董 琪，徐廷學，叢林虎

（1.海軍航空工程學院研究生管理大隊，山東煙臺264001；2.海軍航空工程學院兵器科學與技術系，山東煙臺264001）

基于Markov三級庫存系統(tǒng)備件橫向調撥配置模型

董 琪1，徐廷學2，叢林虎1

（1.海軍航空工程學院研究生管理大隊，山東煙臺264001；2.海軍航空工程學院兵器科學與技術系，山東煙臺264001）

針對特裝器材庫存系統(tǒng)內倉庫間備件橫向調撥問題，提出了基于Markov三級庫存系統(tǒng)備件橫向調撥配置模型。通過考慮基層級倉庫故障件的部分修復情況，根據Markov排隊理論，建立了基層級倉庫分系統(tǒng)庫存模型，得到基層級倉庫庫存穩(wěn)態(tài)概率。對庫存系統(tǒng)內各級進行整合，建立了三級庫存系統(tǒng)橫向調撥配置模型，結合費用參數，對該模型進行優(yōu)化，構建了以期望配置總費用最小為目標、以庫存容量為約束的三級庫存系統(tǒng)橫向轉運費用模型。運用迭代算法和Lingo軟件對模型進行求解。通過實例分析，得到橫向調撥下最優(yōu)配置方案產生的費用為非橫向調撥下的14.55%，驗證了所建模型和算法的合理性。最后，對影響庫存配置的參數進行了靈敏度分析，確定了各參數對優(yōu)化目標的影響程度。

備件配置；馬爾可夫排隊模型；橫向調撥；庫存優(yōu)化

0 引 言

備件供應保障的主要目標不僅是提高備件供應效能，同時還要降低供應保障費用。庫存站點間備件的橫向調撥不僅可以提高保障效能，而且利用庫存共享的原理，降低了庫存站點總庫存量，進而將供應保障費用控制在較低的水平［1］。目前，海軍艦船特裝器材供應保障模式是逐級調撥，即本級倉庫的備件均由上級倉庫進行補充。這種保障模式隨著艦船裝備發(fā)展及訓練的范圍和強度不斷增加而產生了保障能力不足、特裝器材配置不合理等諸多問題。因此，需要研究科學的特裝器材橫向調撥配置方法，確定最優(yōu)的特裝器材配置方案，以最少的經濟投入，實現保障系統(tǒng)效能和艦船裝備可用度最大化。

當前國內外對備件橫向調撥配置開展了大量的研究，取得了較大進展。一方面，研究者們以METRIC模型［2］為理論基礎，研究單級或兩級庫存系統(tǒng)橫向配置問題。文獻［3］研究了分布式零售站點間的緊急調撥問題，確定了站點規(guī)模與費用、訂購策略之間的關系；文獻［4- 5］通過利用動態(tài)規(guī)劃方法求解橫向調撥下的配置方案；文獻［6- 9］利用仿真、蟻群算法、隨機規(guī)劃模型等方法求解庫存系統(tǒng)的備件橫向配置模型。另一方面，部分研究者研究了橫向調撥策略與備件配置方案的關系，以確定出不同情況下的最優(yōu)橫向調撥策略。文獻［10］將橫向調撥策略主要分為主動型和被動型兩種；文獻［11- 12］提出了預防性橫向調撥策略，并進一步擴展，考慮庫存重分配情況下的最優(yōu)橫向調撥策略；文獻［13］提出了利用準近視法確定最優(yōu)被動橫向調撥策略。

