吳美琪

摘要：分形理論是近幾十年才開(kāi)始興起和發(fā)展的一門學(xué)科，它在許多領(lǐng)域都有很廣泛的應(yīng)用，本文主要探究分形理論在圖形設(shè)計(jì)與處理上的應(yīng)用，提出了兩種算法，為時(shí)裝設(shè)計(jì)、家具設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的圖形設(shè)計(jì)提供參考。

關(guān)鍵詞：分形理論；牛頓迭代；分形藝術(shù)圖；圖形設(shè)計(jì)與處理

一、分形圖形學(xué)的產(chǎn)生及應(yīng)用

分形理論創(chuàng)造于20世紀(jì)70年代初期，其研究對(duì)象為自然界和現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的非規(guī)則而具有自相似特征的幾何形態(tài)。分形理論是一門新興的非線性學(xué)科，它是研究自然界不規(guī)則和復(fù)雜現(xiàn)象的科學(xué)理論和方法。對(duì)于干變?nèi)f化的不規(guī)則形態(tài)，人們習(xí)慣于用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何理論來(lái)描述，主要是用直線段、圓弧、平面及曲面等手段來(lái)對(duì)它們進(jìn)行分析。而這種用規(guī)則的幾何理論去描述非規(guī)則的幾何形態(tài)所得到的結(jié)果是存在巨大差異的，有時(shí)甚至是不可能的。雖然自然界中到處存在著非規(guī)則幾何形體，但是卻很難確切地描述它們，這給人們帶來(lái)了極大的困惑，而分形幾何學(xué)的創(chuàng)立，為準(zhǔn)確地描述非規(guī)則的幾何形態(tài)提供了強(qiáng)有力的證據(jù)。

自誕生以后，分形理論便對(duì)物理、生物、地理乃至哲學(xué)、歷史、藝術(shù)領(lǐng)域產(chǎn)生了重大影響，使枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題或死板的圖形設(shè)計(jì)變得生動(dòng)形象，并具有靈動(dòng)性，從而帶動(dòng)更多的人們感受到美的所在和提高了欣賞美、欣賞藝術(shù)的眼光，同時(shí)也開(kāi)闊了人們的眼界。分形不但可以描述已知的自然景觀，還可以創(chuàng)造未知世界。分形使人們覺(jué)悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合、數(shù)學(xué)和藝術(shù)審美上的統(tǒng)一。分形理論的很多內(nèi)容在實(shí)際工作中都有非常廣闊的應(yīng)用，特別是在借助計(jì)算機(jī)手段通過(guò)大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算完成分形理論相關(guān)問(wèn)題的研究時(shí)，分形理論更是如魚(yú)得水。通過(guò)檢索大量的文獻(xiàn)信息，發(fā)現(xiàn)在物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、美學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，各種應(yīng)用成果琳瑯滿目，美不勝收，展現(xiàn)了令人矚目的應(yīng)用前景，解決了許多傳統(tǒng)理論和方法無(wú)法解決的問(wèn)題，為現(xiàn)代科學(xué)研究提供了新的手段。分形幾何的研究受到如此廣泛的重視，原因之一是因?yàn)樗哂袕V泛而巨大的應(yīng)用價(jià)值，另一原因是它有著重大的理論價(jià)值，為人們認(rèn)識(shí)世界提供了一種新的方法論。隨著分形理論的不斷發(fā)展和應(yīng)用，將分形幾何理論用于描述不規(guī)整形體的圖形，已成為目前研究世界物質(zhì)模型的一個(gè)擴(kuò)展。

二、分形圖形設(shè)計(jì)的算法

迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）是分形理論的重要分支之一，是將待生成的圖像看成是由許多與整體相似的或經(jīng)過(guò)一定變換與整體相似的小塊拼貼而成。而相似與仿射變換在數(shù)學(xué)上可以由非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來(lái)，所以根據(jù)分形圖的自相似性，找出對(duì)應(yīng)分形圖的IFS變換碼，通過(guò)計(jì)算機(jī)編碼可以很容易地繪制出各種復(fù)雜的分形圖。1980年，Mandelbrot用計(jì)算機(jī)繪出用他名字命名的Mandelbrot集的第一張圖，其簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表示為2n，+l=2n，2+C（其中Z和C為復(fù)平面上的點(diǎn)，n為自然數(shù)）。令zo的值為某一復(fù)數(shù)并始終保持不變，把任意不同值的復(fù)值C代入上式進(jìn)行迭代，并產(chǎn)生Zl，Z2，Z3，……序列，每一不同的C值對(duì)應(yīng)于不同序列Zn，值，研究這些序列的分步情形從而了解復(fù)平面里復(fù)數(shù)C所構(gòu)成的點(diǎn)集圖，即曼德?tīng)柌剂_特集。

