達新宇，廉 晨

（空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

一種加權傅里葉變換域通信方法

達新宇，廉 晨

（空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

為提高通信的安全性，將多項加權分數傅里葉變換（multi-terms weighted-type fractional Fourier transform，MWFRFT）與變換域通信系統(tǒng)（transform domain communication system，TDCS）相結合，提出一種加權傅里葉變換域通信方法。首先使用MWFRFT對原信號進行處理；然后利用混沌序列產生的偽隨機相位生成TDCS基函數；最后將所得信號與基函數調制并用于隱蔽通信。為驗證該方法的可行性，對信號的星座變換特性以及相關特性進行了仿真分析，結果表明，MWFRFT具有較好的星座混淆性，利用混沌映射得到的TDCS基函數相關性有所提高，因此，該方法適用于隱蔽通信。

加權分數傅里葉變換；變換域通信；隱蔽通信；擴頻通信

0 引 言

加權分數傅里葉變換（weighted fractional Fourier transform，WFRFT）［1］自提出以來，在光學方面得到了廣泛應用。近年來，研究者們不斷擴展其形式與范圍，并將其應用到通信［2-3］、信息加密［45］、圖像壓縮［6］等信息隱蔽領域［7］，取得了一定成果。文獻［8］提出了一種離散序列的WFRFT，使信號具有了星座旋轉擴散性，抗檢測性良好，且比特能量均勻分布，提高了抗干擾性。然而，限于離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）周期為4的特點，離散序列的WFRFT的加權項數固定為4。針對此，提出一種離散序列的多項加權分數傅里葉變換（multi-terms WFRFT，MWFRFT）：根據CFRFT定義提出一種離散序列的分數傅里葉變換，再利用SWFRFT中的加權系數以及Shih［1］關于基本算子的要求對離散分數傅里葉變換加權，給出了MWFRFT的定義。

變換域通信系統(tǒng)（transform domain communication system，TDCS）［9］是一種智能通信系統(tǒng)，能檢測空閑頻段進行擴頻通信，從而有效避免了干擾，又因為其基函數相位是由偽隨機序列確定的，類似于噪聲，所以具有了很好的抗截獲性［10］。TDCS的性能取決于基函數的性能［11］，學者們針對門限設計［12］、偽隨機序列生成等多方面提出了不同的基函數設計方法，其中，采用混沌映射得到的基函數相關性能較好。

將MWFRFT與混沌映射產生的TDCS基函數相結合，既可以避免信道干擾和用戶間相互干擾，又可以結合兩種技術的隱蔽特性，得到抗截獲性能更好的信號形式。

1 WFRFT信號

1.1 離散序列4項WFRFT信號

文獻［13］根據WFRFT的形式，結合DFT特點，提出了一種離散序列的加權分數傅里葉變換，定義如下：

式中，X0，X1，X2，X3分別為序列X0的0～3次離散傅里葉變換。ωl為加權系數，與連續(xù)函數的WFRFT定義一致［14］：

式中，V＝（MV，NV），MV＝（m0，m1，m2，…，mM－1），NV＝（n0，n1，n2，…，nM－1）為參數向量；α為變換角度；M為加權項數。由于DFT周期為4，式中M＝4，離散序列的加權分數傅里葉變換也簡稱為4-WFRFT。DFT可以表示成矩陣乘積的形式：

式中，F為DFT的變換矩陣；N為序列X0的長度；WN＝exp（－i2π／N）。則4-WFRFT也可以表示為

推廣得到X0的1～4次4-WFRFT，即S4W：

式中，S0，S1，S2，S3分別為X0的1～4次4-WFRFT，且分別為S0的0～3次DFT，則

又由旋轉相加性可得W4W（α，V）W4W（－α，V）＝I，即W（α，V）＝W4W（－α，V）。則4-WFRFT的逆變換定義為

4-WFRFT可以對任意復離散序列X0進行變換，變換后的信號星座圖發(fā)生旋轉、擴散、分裂和混淆，具有了一定隱蔽特性。以QPSK信號為例，經過4-WFRFT變換后的信號星座變換情況如圖1所示。

