陳振頌，熊升華，李延來，錢桂生

（1．西南交通大學交通運輸與物流學院，四川成都610031；2．西南交通大學綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川成都610031；3．香港城市大學科學與工程學院系統(tǒng)工程與工程管理系，香港999077）

基于參數估計與記分函數聯合的直覺梯形模糊隨機前景決策方法

陳振頌1，2，熊升華1，2，李延來1，2，錢桂生3

（1．西南交通大學交通運輸與物流學院，四川成都610031；2．西南交通大學綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川成都610031；3．香港城市大學科學與工程學院系統(tǒng)工程與工程管理系，香港999077）

完善直覺梯形模糊數的算術運算，在直覺梯形模糊數及梯形模糊隨機變量的基礎上，定義直覺梯形模糊隨機變量（instuitionistic trapezoidal fuzzy random variable，ITr FRV），探討并證明ITr FRV的相關性質。針對具有ITr FRV且屬性權重未知的模糊隨機多屬性決策問題，考慮決策者心理行為特征，提出基于參數估計與記分函數聯合的直覺梯形模糊隨機多屬性決策前景決策方法。該方法首先獲取決策子周期內的直覺梯形模糊樣本信息，估計分布類型已知的直覺梯形模糊總體的未知參數，以獲取直覺梯形模糊隨機決策矩陣；其次，構造帶有方差的期望直覺模糊數矩陣，定義模糊隨機記分函數，將規(guī)范化的期望直覺模糊數矩陣轉化為記分函數矩陣；最后，利用前景理論計算前景記分函數，進而基于灰色系統(tǒng)理論求解屬性權重，獲取綜合前景記分值，由此進行方案比選。案例表明本文方法的可行性及有效性。

多屬性決策；直覺梯形模糊隨機變量；參數估計；記分函數；前景理論

0 引 言

復雜決策系統(tǒng)的不確定性通常分為模糊性和隨機性兩類，模糊性反映了決策者對于復雜系統(tǒng)往往缺乏充分的信息而無法給予精確性描述所造成的認知不確定，而隨機性則源于事物本質的不確定及因果關系的不確切所導致的結果不確定［14］。隨著決策系統(tǒng)（尤其是精密儀器、尖端設備等）的復雜性日益呈現幾何級數增長的趨勢，更為直觀地考量是尋求能夠同時刻畫決策問題模糊性與隨機性的決策方法，即模糊隨機多屬性決策方法（fuzzy random multi-attribute decision making，FRMADM）。結合對既有研究成果的分析［5-8］，可以發(fā)現針對模糊性與隨機性并存的系統(tǒng)分析方法主要具有兩類處理思想：①分別利用模糊變量及隨機變量表征決策系統(tǒng)的模糊性與隨機性，進而處理相應于模糊變量及相應于隨機變量的決策信息，基于魯棒性決策條件將模糊和隨機不確定性傳遞至統(tǒng)一響應結構，進而集結決策結論；②考慮模糊性與隨機性在同一多維整體內的合成表示，運用區(qū)別于灰色隨機變量、二型模糊集、廣義區(qū)間值二型模糊數等復雜信息特征數的模糊隨機變量（fuzzy random variable，FRV）構建模糊性及隨機性一體化的處理模式，根據FRV的相關性質衍生出眾多決策方法。值得注意的是，上述兩類處理方式各有所長，方式一將三維決策體系分割為模糊性及隨機性相互獨立的二維決策系統(tǒng)，鑒于現有模糊隨機特征數的相關理論尚未完善，采用基于模糊數學和概率論與數理統(tǒng)計等相關學科成熟的理論基礎，有利于避免模糊性信息與隨機性信息集成處理過程中的信息丟失；方式二則融合了決策模糊性與隨機性的特點，采用FRV直觀表示模糊隨機信息，雖然基于可信性理論的模糊隨機變量理論體系尚待深入研究，但多數文獻［9-11］的通行處理方式是將模糊隨機信息轉化為期望、方差及標準差等統(tǒng)計特征信息，進而依據前景理論、隨機占優(yōu)理論、期望—方差準則等定義判別準則或應用可能度、支持度、貼近度等概念獲取決策結論，有效弱化了具有各類形式的模糊隨機變量的處理復雜度。