盡管針對備件橫向調撥配置的研究開展較為廣泛，但多數METRIC橫向配置模型以Palm定理為基礎，適用于故障件均可被修復，而本文考慮只有部分故障件可修復的情況。Markov模型只考慮庫存狀態(tài)和狀態(tài)轉移的特點，無需考慮故障件是否全部被修復，較適合于解決部分故障件可修復情況下的備件橫向調撥問題。目前僅文獻［14］利用Markov過程理論研究單級多站點備件橫向調撥下的庫存決策問題，但未考慮多級庫存系統(tǒng)的情況。因此，本文在現有艦船特裝器材三級保障模式的基礎上，針對基層級倉庫間允許橫向調撥，利用Markov理論開展優(yōu)化配置方法研究，構建三級特裝器材庫存系統(tǒng)橫向調撥配置模型。結合費用指標，建立相應的優(yōu)化模型。

1 問題的描述

1.1 問題描述

某特裝器材庫存系統(tǒng)可看作一個三級庫存系統(tǒng)，包括基地級倉庫、中繼級倉庫和基層級倉庫，具體庫存系統(tǒng)結構如圖1所示。

圖1 特裝器材庫存系統(tǒng)

由圖1分析可知，該庫存系統(tǒng)由一個基地級倉庫、一個中繼級倉庫和若干基層級倉庫組成，但在特裝器材的保障過程中考慮了維修因素，增加了修理流程。具體保障流程如下：n個特裝器材基層級倉庫分別對應保障n個艦船裝備，且每個艦船裝備因故障產生的需求服從獨立的Poisson過程，均值為λi（i＝1，2，…，n）；中繼級倉庫負責對各基層級倉庫進行特裝器材補充，同理，基地級倉庫負責中繼級倉庫的特裝器材補充。艦船裝備產生的故障件經過修理廠維修，修復的特裝器材送回至原基層級倉庫，該過程同樣服從獨立的Poisson過程，均值為σ，且考慮修理廠的修復率為ρ（0＜ρ＜1）。與此同時，在基層級特裝器材保障過程中，存在橫向調撥情況，即當某基層級倉庫出現庫存短缺時，可從其他基層級倉庫進行器材調撥，補充至該短缺倉庫。

1.2 基本假設

為建立特裝器材配置模型，作如下假設：

（1）各基層級倉庫的最大庫存容量均為S，中繼級倉庫的最大庫存容量為C，基地級倉庫可充分保障中繼級和基層級倉庫的特裝器材需求，即庫存容量無限；

（2）庫存系統(tǒng)中每個倉庫的庫存控制策略為（s-1，s）；

（3）需求首先由對應保障的基層級倉庫滿足，同時向中繼級倉庫申請補貨，補充的時間服從均值為μ－1的指數分布，若此時修理廠將修復器材送回至該倉庫，則無需向中繼級申請補貨；

（4）基層級倉庫間的橫向調撥采取隨機選擇策略，即在庫存容量為正的倉庫間選擇；

（5）若所有基層級倉庫均發(fā)生庫存短缺，則此時產生的需求直接由中繼級倉庫滿足，同時中繼級倉庫向基地級倉庫申請器材補充，補充時間服從均值為γ－1的指數分布；

（6）若基層級倉庫和中繼級倉庫同時發(fā)生短缺，則此時產生的需求將由基地級倉庫滿足；

（7）故障器材維修后，產品修復如新，且維修時間相互獨立；

（8）修理廠的維修渠道無限，故障器材在維修過程中不存在排隊等待現象；

（9）與上下級器材補充的時間相比，橫向調撥的時間可忽略不計。

2 基層級庫存模型構建

2.1 模型參數

在考慮橫向調撥情況下，基層級倉庫的保障水平可由以下參數表征：

pi：基層級倉庫i無法滿足需求的概率；

αi：基層級倉庫i對應的需求通過其他基層級倉庫橫向調撥得到滿足的概率；

βi：需求由基層級倉庫i庫存滿足的概率；

θi：基層級倉庫i對應的需求無法得到滿足的概率。

由參數含義可知，得到以上參數間的關系：

2.2 θi參數模型

由于基層級倉庫間可以通過橫向調撥來滿足艦船裝備對特裝器材的需求，若存在基層級倉庫i對應的需求無法得到滿足的情況，說明所有基層級倉庫的庫存量均為零，都無法滿足此時艦船裝備對特裝器材的需求，因為只要任一基層級倉庫有庫存，則需求就能滿足。因此，基層級各倉庫的θi滿足以下關系：