圖1 4-WFRFT信號星座圖

由圖1可見，通過改變加權系數，可以使經過變換的信號在復平面上呈現出一種類高斯的分布，只有掌握所以參數信息，經過相應的逆變換，才能恢復出正確的星座圖，而在參數未知的情況下將無法正確解調，從而提供了一種抗截獲的信號變換形式。

同時，可以看出在某些特定點，星座圖發(fā)生了有規(guī)律的旋轉和分裂，并且當參數α接近0、2（4-WFRFT中α周期為4）時，星座圖依然比較集中，易被檢測到，所以在進行隱蔽通信時，需選擇合適的變換參數。

1.2 離散序列MWFRFT信號

4-WFRFT基于離散傅里葉變換周期為4的特點進行加權，加權項數也局限為4項。為提高變換的多樣性，增加變換參數，提出了MWFRFT，該變換將DFT矩陣分數化后再進行加權。過程如下：

首先，將DFT矩陣分數化。DFT周期為4，即F4＝I，現要將其周期擴展為M。根據分數傅里葉變換的思想，令p＝4／M，可以定義新的離散分數傅里葉變換：

則該變換的周期為M。

再對新的離散變換進行加權，加權系數可以沿用連續(xù)函數WFRFT的加權系數，則所得的MWFRFT可表示為矩陣與向量的乘積：

推廣得到：

式中，S0，S1，…，SM－1分別為S0的0～M－1次MWFRFT。與4-WFRFT相同，W（α，V）＝WMW（－α，V），則

MWDFT的逆變換為

由此得到了MWFRFT的定義?？梢姡撟儞Q與原變換相比，加權項數M的選擇范圍更廣，參數更多，增加了加權分數傅里葉變換的多樣性。同時，該變換也具有星座旋轉、分裂、擴散及混淆特性，經過MWFRFT的正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）信號星座圖變換情況如圖2所示。

圖2 MWFRFT信號星座圖

由圖2可見，相比于4-WFRFT，MWFRFT中星座圖的擴散速度更快，混淆性更好，并且隨著M值的增大，α周期變長，減少了較為集中的星座圖數量，更適用于隱蔽通信。

2 TDCS基函數

TDCS的核心內容是基函數生成，基函數的性質決定了通信系統(tǒng)的抗干擾、抗截獲性能，以及頻譜感知和多址接入能力，是其與其他通信系統(tǒng)的區(qū)別所在?；瘮瞪砂朔茸V向量生成、隨機相位編碼、能量調整以及傅里葉反變換。

2.1 幅度譜向量

TDCS有效抵御信道及用戶間干擾的根本原因是系統(tǒng)能夠感知當前電磁環(huán)境，利用空閑頻段進行信號傳輸，過程為：對給定閾值AT，如果某點的功率譜密度的幅值大于AT，則視為該點的頻譜被已干擾或占用，將該點的幅值設置為0；若小于AT，則設置為1，由此得到由0、1構成的幅度譜向量A（ω）：式中，Ai∈｛0，1｝表示第i個采樣點的幅值；N為采樣點數。

2.2 偽隨機相位編碼

TDCS的基函數使用了偽隨機相位，具有類似噪聲的特性，互相關性較低，所以系統(tǒng)抗截獲特性較好，并且具有多址接入能力。已有的偽隨機相位生成方法為：先使用線性反饋移位寄存器產生m序列，再利用相位映射器對m序列進行r比特抽樣后對應2r個復相位值，就構成了偽隨機復相位矢量｛eiθ（k），k＝0，1，…，N－1｝，該矢量與前面的譜矢量A（ω）長度相同。

偽隨機相位決定了TDCS基函數的偽隨機特性，但由于普遍使用的m序列存在周期，且長度有限，限制了相位的偽隨機性。針對此，文獻［15］指出，可以使用長度更長，相關性能更好的混沌序列作為生成TDCS基函數的偽隨機序列。文獻［16］中，提出了采用雙混沌序列［17］生成基函數偽隨機相位的方法，通過增加一維控制參數，并結合混沌映射的混淆性，提高了基函數的偽隨機特性。本文采用雙混沌序列生成偽隨機相位的方法，并使用兩種新型混沌迭代映射方法產生偽隨機相位。