事實上，目前針對屬性值為FRV的多屬性決策方法（multiple attribute decision making，MADM）研究較為少見，文獻［12］較早提出FRMADM的概念，針對屬性值具有區(qū)間數與隨機變量等不同形式的情形，運用模糊隨機模擬技術構造區(qū)間模糊隨機變量，并利用簡單加性加權（simple additive weight，SAW）算子集結相應于各方案的綜合評估值，通過計算區(qū)間模糊隨機變量的期望值獲取方案排序。文獻［13］考慮模糊隨機環(huán)境下模糊隨機期望值模型的求解問題，提出基于并行擾動隨機逼近（simultaneous perturbation stochastic approximation，SPSA）算法的模糊隨機模擬技術，利用模糊隨機模糊技術估計FRV的期望值函數，并通過SPSA算法尋求最優(yōu)解。文獻［14］定義模糊隨機有序加權平均（ordered weighted averaging operator，OWA）算子，通過計算各復合優(yōu)度下的期望與方差，利用模糊隨機模擬技術構建魯棒模糊隨機多屬性決策模型。文獻［15- 16］定義了區(qū)間概率模糊隨機變量及其期望值與混合熵，提出基于區(qū)間概率模糊隨機變量的期望值——混合熵的決策方法。并在后續(xù)研究中，針對屬性值為區(qū)間直覺模糊數的隨機多準則決策問題，定義離散型區(qū)間直覺隨機變量，給出基于直覺模糊交叉熵的記分函數及記分期望值、記分標準差等概念，在獲取方案的聯合直覺隨機變量分布及綜合記分標準期望區(qū)間值的基礎上，利用可能度方法確定方案排序。文獻［17］針對屬性權重未知、屬性值為直覺模糊數的隨機直覺MADM問題，定義離散直覺模糊隨機變量，依據前景理論修正屬性權重信息，采用簡單概率加權方法獲取綜合集對記分函數值進行方案比選。從應用的角度來看，FRV作為不確定性環(huán)境下決策模型架構的基本工具，已廣泛應用于模糊隨機規(guī)劃問題，文獻［18］提出基于模糊算法的模糊隨機線性規(guī)劃模型，為測度兩個FRV之間的線性相關程度，以模糊算法為基礎構建模糊隨機回歸模型，定義響應FRV的決定系數為模糊隨機相關系數，著重論證了其相關性質。文獻［19］考慮庫存管理決策問題，設定顧客年需要量為具有精確概率信息的離散模糊隨機變量，以總庫存成本最小化為目標建立模糊隨機定期再購系統(tǒng)模型，確定了最優(yōu)盤存時間、最優(yōu)目標庫存水平及最優(yōu)交貨期。此外，FRV在可靠性分析［20-21］、股票投資組合選擇［22］、模糊隨機更新過程［23-24］、模糊隨機回歸分析［25］等領域均得到了大量應用，無論是從方法上還是思想上均對FRMADM問題的解決具有重要的借鑒意義。

綜上所述，國內外現有針對FRMADM的研究相對匱乏，但其應用前景卻十分廣闊，因此對其進一步深入探究極為必要。具體表現在以下幾個方面：①有鑒于決策系統(tǒng)的復雜性，應利用刻畫模糊性更強的模糊數構造FRV，以更為細膩地表達繁冗的決策信息；②針對屬性值連續(xù)型FRV的MADM問題處理較為復雜的問題，絕大多數研究所考慮的均為屬性值為離散型FRV的情況，因而需探索基于連續(xù)型FRV的簡便、可行、有效的決策方法；③具有各類型模糊數的FRV的期望值計算通?？梢罁诳尚判岳碚摰钠谕x，然而對于含有直覺模糊數［26］的FRV期望值的獲取必須在此基礎上尋求新的方式；④一般而言，利用模糊隨機模擬技術可以獲取模糊隨機總體分布的未知參數，但是該方法并不適用于解決具有直覺模糊信息的FRV的參數確定；⑤由于決策環(huán)境的不確定性，決策者往往無法獲取決策所需的完備信息，加之自身的認知能力、邏輯推理能力有限，其決策行為往往表現為有限理性，因而決策結果往往偏離預期效用理論中的完全理性設想，達到“滿意”而非“最優(yōu)”。

為此，本文針對屬性權重未知的直覺梯形模糊隨機多屬性決策問題，融合前述現有研究處理模糊性與隨機性并存的兩類決策思想，提出基于參數估計與記分函數聯合的直覺梯形模糊隨機前景決策方法。該方法針對豐富決策信息表達的需求，在直覺梯形模糊數和梯形模糊隨機變量的基礎上，定義直覺梯形模糊隨機變量，更為細膩地刻畫決策者認知不確定性；針對直覺梯形模糊隨機變量的期望值計算公式，重新定義梯形模糊隨機變量的期望與方差，在此基礎上進一步定義標準直覺梯形模糊期望；針對模糊隨機模擬技術的不適用性，基于直覺梯形模糊樣本信息進行統(tǒng)計推斷，獲取參數的最大似然估計，以確定直覺梯形模糊總體信息；針對現有記分函數對于直覺梯形模糊隨機變量不適用性，引入標準期望值對基于集對分析理論的記分函數進行適應性修正，定義模糊隨機記分函數；針對決策者有限理性行為特征，引入前景理論描述決策者面對風險收益及損失的態(tài)度及敏感性差異。最后，案例分析結果表明本文方法的可行性和合理性。

