo)滿意解集；否則說明指標(biāo)不相容，依次放寬軟約束條件并進行計算。

圖1 約束放寬策略及指標(biāo)相容性分析流程圖

步驟5根據(jù)約束放寬策略對各指標(biāo)進行相容性分析。由于軟約束條件S1、S2、S3與硬約束條件不相容，即軟約束條件S1、S2、S3與硬約束條件下指標(biāo)的相容性解集為空集。依據(jù)軟約束的優(yōu)先級，設(shè)計者將軟約束依次放寬至S1′、S2′、S3′，此時軟約束條件S1′、S2′、S3′與硬約束條件下指標(biāo)的相容性解集為非空集，即存在滿足所有指標(biāo)約束條件的相容性解集Qw。

圖2中陰影區(qū)域為滿足所有約束條件的相容性解集Qw，從中隨機抽取10組設(shè)計變量進行分析。計算各組設(shè)計變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)置信區(qū)間，設(shè)計變量及計算結(jié)果如表2所示。經(jīng)分析可知，所抽取的10組設(shè)計變量均能滿足硬約束σ1≤0.1、σ2≤0.1和σ3≤2，以及放寬軟約束μ1≥4.5、μ2≤0.5和20≤μ3≤40。

圖2 滿足所有硬約束及放寬軟約束的相容性解集Qw

表2 設(shè)計變量取值及相應(yīng)均值 標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的置信區(qū)間

3.2 比較分析

本文采用文獻［25］中多響應(yīng)穩(wěn)健滿意度函數(shù)方法和文獻［11］中未考慮模型不確定性的滿意參數(shù)設(shè)計方法，分別與本文的方法進行比較。

3.2.1 采用文獻［25］中的方法比較分析

對實例計算分析可知，設(shè)計變量在取值范圍內(nèi)滿足：μ1＜5.5、μ2＞0.3、σ1＞0.05、σ2＞0.04和σ3＜1。根據(jù)文獻［25］中各類型質(zhì)量特性的滿意度計算方法，可以得到各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度計算公式為

那么，考慮各均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的權(quán)重，構(gòu)造如下基于總體滿意度的參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

表3 采用文獻［25］中方法所得穩(wěn)健點及本文方法所得滿意點

圖3 采用文獻［25］中方法和采用本文方法的結(jié)果比較

本文對設(shè)計變量取值為Q點和M點時的質(zhì)量損失和過程能力進行比較分析。所采用多元質(zhì)量損失函數(shù)［30］和多元過程能力指數(shù)［9］的公式如下：

式中，MQLF和MCpm分別表示多元質(zhì)量損失和多元過程能力指數(shù)；mdata為樣本大?。籿為質(zhì)量特性維數(shù)；wi為第i個質(zhì)量特性的質(zhì)量損失在總量損失中所占權(quán)重；σij為第i個質(zhì)量特性與第j個質(zhì)量特性均值的協(xié)方差；Ti為設(shè)計者期望第i個質(zhì)量特性均值所達到的目標(biāo)值。

由實例數(shù)據(jù)及以上分析可知：mdata＝34，v＝3，w1＝w2＝w3＝0.333 3，σ12＝0.095，σ13＝0.95，σ23＝0.05，T1＝5.5，T2＝0.3，T3＝30。采用式（22）和式（23）計算設(shè)計變量取值為Q點和M點的多元質(zhì)量損失和多元過程能力指數(shù)，如表4所示，設(shè)計變量取值為M點時與取值為Q點時相比，質(zhì)量損失更小，而多元過程能力指數(shù)更高。顯然，設(shè)計變量取值為M點時產(chǎn)品的質(zhì)量性能要優(yōu)于取值為Q點，這也說明了文獻［25］中的方法在參數(shù)設(shè)計過程中較為保守。

表4 Q點和M點的MQLF和MCpm對比分析

綜合上述分析可以得出：與文獻［25］中的方法相比，本文方法能較好地考慮各指標(biāo)約束的優(yōu)先級并為參數(shù)設(shè)計提供了較大的解集，設(shè)計者可以根據(jù)實際情況選取滿意解，一定程度上提高了系統(tǒng)的可靠性，并且避免了采用文獻［25］中穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計方法所得穩(wěn)健解過于保守的問題。

