馬亞樓

第Ⅰ部分（共50分）

一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1. 若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ）.

A.（2，4） B.（2，-4）

C.（4，-2） D. （4，2）

圖12.執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，輸出的S值為（）.

A.1 B.23

C.1321 D. 610987

3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的項(xiàng)為（）.

A.S6a6 B.S7a7

C.S9a9 D.S8a8

4. 如圖2， 在矩形區(qū)域ABCD的A， C兩點(diǎn)處各有一個通信基站， 假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源， 基站工作正常）. 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)， 則該地點(diǎn)無信號的概率是（）.

圖2A.π2-1B.1-π4C.2-π2D.π4

5. 設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則 （ ）.

A.x=1為f（x）的極大值點(diǎn)

B.x=1為f（x）的極小值點(diǎn)

C.x=-1為f（x）的極大值點(diǎn)

D.x=-1為f（x）的極小值點(diǎn)

6. 設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使a|a|=b|b|成立的充分條件是（ ）.

A.|a|=|b|且a∥b B.a=-b

C.a=2b D.a∥b

7. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A， B， C所對的邊分別為a， b， c， 若bcosC+ccosB=asinA， 則△ABC的形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

8. 已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）. 設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）

A.（1-52，0）B.（1-32，0）

C.（1-52，0）∪（0，1+32）D.（-∞，1-52）

9. 拋物線C1：y=12px2（p>0）的焦點(diǎn)與雙曲線C2：x23-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）.

A.316B.38C.233D.433

10.（x2+2）（1x2-1）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）.

A.-3 B.-2 C.2 D. 3

第Ⅱ部分（共100分）

二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11. 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為.

圖312. 如圖3，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為 cm3.

13. 已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為.

14. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù). 如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為n（n+1）2=12n2+12n. 記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：

三角形數(shù)N（n，3）=12n2+12n，

正方形數(shù) N（n，4）=n2，

五邊形數(shù) N（n，5）=32n2-12n，

六邊形數(shù) N（n，6）=2n2-n，

……

可以推測N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=.

15. （考生請注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答， 如果多做， 則按所做的第一題計(jì)分）

A.（不等式選做題）若x，y滿足約束條件：x≥0

x+2y≥3

2x+y≤3；則x-y的取值范圍為 .

B.（幾何證明選做題）雙曲線x216-y2m=1的離心率為45， 則m等于.

C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為x=t

y=t2（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為.

三、解答題： 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）

16. （本題滿分12分每小題6分）

已知函數(shù)f（x）=Acos（x4+π6），x∈R，且f（π3）=2.（1）求A的值；

（2）設(shè)α，β∈[0，π2]，f（4α+43π）=-3017，f（4β-23π）=85，求cos（α+β）的值.

17. （本題滿分16分每小題8分）

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=an+bna2n+b2n，n∈N*，

（1）設(shè)bn+1=1+bnan，n∈N*，求證：數(shù)列{（bnan）2}是等差數(shù)列；

（2）設(shè)bn+1=2·bnan， n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值.

圖418. （本題滿分12分）如圖4，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）證明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

19. （本題滿分11分第Ⅰ題5分，第Ⅱ題6分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為23，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為25，中獎可以得3分；未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品.

（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；

（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計(jì)的得分的數(shù)學(xué)期望較大？

20.（本題滿分13分）如圖5，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)P（1，32）離心率e=12，直線l的方程為x=4.

圖5（1） 求橢圓C的方程；

（2） AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

21.（本題滿分11分）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

（Ⅰ）ab+bc+ca≤13；

（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1.

答案

一、選擇題

1.C

2.C點(diǎn)撥

ìS011 232（跳出） 1321

3. D（點(diǎn)撥由S15=15（a1+a15）2=15a8>0，得a8>0.由S16=15（a1+a16）2=15（a9+a8）2<0，得a9+a8<0，所以a9<0，且d<0.所以數(shù)列{an}為遞減的數(shù)列.所以a1，…，a8為正，a9，…，an為負(fù)，且S1，…，S15>0，S16，…，Sn<0，則S9a9<0，S10a10<0，…，S8a8>0，又S8>S1，a1>a8，所以S8a8>S1a1>0，所以最大的項(xiàng)為S8a8，選D.）

4.B

5. D（點(diǎn)撥f ′（x）=（x+1）ex，令f ′（x）=0， 得x=-1，x<-1時，f ′（x）<0，f（x）=xex為減函數(shù)；x>-1時，f ′（x）>0，f（x）=xex為增函數(shù)，所以x=-1為f（x）的極小值點(diǎn)，選D.）

6.C7.B8.A9.D

10.D（點(diǎn)撥第一個因式取x2，第二個因式取1x2得：1×C15（-1）4=5， 第一個因式取2，第二個因式?。?1）5得：2×（-1）5=-2， 展開式的常數(shù)項(xiàng)是5+（-2）=3.）

二、填空題

11. 312. 613.12

14.1000（點(diǎn)撥三角形數(shù)N（n，3）=12n2+12n，

正方形數(shù)

N（n，4）=n2=（12+12）2個12n2+（12-12）n，

五邊形數(shù)N（n，5）=32n2-12n=（12+12+12）3個12n2+（12-12-12）n，

六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n=（12+12+12+12）4個12n2+（12-12-12-122個-12）n，

……

推測k邊形數(shù)N（n，k）=（12+12+…+12+12）（k-2）個12n2+（12-12-12-12-…-12（k-4）個-12）n=12（k-2）n2-12（k-4）n.