1 直覺梯形模糊數及梯形模糊隨機變量

1.1 直覺梯形模糊數及其運算規(guī)則

定義1［27-28］設X是一個非空集合，稱為X上的一個直覺梯形模糊數，如果其隸屬函數為

其非隸屬函數為

針對直覺梯形模糊數的運算法則，文獻［29］分析現有定義的缺陷及不足，給出一類新的算術運算，著重探討新規(guī)則中基于期望加權的隸屬度及非隸屬度的合理性。在其研究基礎上，文獻［30］給出更加完善的直覺梯形模糊數的算術運算規(guī)則，本文將基于該運算規(guī)則展開討論，其具體內容可參見此文獻。

1.2 模糊變量及模糊隨機變量

文獻［31］為克服可能性測度［32］不具備自對偶性的缺陷而提出可信性理論（credibility theory，CT）以來，CT已然成為研究模糊現象的一個重要數學分支，廣泛存在于不確定理論及其應用研究的各個領域。為此，首先給出可信性空間的定義，而后續(xù)模糊變量及模糊隨機變量的相關定義正是以此為基石泛化衍生。

定義2［33］假設Θ為一個非空集合，P（Θ）代表Θ的冪集，Cr是可信性測度，則稱三元組（Θ，P（Θ），Cr）為可信性空間。

定義3［33］設ξ為一個從可信性空間（Θ，P（Θ），Cr）到實數集的函數，則稱ξ為一個模糊變量。

定義4［33］假定ξ是可信性空間（Θ，P（Θ），Cr）上的模糊變量，那么稱

為模糊變量ξ的期望值，且式中兩個積分至少一個有限（避免出現∞－∞的情形）。

定義5［33］假定（Ω，Σ，Pr）是一個概率空間，設ξ是一個從（Ω，Σ，Pr）到模糊變量集合的函數，并且對于R上的任何Borel集B，Pos｛ξ（ω）∈B｝是ω的可測函數，則稱ξ為一個模糊隨機變量。

定義6［33］假定ξ是概率空間（Ω，Σ，Pr）上一個模糊隨機變量，則稱

為模糊隨機變量ξ的期望值。

1.3 梯形模糊隨機變量

定義7［33］如果對于任意的ω，ξ（ω）＝［X（ω）－l1－l2，X（ω）－l2，X（ω），X（ω）＋l3］為一個梯形模糊變量，且該梯形模糊變量的隸屬度函數滿足

那么稱ξ為一個梯形模糊隨機變量。其中，l1＞0，l2＞0，l3＞0，X為一個實值隨機變量。

針對梯形模糊變量ξ（ω），依據定義4可知，其期望為E［ξ（ω）］＝（4X（ω）－l1－2l2＋l3）／4，進而依據定義6，對于梯形模糊隨機變量ξ，其期望為E［ξ］＝（4X－l1－2l2＋l3）／4。文獻［33］進一步給出了梯形模糊隨機變量ξ的方差定義。

定義8 設ξ為定義在概率空間（Ω，Σ，Pr）上的一個梯形模糊隨機變量，且其期望E［ξ］有限，稱

為梯形模糊隨機變量ξ的方差。

定義8借鑒了經典概率論中關于方差的定義，然而，式（4）中的（ξ－E［ξ］）依舊是一個梯形模糊隨機變量，因此不可避免地需要繼續(xù)依據相應的梯形模糊數的運算規(guī)則進行計算，雖然確保了方差定義依然在模糊性框架之中，卻無法有效利用統(tǒng)計學原理處理梯形模糊隨機變量ξ中的隨機性信息［34-35］。一般而言，對于一個梯形模糊隨機變量而言，期望不僅代表了其模糊性信息的最可能性取值，也反饋了其隨機性信息的最重要特征。因此，為避免應用梯形模糊數運算法則導致模糊隨機統(tǒng)計信息的不一致性，利用其期望將模糊隨機信息轉化為含有方差的精確信息，進而探討其相關統(tǒng)計特征與性質便可實現應用成熟的統(tǒng)計學方法協(xié)同處理。

