張坤等

抽象函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，那么怎樣突破因“抽象”而造成的解題障礙呢？“化生為熟”應(yīng)該是一個(gè)重要的解題策略，利用我們所熟悉的函數(shù)、性質(zhì)、定義、法則等，將抽象的問題熟悉化，從而打開解決抽象函數(shù)問題的通道.

一、利用熟悉的和諧結(jié)構(gòu)式化生為熟

通過觀察題目所給條件的結(jié)構(gòu)特征，將之與所學(xué)過的熟悉內(nèi)容建立聯(lián)系，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化.

例1已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），若2f ′（x）

A.3f（2ln2）>2f（2ln3）B.3f（2ln2）<2f（2ln3）

C.3f（2ln2）=2f（2ln）

D.3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小不確定

解析觀察題目選項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)式，將3f（2ln2），2f（2ln3）， 變形為和諧結(jié)構(gòu)式f（2ln2）2，f（2ln3）3來比較大小，比較容易想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（2lnx）x，則g′（x）=2f ′（2lnx）-f（2lnx）x2，又對任意x∈R，2f ′（x）>f（x）成立，因此，2f ′（2lnx）-f（2lnx）>0，故g′（x）>0成立，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，故g（2）

二、利用熟悉的定義化生為熟

根據(jù)題目所給的條件信息，將之與所學(xué)過的數(shù)學(xué)定義建立聯(lián)系，尋找解決問題的突破口.

例2已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x1，x2∈[0，3]且x1≠x2時(shí)，都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-9，9]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）.

解析由條件f（x+6）=f（x）+f（3），聯(lián)想周期函數(shù)的定義f（x+T）=f（x），在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3得f（3）=f（-3）+f（3），又f（x）為偶函數(shù)，∴f（-3）=f（3），∴f（3）=2f（3），∴f（3）=0，∴f（x+6）=f（x），故f（x）是以6為周期的周期函數(shù).

由條件f（x1）-f（x2）x1-x2>0知f（x）在[0，3]上遞增，進(jìn)而得到函數(shù)在[0，3]上的草圖，再利用函數(shù)的周期性和偶函數(shù)特點(diǎn)，描繪出函數(shù)的整體草圖（圖略），易知答案為4.

三、利用熟悉的法則化生為熟

根據(jù)題目所給條件信息，將之與所學(xué)過的數(shù)學(xué)法則建立聯(lián)系，從而構(gòu)造出滿足條件的對象，使問題獲解.

例3已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），且滿足f ′（x）>f（x），則下列結(jié)論正確的是（）.

A.f（1）>ef（0）B.f（1）

C.f（1）>f（0）D.f（1）

解析由條件f ′（x）-f（x）>0，聯(lián)系到商的導(dǎo)數(shù)法則[f（x）g（x）]′=f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x），要想得到f ′（x）-f（x）>0，則g（x）與g′（x）應(yīng)相等，故可取g（x）=ex，構(gòu)造h（x）=f（x）ex，則h′（x）=ex（f ′（x）-f（x））e2x>0，∴h（x）在R上遞增，∴h（1）>h（0）即f（1）e>f（0）e0，故選（A）.

四、利用熟悉的函數(shù)模型化生為熟

根據(jù)題目所給多種信息，將之與具體的函數(shù)模型建立聯(lián)系，從而將抽象問題具體化，從而找到解題途徑.

例4設(shè)f（x）是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y），若a1=12，an=f（n）（n∈N*），則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍為（ ）.

A.[12，2]B.[12，2）C.[12，1]D.[12，1）

解析由題目的已知條件，聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則ax+y=ax·ay，所以不妨取f（x）=ax，又a1=f（1）=a1=12，∴f（x）=（12）x，所以Sn=12[1-（12）n]1-12=1-（12）n，故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍為[12，1），故選D.

（收稿日期：2014-10-12）