所以N（10，24）=12×（24-2）×102-12×（24-4）×10=1100-100=1000.

15.A.約束條件對應(yīng)△ABC邊界及其內(nèi)的區(qū)域： A（0，3），B（0，32），C（1，1），則t=x-y∈[-3，0] .

B.9 C. ρ2cos2θ-sinθ=0

三、解答題

16.（1）f（π3）=Acos（π12+π6）=Acosπ4=22A=2，解得A=2.

（2）f（4α+43π）=2cos（α+π3+π6）=2cos（α+π2）=-2sinα=-3017，即sinα=1517，

f（4β-23π）=2cos（β-π6+π6）=2cosβ=85，即cosβ=45.

因?yàn)棣?，β∈[0，π2]，所以cosα=1-sin2α=817，sinβ=1-cos2α=35，所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=817×45-1517×35=-1385.

17.（1）證明：

∵bn+1=1+bnan，

∴an+1=an+bna2n+b2n=bn+11+（bnan）2.

∴bn+1an+1=1+（bnan）2.

∴（bn+1an+1）2-（bnan）2=（1+（bnan）2）2-（bnan）2=1（n∈N*）.

∴數(shù)列{（bnan）2}是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）∵an>0，bn>0，

∴（an+bn）22≤a2n+b2n<（an+bn）2.

∴1

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an>0知q>0，下面用反證法證明q=1.

若q>1，則a1=a2qlogq2a1時，an+1=a1qn>2，與（﹡）矛盾.

若0a2>1，

∴當(dāng)n>logq1a1時，an+1=a1qn<1，與（﹡）矛盾.

∴綜上所述，q=1.

∴an=a1（n∈N*），

∴1

又∵bn+1=2·bnan=2a1·bn（n∈N*），

∴{bn}是公比為2a1的等比數(shù)列.

若a1≠2，則2a1>1，于是b1

又由an+1=an+bna2n+b2n得a1=a1+bna21+b2n，得bn=a1±a212-a21a21-1.

∴b1，b2，b3中至少有兩項(xiàng)相同，與b1

∴a1=2.

∴bn=2±（2）22-（2）2（2）2-1=2.

∴a1=b1=2.

圖618. （Ⅰ）如圖6所示，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAC，而PC平面PAC，所以BD⊥PC.

（Ⅱ）設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO=30°.

由BD⊥平面PAC，PO平面PAC，知BD⊥PO.

在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為12AD+12BC=12×（4+2）=3， 于是梯形ABCD面積S=12×（4+2）×3=9.

在等腰三角形AOD中， OD=22AD=22，所以PD=2OD=42，PA=PD2-AD2=4.

故四棱錐P-ABCD的體積為V=13×S×PA=13×9×4=12.

19.（Ⅰ）由已知得：小明中獎的概率為23，小紅中獎的概率為25，兩人中獎與否互不影響，記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則A事件的對立事件為“X=5”，

∵P（X=5）=23×25=415，

∴P（A）=1-P（X=5）=1115.

∴這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為1115.

（Ⅱ）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X1），選擇方案乙抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X2）.

由已知：X1～B（2，23），X2～B（2，25），

E（X1）=2×23=43，E（X2）=2×25=45，

∴E（2X1）=2E（X1）=83，

E（3X2）=3E（X2）=125

∵E（2X1）>E（3X2），

∴他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大.

20. （1）由P（1，32）在橢圓上得，

1a2+94b2=1 ①

依題設(shè)知a=2c，則

b2=3c2 ②

②代入①解得c2=1，a2=4，b2=3.

故橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k， 則直線AB的方程為

y=k（x-1） ③

代入橢圓方程3x2+4y2=12并整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4（k2-3）=0， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有

x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4（k2-3）4k2+3 ④

在方程③中令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k）.

從而k1=y1-32x1-1，k2=y2-32x2-1，k3=3k-324-1=k-12.

注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=kAF=kBF，即有y1x1-1=y2x2-1=k.

所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-32（1x1-1+1x2-1）

=2k-32·x1+x2-2x1x2-（x1+x2）+1 ⑤

④代入⑤得

k1+k2=2k-32·8k24k2+3-24（k2-3）4k2+3-8k24k2+3+1

=2k-1，

又k3=k-12，所以k1+k2=2k3.故存在常數(shù)λ=2符合題意.

方法二設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），則直線FB的方程為： y=y0x0-1（x-1），

令x=4，求得M（4，3y0x0-1）， 從而直線PM的斜率為k3=2y0-x0+12（x0-1），

聯(lián)立y=y0x0-1（x-1）

x24+y23=1，

得A（5x0-82x0-5， 3y02x0-5），

則直線PA的斜率為：k1=2y0-2x0+52（x0-1），

直線PB的斜率為：k2=2y0-32（x0-1），

所以k1+k2=2y0-2x0+52（x0-1）+2y0-32（x0-1）=2y0-x0+1x0-1=2k3，

故存在常數(shù)λ=2符合題意.

21.（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac

得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由題設(shè)得（a+b+c）2=1，

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1

所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13.

（Ⅱ）因?yàn)閍2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c），即a2b+b2c+c2a≥a+b+c

即a2b+b2c+c2a≥1.（收稿日期：2014-12-20）