在實際決策環(huán)境中，決策方法的可行性極為關鍵，通過處理決策者所提供的模糊隨機信息獲取相關特征數，能較大程度上降低算法復雜度及決策成本，并有效提升決策結論的精確性。因此，本文在梯形模糊隨機變量的期望與方差的定義7及定義8的基礎上，參考文獻［36］，重新定義了梯形模糊隨機變量期望，并進一步得到方差的適應性修正。

定理1［36］假定ξ是概率空間（Ω，Σ，Pr）上一個梯形模糊隨機變量，則E［ξ］＝E（E［ξ（ω）］）。

定義9 設ξ為概率空間（Ω，Σ，Pr）上的梯形模糊隨機變量，稱

為梯形模糊隨機變量ξ的期望。

定義10 設ξ為概率空間（Ω，Σ，Pr）上的梯形模糊隨機變量，且其期望值E［ξ］有限，稱

為梯形模糊隨機變量ξ的方差。

2 直覺梯形模糊隨機變量及其統(tǒng)計特征與性質

為了滿足有效解決復雜決策問題的需要，本文在直覺梯形模糊數及梯形模糊隨機變量的基礎上，定義直覺梯形模糊隨機變量，給出其幾何直觀并分析其部分統(tǒng)計特征及性質，為二維特征的繁冗決策信息的簡潔表達提供一類新的途徑。

定義11 如果對于任意的ω，ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］為一個直覺梯形模糊變量，且該直覺梯形模糊變量的隸屬度函數為

其非隸屬度函數為

那么稱ξ為一個直覺梯形模糊隨機變量。

其中，μξ（ω），υξ（ω）分別為ξ（ω）的隸屬度與非隸屬度，πξ（ω）＝1－μξ（ω）－υξ（ω）為ξ（ω）的猶豫度，μξ（ω），υξ（ω），πξ（ω）∈［0，1］，c＞0、d＞0，X為一個實值隨機變量。

事實上，若忽略對隸屬度及非隸屬度的限制，則直覺梯形模糊隨機變量即退化為梯形模糊隨機變量；對于確定的一個ω，直覺梯形模糊隨機變量即退化為直覺梯形模糊數。針對直覺梯形模糊隨機變量，圖1和圖2分別給出了連續(xù)型及離散型直覺梯形模糊隨機變量的幾何直觀表示。

圖1 連續(xù)型直覺梯形模糊隨機變量

圖2 離散型直覺梯形模糊隨機變量

對于屬性值為直覺梯形模糊隨機變量形式的FRMADM問題，通常無法直接獲取決策者針對各方案下不同屬性的模糊隨機變量信息，在具有一定周期的決策過程中，受時間限制及人力成本等因素的影響，僅能要求決策者提供數次以直覺梯形模糊數表征的決策評估樣本信息。考慮樣本的二重性，利用ξ（ω1），ξ（ω2），…，ξ（ωn）表示一組樣本觀測值，并將決策信息的獲取過程假定為簡單隨機抽樣［37］。類似數理統(tǒng)計中統(tǒng)計量的定義，下面給出部分直覺梯形模糊隨機統(tǒng)計量的定義，并探討其相關性質。

定義12 設一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本ξ（ωi），其中ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］，ωi∈Θ（i＝1，2，…，n），Θ為參數空間，且各X（ωi）相互獨立，則樣本均值為

其隸屬度均值為

非隸屬度均值為

定義13 設一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本ξ（ωi），其中ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］，ωi∈Θ（i＝1，2，…，n），Θ為參數空間，其樣本均值為稱

為直覺梯形模糊偏差，并分別定義

為隸屬度偏差、非隸屬度偏差以及猶豫度偏差。

其中

事實上，直覺梯形模糊隨機變量的隸屬度、非隸屬度以及猶豫度即為一般實值隨機變量，其相關性質在此不予以贅述。以下主要針對直覺梯形模糊隨機變量的樣本均值及樣本方差的定義，探討并證明其部分性質。

定理2 設D［ξ（ωi）］（i＝1，2，…，n）為相應于一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本ξ（ωi）（i＝1，2，…，n）的直覺梯形模糊偏差，則

證明

定理3 設一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本ξ（ωi），其中ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］，ωi∈Θ（i＝1，2，…，n），Θ為參數空間，其樣本均值為ξ（ω），則在形如∑（E［ξ（ωi）］－K）2的函數中最小，其中K為任意給定常數。

證明 對于任意給定常數K

定義14 設一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本ξ（ωi），其中ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］，ωi∈Θ（i＝1，2，…，n），Θ為參數空間，且各X（ωi）（i＝1，2，…，n）相互獨立，則稱