式中，θ為基層級倉庫無法滿足需求的概率。

2.3 βi參數模型

令xi為時間t內基層級倉庫i由其他基層級倉庫橫向調撥得到滿足的需求，于是有

由橫向調撥得到滿足的需求與自身庫存滿足的需求比率為

基層級倉庫i有庫存條件下的總需求率為

狀態(tài)轉移矩陣Ai與狀態(tài)空間pi滿足以下關系：

由式（8）和式（9）可得

由βi定義可知

因為τi＝λi（1－θ）／βi，則令

于是有

2.4 模型求解

綜上可知，4個模型參數不能通過各自的表達式計算得出，需要通過將式（1）、式（2）、式（4）和式（12）聯立計算得到。

由Markov排隊理論可知，在求解過程中，若μ＋ρσ＜λi，即需求率大于補充率，則無法保證極限概率的存在和聯立方程解的唯一性，證明過程見文獻［15］。因此，需明確聯立等式成立的條件，即μ＋ρσ≥λi。

3 三級庫存系統(tǒng)配置模型及求解

3.1 配置模型構建

圖2 庫存系統(tǒng)整合模型

根據中繼級倉庫和基層級倉庫的庫存容量，可得到庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間的狀態(tài)總數，即（C＋1）（nS＋1），且狀態(tài)變量為

通過將庫存系統(tǒng)的庫存水平按照升序排列，構建出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布q，即

通過構建庫存系統(tǒng)狀態(tài)轉移率矩陣B，使得B和q滿足下列關系［15］：

式中，I為（nS＋1）（nS＋1）維單位矩陣。

由于庫存系統(tǒng)的狀態(tài)形式是一個不可約的Markov鏈，因此，根據Markov極限特性可知［18］，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布存在。

3.2 配置模型構建

由以上建模過程可知，模型求解的難度隨著S的增加而增大。當S較大時，穩(wěn)態(tài)概率分布q難以通過直接計算得到。因此，本文研究了迭代法求解穩(wěn)態(tài)概率分布q［19］。求解步驟如下：

步驟1將狀態(tài)轉移矩陣B進行LU分解，則分別得到下三角矩陣L和上三角矩陣U，即

步驟2 由于U是非奇異的，可將式（14）等價為

步驟3由LU＝B可知，D1＝M1，同時由D1E1＝－CγI可得E1；

步驟4根據D2＝M1＋E1N，得到D2；

步驟5同理，通過依次迭代，最終得到D1，D2，…，DC＋1；

步驟6令q＝［x1，x2，…，xC＋1］，根據式（19）可得xC＋1，使得xC＋1DC＋1＝0；

步驟7由式（19）得到xCDC＝xC＋1N，于是計算得到xC，同理，通過降序依次迭代，最終得到穩(wěn)態(tài)概率分布q＝［x1，x2，…，xC＋1］。

4 優(yōu)化模型求解

本文優(yōu)化三級特裝器材庫存系統(tǒng)的目標是在庫存費用下，求得庫存系統(tǒng)的最優(yōu)庫存配置方案。其中，庫存費用主要包括各倉庫的器材保管費用和滿足需求的費用。首先，定義三級特裝器材庫存系統(tǒng)的費用結構：