首先使用3次與4次多項式混沌映射交叉迭代產生足夠長的混沌序列，這兩種映射是Logistic映射的變形，通過增加映射函數次數來提高映射的非線性，定義為

式中，參數范圍為k∈（0.5，0.57）。

式中，參數范圍為k∈（1，∞）。

在參數范圍內，兩種映射都達到了滿映射狀態(tài)，能夠產生偽隨機性良好的混沌序列。設定（－1，1）內的任意值作為初始值，使用兩種映射交叉迭代，產生混沌序列。

然后使用4次混沌映射再產生抽頭控制序列，對雙混沌序列進行抽頭，產生偽隨機相位。通過改變混沌映射參數及初始值可以得到完全不同的偽隨機相位，θ（k）∈｛0，2π／2r，4π／2r，…，2π（2r－1）／2r｝。抽頭映射過程如圖3所示。

圖3 偽隨機相位映射過程

2.3 能量調整及傅里葉反變換

將C（ω）從頻域變換到時域進行傅里葉反變換，得到基函數的時域表達式，反變換方法與幅度譜估計使用的變換方法一一對應。為與加權傅里葉變換保持一致，采用歸一化的離散傅里葉反變換（inverse DFT，IDFT），即可得到時域離散形式的基函數：

式中，n＝1，2，…，N。又由：

T為TDCS碼元數據的時間寬度，記Δf＝1／T為TDCS信號各頻率分量的間隔，根據采樣定理，離散的c（n）可以看作是對連續(xù)的復基帶信號c（t）進行等間隔采樣獲得的。取采樣間隔為T／N，則基函數的時域表達式為

2.4 基函數及相關特性

根據上述步驟得到的基函數時域波形如圖4所示。

圖4 基函數時域波形

由圖4可見，該基函數具有類似噪聲的時域波形，偽隨機性較好。將該基函數的相關特性與使用m序列生成偽隨機相位的基函數相比，所得結果如圖5所示。

由圖5可見，使用雙混沌交叉映射，混沌控制抽頭系數生成的基函數在相關間隔為0時，相關系數接近于1，相關間隔不為0時，相關系數接近于0，且小于同等長度的m序列生成基函數，偽隨機性更好，也更適用于隱蔽通信。

3 MWFRFT-TDCS信號

3.1 MWFRFT-TDCS信號調制與解調

TDCS中，雙極性調制是對基函數的最簡單的調制方式，通過基函數的正負表示不同碼元。實質是利用基函數本身的性質進行調相。將MWFRFT與TDCS相結合，也可以采用類似的調制手法，利用TDCS基函數作為載波，通過控制基函數的幅值和相位進行擴頻，信號調制解調流程圖如圖6所示。

圖5 基函數相關特性比較

圖6 MWFRFT-TDCS擴頻信號調制解調流程圖

圖6中，a（i）為原數字信號，MWFRFT可以處理任何形式的復數，所以理論上a（i）可以為任意序列，假定a（i）為雙極性復數信號，即QPSK信號。aω（i）為經過MWFRFT的信號，使用TDCS基函數c（n）作為載波對aω（i）進行擴頻，得到發(fā)送信號si（n），表示為

通過信道后，接收端的接收信號為

式中，j（n）為信道中的干擾信號，即使用信道進行通信的其他用戶；n0（n）為加性高斯白噪聲。假設系統(tǒng)完全同步，且收發(fā)機工作環(huán)境一致，對接收信號進行相關解調，得到解擴信號：

式中

由基函數的產生原理可知，基函數與干擾信號正交，因此J＝0，此時解擴信號簡化為

對解擴信號進行幅度變換，然后進行逆MWFRFT變換，得到接收信號：

信號經MWFRFT變換后，由規(guī)則的雙極性復信號變?yōu)榉植荚趶推矫嫔戏挡煌男盘?，給準確解調帶來了困難，但由信息調制解調原理可見，MWFRFT-TDCS相當于對基函數進行了擴頻，擴頻本身具有剔除噪聲的能力，且在TDCS基函數幅值向量生成過程中已經避開了干擾較大的頻段，所以該方法仍然可以得到較為準確的解調信號。

3.2 MWFRFT-TDCS信號性質

MWFRFT-TDCS調制結合了具有星座擴散混淆性的MWFRFT與具有偽隨機特性的TDCS基函數，實質是MWFRFT信號對TDCS基函數的擴頻，由調制過程可知每個MWFRFT信號星座點都將被擴散，解決了WFRFT中部分參數變換信號星座點集中的問題。