3.2.2 采用文獻［11］中的方法比較分析

采用文獻［11］中的方法分析該實驗，得到未考慮模型不確定性的滿意解集Qc（見圖4）。圖5為x3＝－1時采用文獻［11］和采用本文方法所得滿意解集的比較圖，陰影區(qū)域表示基于置信區(qū)間的滿意解集Qw（x3＝－1），斜線區(qū)域表示未考慮模型參數(shù)不確定性的滿意解集Qc（x3＝－1）。在Qc（x3＝－1）中隨機抽取5個點，此時各質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)估計值及置信區(qū)間如表5所示。

圖4 未考慮模型不確定性時滿足所有約束的滿意解集

圖5 x3＝－1時采用文獻［11］和采用本文方法所得滿意解集的比較

表5 采用文獻［11］中方法的運算結(jié)果及分析

對于點（－0.38，－0.41，－1），得到σ3U＞2，即質(zhì)量特性y3均值的置信區(qū)間不能滿足硬約束條件σ3≤2；對于點（－0.09，－0.28，－1）、（－0.03，－0.41，－1）、（0.02，－0.25，－1），得到σ1U＞0.1，即質(zhì)量特性y1均值的置信區(qū)間都不能滿足硬約束條件σ1≤0.1。顯然，對于未考慮模型不確定性的滿意參數(shù)設(shè)計方法所得到的滿意解，模型不確定性使質(zhì)量特性的置信區(qū)間可能無法滿足全部約束條件，在滿意參數(shù)設(shè)計過程中考慮模型不確定性是更為科學(xué)合理的。

綜上所述，通過本文所提方法，設(shè)計者可以很好地考慮各指標(biāo)的優(yōu)先性并有效地減小模型不確定性所帶來的影響，同時與傳統(tǒng)方法相比具有更大的自由度，為進一步參數(shù)的優(yōu)化與設(shè)計提供更大的解集。

4 結(jié) 論

本文針對多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計中模型不確定性的問題，構(gòu)建了各個質(zhì)量特性均值和標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間的估計模型，定義了各類質(zhì)量特性指標(biāo)在各自約束條件下的滿意解集，最后給出了基于模型參數(shù)不確定的相容性解集求取步驟。通過對實例分析可知，本文的方法為設(shè)計參數(shù)的選擇提供了盡可能大的解集，有效地減小了模型不確定性的影響，同時在一定程度上避免了傳統(tǒng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計所得穩(wěn)健參數(shù)值過于保守的問題，具有一定的理論價值和實踐意義。

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顧曉光（198-6- ），男，博士研究生，主要研究方向為質(zhì)量控制技術(shù)、參數(shù)設(shè)計。

E-mail：guxiaoguang＠hotmail.com

馬義中（1964- ），通信作者，男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為質(zhì)量工程、質(zhì)量管理。

E-mail：yzma-2004＠163.com

劉 健（198-2- ），男，講師，博士后，主要研究方向為供應(yīng)鏈質(zhì)量管理、決策分析。

E-mail：jianlau＠njust.edu.cn

汪建均（1977- ），男，副教授，博士后，主要研究方向為質(zhì)量工程、貝葉斯統(tǒng)計。

E-mail：wjj19770818＠163.com

歐陽林寒（1987- ），男，博士研究生，主要研究方向為質(zhì)量工程、貝葉斯統(tǒng)計。

E-mail：oylh871109＠163.com

Satisfactory parameter design approach based on confidence interval for multivariate quality characteristics

GU Xiao-guang，MA Yi-zhong，LIU Jian，WANG Jian-jun，OUYANG Lin-han
（School of Economics and Management，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

A satisfactory parameter design approach based on confidence interval is proposed to solve the model uncertainty problem of multivariate quality characteristics.The response models of mean and standard deviation are built by using the dual response surface method，and then their confidence interval expressions are obtained.The satisfactory sets which make each quality characteristic satisfies the respective constraint are defined based on the confidence intervals，and the constraint relaxed strategy is then designed.The consistency set that satisfies all constraints is obtained through consistency analysis.A numerical example shows that the proposed method can reduce the effect of model uncertainty and the satisfactory parameter is more reliable than the robust parameter which is obtained through the current method.

confidence interval；multivariate quality characteristics；satisfactory parameter design；model uncertainty

O 212.6

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.18

1001-506X（2015）11-2536-10

2015- 01- 15；

2015- 04- 28；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 08- 06。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150806.1454.002.html

國家自然科學(xué)基金（71471088，71301075，71371099）；江蘇省自然科學(xué)基金青年項目（BK20130770）資助課題