Cm：需求由基層級倉庫滿足的費用；

Cl：需求由橫向調撥滿足的費用；

Cns：需求無法滿足造成損失的費用；

Cc：單位時間單個備件在基層級倉庫庫存保管費用；

Ch：單位時間單個備件在中繼級倉庫庫存保管費用。

三級特裝器材庫存系統(tǒng)的單位時間器材保管期望總費用為

式中

這里第i（nS＋1）＋（j＋1）個元素表示當中繼級倉庫庫存量為i，基層級倉庫庫存量為j時的庫存系統(tǒng)單位時間器材保管期望總費用。

庫存系統(tǒng)滿足需求的期望總費用為

三級特裝器材庫存系統(tǒng)配置期望總費用為

現根據優(yōu)化目標建立三級特裝器材庫存系統(tǒng)配置優(yōu)化目標函數如下：

約束條件為基層級和中繼級倉庫的庫存總量上限。

該優(yōu)化模型的求解屬于非線性規(guī)劃問題，因此，運行Lingo軟件求解較為方便，由于篇幅有限，求解過程略。

5 實例分析

特裝器材庫存系統(tǒng)對某型艦船特裝器材進行供應保障，其中該庫存系統(tǒng)的基層級由3個倉庫組成，即n＝3；各基層級倉庫對應的器材需求率分別為λ1＝3、λ2＝5、λ3＝8，單位為次／月；因修理廠完成器材修復對各基層級倉庫產生器材補充率，均為ρσ＝2件／月；中繼級倉庫對各基層級倉庫的平均補充時間均為μ－1＝1／6月；基地級倉庫對中繼級倉庫的平均補充時間為γ－1＝1／3月；庫存系統(tǒng)運行和配置費用參數分別為Cm＝20元，Cl＝40元，Cns＝80元，Cc＝20元，Ch＝10元。基地級倉庫間采用隨機選擇轉運點的策略，并結合以上參數，確定合理的特裝器材配置方案。

由優(yōu)化模型式（25）和式（26）得到橫向調撥情況下不同庫存配置方案的庫存系統(tǒng)配置期望總費用，如圖3所示。為了驗證本文所建模型的有效性，將存在橫向調撥情況和不存在該情況的最優(yōu)配置方案進行對比。其中，由于橫向調撥情況下各基層級倉庫的無法滿足需求概率θi均不大于0.000 4，于是要求不存在橫向調撥情況下各基層級倉庫的θi也滿足此要求，得到兩種情況下最優(yōu)配置方案及總費用，如表1所示。

圖3 基層級倉庫總量與系統(tǒng)總配置費用關系

表1 兩種情況下最優(yōu)配置方案及費用對比結果

由對比結果可知，在相同情況下，橫向調撥配置模型計算結果明顯優(yōu)于不考慮橫向調撥的模型，前者的總配置費用僅為后者的14.55%。

為進一步分析庫存配置模型各參數對結果的影響，分別對費用參數和系統(tǒng)運行控制參數進行調整。首先對庫存系統(tǒng)的費用參數進行如下調整：在對單個費用參數進行調整時，其他費用參數保持不變，且調整幅度分別為原參數的－50%、－25%、＋25%、＋50%、＋100%，得到參數變化與配置期望總費用影響關系圖，如圖4所示。

圖4 費用參數與系統(tǒng)總配置費用關系

由圖4可知，系統(tǒng)配置期望總費用隨各費用參數的增加而增加，但各費用參數對配置總費用的影響程度有所不同，其中Cm和Cc對配置期望總費用的影響較大，其他費用參數的變化影響較小。盡管對各費用參數進行了調整，但得到的最優(yōu)配置方案仍為（3，0，0），只是配置期望總費用不同。

最后，分析庫存系統(tǒng)運行參數對配置結果的影響。為便于分析，初始參數將3個基層級倉庫的需求率均設定為λ1＝λ2＝λ3＝5，其余參數不變，即3個基層級倉庫完全相同。由優(yōu)化模型得到最優(yōu)庫存配置方案為（3，3，3），最優(yōu)配置期望總費用為389.348元。對庫存系統(tǒng)運行控制參數進行調整：每次僅調整一個參數，并保持其他參數不變，且調整幅度針對原參數分別為－40%、－20%、＋20%、＋40%。得到運行控制參數與庫存系統(tǒng)配置期望總費用的關系圖，如圖5所示。