對調制信號的星座特性進行仿真分析。以QPSK信號為例，對輸入的雙極性復信號進行調制，選取不同的MWFRFT參數值，所得調制信號與未調制信號的星座圖作對比，結果如圖7所示。

由圖7可知，MWFRFT-TDCS有效地解決了星座圖集中的問題，充分混淆了原有星座點，與理論分析一致，適用于隱蔽通信。

對調制信號的相關特性進行仿真分析。以QPSK信號為例，經MWFRFT變換并與混沌TDCS基函數進行調制，所得調制信號與原TDCS基函數的雙極性調制信號進行對比，結果如圖8所示。

由圖8可知，信號先經過MWFRFT變換，再與雙混沌映射產生的TDCS基函數調制后，所得信號的相關特性在相關間隔不為0時，明顯小于原有的雙極性TDCS調制信號，能夠更好的避免用戶間的相互干擾和抵御非接收方的檢測識別。相關間隔等于0時，MWFRFT-TDCS信號的相關特性小于雙極性TDCS調制信號，但仍明顯大于間隔不為0時的相關特性，接近于1，不會影響接收信號的正確解調。

圖7 信號星座圖比較

圖8 調制信號相關特性比較

4 結 論

文中提出了一種將MWFRFT與變換域通信系統(tǒng)結合的通信方式，結合了MWFRFT的混淆特性與TDCS的抗干擾抗截獲特性。首先，提出將已有離散序列的4-WFRFT的加權項數擴展為M項，給出了擴展過程并對新變換的星座旋轉擴散特性進行了仿真驗證，分析表明新提出的MWFRFT同樣具有星座旋轉擴散特性，且擴散速度更快，混淆更充分。然后，針對已有的利用m序列生成偽隨機相位的方法中，m序列具有周期，且長度有限的缺點，采用了一種雙混沌映射產生偽隨機相位的方法，并使用了兩種新混沌迭代映射，得到了偽隨機性良好的TDCS基函數，仿真結果表明新的基函數相關特性優(yōu)于已有的m序列TDCS基函數。最后，將MWFRFT變換后的信號與新的基函數進行擴頻調制，對所得調制信號的星座圖及相關特性進行了仿真驗證，結果表明，調制信號的星座混淆性及相關特性優(yōu)于單獨的WFRFT信號與雙極性TDCS調制信號。

MWFRFT適用于現有的數字通信系統(tǒng)，加權項的擴展能夠引入更多參數，提高了信號處理的多樣性，增加了破解信息的難度，從信號內容方面增強了隱蔽性；采用混沌映射能夠產生足夠長的偽隨機序列，且能夠通過調整參數值控制TDCS基函數的生成，基函數良好的相關特性從波形方面提供了隱蔽性。將MWFRFT與TDCS相結合，即從內容與波形兩方面對信息進行了處理，更適用于隱蔽通信。

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Method of weighted Fourier transform domain communication

DA Xin-yu，LIAN Chen
（School of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China）

A new method combining the multi-terms weighted-type fractional Fourier transform（MWFRFT）and the transform domain communication system（TDCS）is put forward to improve the security of communication.Firstly，MWFRFT for sequence is used to process the original signals.Then chaos mapping is used to generate the pseudorandom phases of the basis function in TDCS.Finally，the basis function is modulated by MWFRFT signals in the covert communication.In order to show the accuracy of this method，the transformation of constellation and the correlation performance are simulated and analyzed.The result shows that MWFRFT has the diffusion and confusion property of constellation，and the new basis function has better correlation performance，so the method is suitable for covert communication.

weighted fractional fourier transform（WFRFT）；transform domain communication system（TDCS）；covert communication；spread spectrum

TN 914.42

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.29

達新宇（1961- ），男，教授，博士，主要研究方向為信息與通信。

E-mail：daxinyu＠163.com

廉 晨（1992- ），女，碩士，主要研究方向為衛(wèi)星通信、隱蔽通信。

E-mail：syclcs＠163.com

1001-506X（2015）12-2853-07

2014- 02- 09；

2015- 06- 05；網絡優(yōu)先出版日期：2015- 07- 28。

網絡優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150728.0941.003.html

國家自然科學基金（61271250）資助課題