為無偏方差。

定理4 設模糊隨機總體ξ具有二階矩，即E［ξ］＝μ，V［ξ］＝σ2＜＋∞，直覺梯形模糊數ξ（ωi）（i＝1，2，…，n）為一組取自某直覺梯形模糊總體的樣本，其中ξ（ωi）＝［X（ωi）－l1－l2，X（ωi）－l2，X（ωi），X（ωi）＋l3；μξ（ωi），υξ（ωi）］，ωi∈Θ（i＝1，2，…，n），Θ為參數空間，其樣本均值為樣本方差為無偏方差s2［ξ（ω）］，則

證明 由定義12、定義13可知

注意到

而

因此

所以

定理5 設直覺梯形模糊數ξ（ωi）（i＝1，2，…，n）為一組取自某指數直覺梯形模糊總體Exp（λ）的樣本，E［ξ（ωi）］≥0， λ∈Θ且Θ為參數空間，則λ的最大似然估計為

證明 取自該指數直覺梯形模糊總體的樣本的似然函數為

進而可獲得其對數似然函數

根據似然函數的含義，需使得上式取得最大值。因此，關于λ求偏導并令其為0，即可得到似然方程如下

由此可得λ的最大似然估計為

定理6 設直覺梯形模糊數ξ（ωi）（i＝1，2，…，n）為一組取自某正態(tài)直覺梯形模糊總體N（μ，σ2）的樣本，E［ξ］＝μ，V［ξ］＝σ2，（μ，σ2）∈Θ且Θ為二維參數空間，則μ的最大似然估計為的最大似然估計為

證明 取自該正態(tài)直覺梯形模糊總體的樣本的似然函數為

進而可獲得其對數似然函數

分別關于μ、σ2求偏導并令其為0，即可得到似然方程組如下

因此有μ、σ2的最大似然估計分別為

進而可得

在處理決策者初始輸入的樣本信息時，定理4～定理6是極為有用的。依據定理4，可通過計算樣本均值與方差估計直覺梯形模糊總體的期望與方差，而依據定理5及定理6，可以在假定直覺梯形模糊總體服從指數分布及正態(tài)分布的不同情形下，對相應的參數進行統(tǒng)計推斷，進而獲取總體的分布信息。顯然，上述思想為解決具有模糊隨機變量的評估信息的合理獲取提供了理論依據。

3 基于集對分析理論的直覺梯形模糊隨機記分函數

傳統(tǒng)記分函數僅適用于直覺模糊數，對于直覺梯形模糊隨機變量不具有適用性。事實上，由于直覺梯形模糊隨機變量具有隨機性，因此對于所有直覺梯形模糊隨機樣本而言，僅能獲取基于直覺梯形模糊數的記分函數序列，而無法確定相應于某一直覺梯形模糊隨機變量的記分函數。為此，在獲取直覺梯形模糊隨機總體的均值與方差之后，依據直覺梯形模糊隨機變量的相關性質，將直覺梯形模糊隨機變量轉化為期望直覺模糊數，并鑒于消除直覺梯形模糊隨機變量量綱差異的需要，借鑒隨機變量中刻畫波動性大小的變異系數概念，定義規(guī)范化直覺梯形模糊期望值，在文獻［17］的研究基礎上，給出基于集對分析理論思想的直覺梯形模糊隨機記分函數。

定義15 設ξ為一個直覺梯形模糊隨機變量，期望值為E［ξ］，方差為V［ξ］，且其隸屬度期望值E［μξ］∈［0，1］、非隸屬度期望值為E［υξ］∈［0，1］，則稱N［ξ］＝E［ξ］／為其規(guī)范化直覺梯形模糊期望值，并規(guī)定：當V［ξ］＝0時，N［ξ］＝E［ξ］。