由圖5可知，庫存系統(tǒng)配置期望總費用隨λ和ρσ的增加而增加，而隨μ的增加而減??；庫存系統(tǒng)最優(yōu)配置方案，即基層級最優(yōu)配置量隨λ和μ的增加而增加，而隨ρσ的增加而減少，如表2所示。同時，λ對系統(tǒng)配置期望總費用的影響程度最大，ρσ和μ的影響次之。

圖5 系統(tǒng)控制參數與總配置費用關系

表2 系統(tǒng)控制參數靈敏度分析

對比基層級倉庫間需求率不同和需求率相同的情況，可以看出，最優(yōu)庫存方案和最優(yōu)總期望配置費用的差異較大。當需求率不同、配置量不大時，特裝器材在基層級倉庫儲備時優(yōu)先存放在需求率較低的倉庫，可降低配置費用。

6 結 論

本文從艦船特裝器材保障存在的問題出發(fā)，以某特裝器材庫存系統(tǒng)為研究對象，研究了該系統(tǒng)基層級倉庫存在橫向調撥和部分修復情況下的特裝器材配置方法。利用Markov理論先對基層級倉庫進行建模，并得到基層級倉庫的穩(wěn)態(tài)概率分布。其次，將基層級倉庫進行整合，建立了相同器材補充率、不同基層倉庫需求率的庫存系統(tǒng)的通用配置模型，通過LU分解和迭代法得到整個庫存在全部庫存水平對應的穩(wěn)態(tài)概率分布。最后，綜合費用參數建立了該庫存系統(tǒng)特裝器材配置優(yōu)化模型。通過實例分析，得到了最優(yōu)配置方案，對模型的合理性和有效性進行了驗證。通過對配置優(yōu)化模型的參數進行調整，分析了系統(tǒng)運行控制參數和費用參數對最優(yōu)配置方案和配置期望總費用的影響，為艦船裝備保障人員、庫存系統(tǒng)管理人員和裝備機關科學制定合理的特裝器材配置方案提供了決策依據和指導。

下一步將深入研究不同橫向調撥策略下的配置模型構建及其對最優(yōu)配置方案和配置期望總費用的影響。

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董 琪（198-6- ），男，博士研究生，主要研究方向為裝備綜合保障建模與仿真。

E-mail：lance0627＠163.com

徐廷學（196-2- ），男，教授，博士，主要研究方向為裝備綜合保障理論與技術。

E-mail：xtx-yt＠126.com

叢林虎（198-6- ），男，博士研究生，主要研究方向為導彈裝備綜合保障技術。

E-mail：342743812＠qq.com

Allocation model of spare parts for three-echelon inventory system with lateral transshipment based on Markov

DONG Qi1，XU Ting-xue2，CONG Lin-hu1
（1.Graduate Students’Brigade，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China；2.Department of Ordnance Science and Technology，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

Focusing on the problem that there is lateral transshipment existing in the system of special equipment material，an allocation model for the three-echelon inventory system with lateral transshipment based on Markov is proposed.Combing with the condition that fault spare parts are partly restored，a subsystem inventory model for local warehouses is established according to a Markov queuing theory，and the steady state probability distribution is obtained.The allocation model for a three-echelon inventory system is established with aggregated local warehouses.Then the optimal model is established，and the objective is to minimize the total expected operating cost by choosing the maximum inventory level at the local warehouses.The iteration algorithm and Lingo software are used to solve and optimize the model.In the case，the optimal allocation cost is 14.55%of non-lateral transshipment condition，which shows that the proposed model and algorithm are rational.Finally，sensitivity analysis is made to determine the influence degree of parameters.

spare parts allocation；Markov queuing model；lateral transshipment；inventory optimization

TP 391

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.16

1001-506X（2015）11-2524-07

2014- 12- 04；

2015- 03- 07；網絡優(yōu)先出版日期：2015- 07- 09。

網絡優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150709.1651.004.html