式中

4 基于參數估計與記分函數聯合的直覺梯形模糊隨機前景決策方法

考慮決策者面臨決策問題時存在風險態(tài)度及敏感性差異的直覺梯形模糊隨機前景決策問題，為便于敘述，首先設下標集合M＝｛1，2，…，m｝，N＝｛1，2，…，n｝，T＝｛1，2，…，t｝。假定有m個備選方案A＝｛A1，A2，…，Am｝，其中Ai為第i個備選方案，i∈M；n個屬性C＝｛C1，C2，…，Cn｝，其中Cj為第j個屬性，j∈N，各屬性之間加性獨立；l個決策子周期P＝｛P1，P2，…，Pt｝，其中Pk為第k個屬性，k∈T；ω＝（ω1，ω2，…，ωn）代表屬性權重向量，其中ωj為第j個屬性權重，滿足ωj≥0且一般地，效益型及成本型屬性較為常見，為規(guī)范表述，分別利用NΔ和代表效益型屬性和成本型屬性的下標集合，滿足且假設決策者利用直覺梯形模糊數ξij（ωijk）（i∈M，j∈N，k∈T）表征各決策子周期Pk∈P（k∈T）內針對各備選方案Ai∈A（i∈M）下的屬性Cj∈C（j∈N）的評估值，獲取直覺梯形模糊時間序列決策矩陣ITr FNijk（k∈T）。在利用直覺梯形模糊樣本信息估計總體的未知參數時，對于已知分布類型（本文考慮及兩類情形）的直覺梯形模糊總體，不失一般性，分別令CExp和CNorm代表各屬性直覺梯形模糊總體服從指數分布及正態(tài)分布的屬性子集合，其中CExp＝｛C1，C2，…，Cj｝、CNorm＝｛Cj＋1，Cj＋2，…，Cn｝；相應地，利用NExp和NNorm表示屬性子集合CExp和CNorm的下標集合，且NExp＝｛1，2，…，j｝、NNorm＝｛j＋1，j＋2，…，n｝，NExp∪NNorm＝N。根據上述資料，對m個備選方案進行排序并擇優(yōu)。

本文將基于參數估計與記分函數聯合的前景決策方法解決上述問題，其具體實現步驟如下：

步驟1 在決策周期內，以一定時間間隔為決策子周期，多次獲取決策者評估信息樣本，構建初始直覺梯形模糊時間序列決策矩

式中，直覺梯形模糊數ξij（ωijk）為取自直覺梯形模糊總體ξij的樣本，代表決策者針對第i方案的第j個屬性在第k個子周期下的評估值，且i∈M，j∈N，k∈T。

步驟2 首先計算步驟1中直覺梯形模糊時間序列中各直覺梯形模糊數的期望值E［ξij（ωijk）］，進而依據定義12及定義14，分別計算決策者針對各方案各屬性的直覺梯形模糊時間序列評估信息的樣本均值及樣本方差

依據定理4及定理5可分別確定相應于各屬性評估信息的直覺梯形模糊總體服從指數分布及正態(tài)分布情形下的參數估計。對于屬性子集合NExp，直覺梯形模糊總體均服從指數分布，則參數λij的極大似然估計為進而可得到ξij～Exp（λij），i∈M，j∈NExp；對于屬性子集合NNorm，直覺梯形模糊總體均服從正態(tài)分布，則參數μij及的極大似然估計分別為進而可得到同理，設定直覺梯形模糊總體的隸屬度及非隸屬度均服從正態(tài)分布，即μij則參數

通過統(tǒng)計推斷獲取參數估計值，可進一步構建直覺梯形模糊隨機決策矩陣ξ＝［ξij］m×n，其中，對于直覺梯形模糊總體ξij，

依據定義9及定義10，可將直覺梯形模糊隨機決策矩陣轉化為帶有方差的期望直覺模糊數矩陣，即

為消除屬性間量綱差異帶來的影響，根據定義15，可進一步將帶有方差的期望直覺模糊數矩陣E轉化為規(guī)范化的期望直覺模糊數矩陣

最后，依據定義16，可計算相應于各直覺模糊數

〈N［ξij］；E［μij］，E［υij］〉ij的記分函數S［ξij］。其中

由此，將規(guī)范化的期望直覺模糊數矩陣轉化為記分函數矩陣

步驟3 目前，針對屬性權重的確定方法眾多，文獻［17］指出灰色系統(tǒng)理論在處理小樣本、貧信息方面的優(yōu)勢，故而選用灰色關聯方法求解屬性權重。其主要思想為：若某個指標信息相對于其他指標而言越匹配于指標體系的平均信息，則說明該指標包含的信息越利于決策，相應的權重也應越大［17，38］。

式中，灰色均值關聯度

為灰色關聯度矩陣R中的相應于第i個方案下第j個屬性的元素。

一般地，取分辨系數χ＝0.5，歐氏距離系數q＝2。由此即可確定屬性權重向量ω＝（ω1，ω2，…，ωn）。

步驟4 依據前景理論［39-41］，確定各屬性的記分參考點r＝（r1，r2，…，rn），則計算相應于各屬性值的面臨收益情形下的前景記分價值函數，即前景記分收益價值函數為

損失情形下的前景記分價值函數，即前景記分損失價值函數為

式中，參數α和β分別為收益和損失區(qū)域價值冪函數曲線的凹凸程度，α，β∈［0，1］意味著決策者敏感性呈遞減趨勢；δ刻畫風險厭惡程度，由于決策者對損失敏感性要強于收益，因此需滿足δ＞1。依據文獻［41- 43］可知，上述參數的確定需要在大量基于決策者心理行為的實驗測試結論上給出，不失一般性，本文在具體的案例分析中采用文獻［41- 43］所給出的參數取值。

由此，可將記分函數矩陣S＝［S［ξij］］m×n轉化為相應的前景價值函數決策矩陣

其中

步驟5 依據步驟3所確定的屬性權重向量ω＝（ω1，ω2，…，ωn），可以獲取針對各方案的綜合前景決策向量

5 案例分析

某機械企業(yè)計劃采購一批半自動超聲波焊接機，目前共有4家該類型產品的供應商（A1，A2，A3，A4）備選，為便于分析，初期主要考慮的4個評價屬性分別為：采購總成本（C1）、作業(yè)工作效率（C2）、操作便利性（C3）、焊接質量（C4）。其中C1為越小越好的成本型屬性，C2、C3、C4為越大越好的效益型屬性。決策者在各決策子周期（P1，P2，P3，P4，P5，P6）內以具有不同比例標度的直覺梯形模糊數表征決策信息。并且設定針對各方案下的屬性C1、C2的直覺梯形模糊總體服從指數分布，相應地，各方案下的屬性C3、C4的直覺梯形模糊總體服從正態(tài)分布，而相應的隸屬度、非隸屬度及猶豫度亦假定服從正態(tài)分布?；诒疚姆椒ǖ木唧w實現步驟如下：

步驟1 獲取決策子周期P1、P2、P3、P4、P5和P6內決策者評估信息樣本，構建初始直覺梯形模糊時間序列決策矩陣

步驟2 通過統(tǒng)計推斷獲取參數估計值，可進一步構建直覺梯形模糊隨機決策矩陣

其中

依據定義9及定義10，將直覺梯形模糊隨機決策矩陣轉化為帶有方差的期望直覺模糊數矩陣

進而，根據定義15，可進一步將帶有方差的期望直覺 模糊數矩陣E 轉化為規(guī)范化的期望直覺模糊數矩陣

將規(guī)范化的期望直覺模糊數矩陣轉化為記分函數矩陣

依據式（8）即可確定屬性權重向量ω＝（0.260，0.242，0.250，0.248）。

步驟4 依據前景理論，確定各屬性的記分參考點r＝（9.081，8.059，11.478，12.032），同時，各參數取值情況分別為α＝0.85，β＝0.92，δ＝2.25［41］。考慮屬性C1為成本型屬性，而C2，C3，C4為效益型屬性，因而可分別計算相應于各屬性值的面臨收益及損失不同情形下的前景記分價值函數，將記分函數矩陣S轉化為相應的前景價值函數決策矩陣

步驟5 依據步驟3所確定的屬性權重向量ω＝（0.260，0.242，0.250，0.248），可以獲取針對各方案的綜合前景決策向量

根據方案的綜合前景值，可確定各個方案的排序為

因此，該機械企業(yè)應選擇備選供應商A4。顯然，利用本文所提出的評估值表達方式以及決策方法，該機械企業(yè)計劃在采購半自動超聲波焊接機的過程中可充分將市場調研部門以及采購部門綜合以獲取更為準確的決策結論。一方面，本文利用直覺梯形模糊隨機變量，可以充分反饋決策者評估信息的模糊性與隨機性，更為符合實際情形。另一方面，以直覺梯形模糊變量為基礎，本文提出了基于直覺梯形模糊樣本的參數估計方式，便于后續(xù)將其處理為期望、方差等統(tǒng)計特征數，以利于決策方法的實施。此外，基于前景理論而將決策者在應對風險過程中存在的有限理性行為特征納入考慮，進一步提升了決策方法在實際應用過程中的合理性與有效性。

需要指出的是，針對本文所提出的屬性值為直覺梯形模糊隨機變量的決策方法的合理性與有效性驗證，可將本文方法予以適應性修正以適應直覺梯形模糊多屬性群決策，通過對各個決策子周期中所獲取的直覺梯形模糊信息單獨實施該決策方法，進而將獲取相應于各決策子周期的決策結論。作為本文下一階段的工作，我們將對本文決策方法所獲取的決策結論與各不同決策子周期的決策結論予以對比，進而分析決策結論之間的異同及其相關誘因，由此即可驗證本文決策方法是合理有效的。

6 結 論

大規(guī)模復雜項目通常涉及決策信息的多重不確定性，而本文所定義的直覺梯形模糊隨機變量更為細膩地刻畫了決策者因學識、經驗、能力所限而存在的認知不確定性，對于提升復雜系統(tǒng)決策結論的合理性及準確性具有重要的理論意義及現實價值。由此，文中著重探討一類具有直覺梯形模糊隨機變量的屬性權重未知的多屬性決策問題，分析并論證了分布類型已知的直覺梯形模糊總體的未知參數估計方法，并通過定義基于集對分析理論思想的模糊隨機記分函數判定模糊隨機性信息的序關系，進而綜合考慮決策者在應對風險過程中存在的有限理性行為特征，提出基于參數估計與記分函數聯合的直覺梯形模糊隨機前景決策方法。該方法充分結合了模糊數學和概率論與數理統(tǒng)計兩個學科的理論思想，將基于模糊數學獲取的直覺梯形模糊隨機變量的期望值與方差轉化為經典統(tǒng)計學中未知參數的極大似然估計，有效規(guī)避了基于可信性理論的直覺梯形模糊隨機理論體系的不完善所引致的決策結論失真，實現了混合型模糊隨機信息的精確化處理，對于處理屬性值為混合型、多重型的模糊隨機變量的FRMADM問題具有一定參考價值。在后續(xù)研究中，將主要考慮直覺梯形模糊總體分布類型未知情形下的非參數估計方法，并重點研究屬性權重信息不完全、專家偏好關聯的群體直覺梯形模糊隨機決策方法。

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Approach for intuitionistic trapezoidal fuzzy random prospect decision making based on the combination of parameter estimation and score functions

CHEN Zhen-song1，2，XIONG Sheng-hua1，2，LI Yan-lai1，2，QIAN Gui-sheng3
（1.School of Transportation and Logistics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.Nation and Region Combined Engineering Lab of Intelligentizing Integrated Transportation，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3.Department of Systems Engineering and Engineering Management，City University of Hong Kong，999077，Hong Kong）

The operational laws of the intuitionistic trapezoidal fuzzy number are improved，a concept of instuitionistic trapezoidal fuzzy random variable（ITr FRV）is introduced based on the intuitionistic trapezoidal fuzzy number and the trapezoidal fuzzy random variable，and the related properties of an ITrFRV are also proposed and proved．With respect to a problem of multiple attribute decision making（MADM），in which attribute weights are unknown and attribute values are given in terms of intuitionistic trapezoidal fuzzy random variables，considering the decision-maker’s psychological behavior，an approach for intuitionistic trapezoidal fuzzy random prospect decision making is proposed based on the combination of parameter estimation and score functions．Firstly，by acquiring intuitionistic trapezoidal fuzzy sample information in different periods of the decision making process，the unknown parameters of entire intuitionistic trapezoidal fuzzy populations with a known distribution pattern are estimated，and an intuitionistic trapezoidal fuzzy random matrix is obtained．Secondly，an expectation-variance intuitionistic fuzzy number matrix is constructed，and then the concept of a fuzzy random ___score function is defined to transform a normalized expectation intuitionistic fuzzy number matrix into a scorefunction matrix．Finally，the prospect theory is utilized to calculate a prospect score function，attribute weights are determined by constructing a grey system theory model，and then a ranking of alternatives are obtained according to comprehensive prospect score values．A practical example is introduced to show the feasibility and effectiveness of the proposed approach．

multi-attribute decision making；intuitionistic trapezoidal fuzzy random variable（ITr FRV）；parameter estimation；score function；prospect theory

C 934

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．20

陳振頌（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為決策理論與方法、系統(tǒng)建模與優(yōu)化。E-mail：czs7328026＠126．com

熊升華（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為智能控制與應用、系統(tǒng)建模與優(yōu)化。E-mail：xsh1841＠163．com

李延來（1971 ），通信作者，男，教授，博士，主要研究方向為決策理論與方法、系統(tǒng)建模與優(yōu)化。E-mail：lyl_2001＠163．com

錢桂生（1958-），男，副教授，博士，主要研究方向為質量體系與管理、新產品設計與開發(fā)、決策支持系統(tǒng)。E-mail：mekschin＠cityu．edu．hk

1001-506X（2015）04-0851-12

2014- 03- 07；

2014- 09- 10；網絡優(yōu)先出版日期：2014- 09- 28。

網絡優(yōu)先出版地址：http：∥w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140928．1719．020．html

國家自然科學基金（71371156，70971017）；西南交通大學優(yōu)秀博士學位論文培育項目資助課題