對(duì)于分形圖形，一種我們可以利用線段擬和，只需確定兩點(diǎn)坐標(biāo)位置，連線畫(huà)出即可，另一種則需要根據(jù)圖形特征，逐步分析提取IFS碼，并利用概率分布，得到IFSP碼，用點(diǎn)模擬。據(jù)此，筆者設(shè)計(jì)了以下兩種算法，通過(guò)對(duì)一些參數(shù)的修改，從而改變分形圖的形狀、位置、顏色等屬性。在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了分形圖形的中文處理界面，可以對(duì)生成的分形圖形作合成、特效、旋轉(zhuǎn)等一系列處理，使其更好地應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中去，最后將生成的分形圖形以BMP或JPEG圖片格式保存到電腦硬盤(pán)中。將分形理論應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)，生成了許多絢麗多彩的分形圖形，計(jì)算機(jī)與藝術(shù)很好地結(jié)合在一起，在時(shí)裝設(shè)計(jì)、家具設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)等領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用。具體方法如下。

1.三點(diǎn)法

我們知道，一般具有分形特征的自然景物圖形，它必然存在一些有特征性的點(diǎn)。由于整體和局部的相似性，整體存在一些有特征性的點(diǎn)，局部也必然相應(yīng)地存在一些有特征性的點(diǎn)。由于局部是由整體仿射變換而來(lái)，則局部上的一些有特征性的點(diǎn)必然也是由整體上的一些有特征性的點(diǎn)經(jīng)過(guò)同樣的仿射函數(shù)變換而來(lái)。同時(shí)我們還知道，通過(guò)三對(duì)點(diǎn)（整體上的三個(gè)點(diǎn)和局部上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)），我們就可求出一個(gè)仿射變換?；谶@個(gè)道理，我們只要在整體輪廓上選取三個(gè)有特征性的點(diǎn)，然后再在各個(gè)局部輪廓上按相同的順序選取對(duì)應(yīng)的三個(gè)有特征性的點(diǎn)。這樣根據(jù)這些點(diǎn)，就可以獲得整體到各個(gè)局部的仿射變換。

對(duì)于規(guī)則的自相似圖形，典型的有分形樹(shù)、Koch曲線等，由于它們都具有良好的自相似性，及顯然的直線性，因此只要找出它們的遞歸特性就可以利用遞歸函數(shù)，采用線段擬和，遞歸出口為線段長(zhǎng)度的一個(gè)限值；對(duì)于不規(guī)則的分形圖形，比如蕨類植物、Levy曲線等，我們則可以利用之前提到的提取IFS碼，找出圖形的統(tǒng)計(jì)自相似性，再利用迭代函數(shù)逐步地用點(diǎn)擬合。

2.具有嚴(yán)格自相似性分形圖形的算法

選擇具有代表性的分形樹(shù)為例，觀察到二維分形樹(shù)的樹(shù)干和樹(shù)枝具有良好的自相似性，即圖形局部放大后可以與整體等同。首先，向函數(shù)傳遞的是樹(shù)根或樹(shù)枝末端點(diǎn)坐標(biāo)以及線段長(zhǎng)度、與橫坐標(biāo)所夾角度，通過(guò)函數(shù)調(diào)用得到的是樹(shù)頂或樹(shù)枝頂端點(diǎn)坐標(biāo)，假定A為枝末節(jié)點(diǎn)，B為枝頂節(jié)點(diǎn)。然后，注意到AB既可看為主枝，又可視為側(cè)枝，這是又自相似性決定的，滿足了遞歸的性質(zhì)。在AB上取一點(diǎn)Al作為樹(shù)根或枝末節(jié)點(diǎn)，偏轉(zhuǎn)角度選定，線段長(zhǎng)度確定，同理亦可得到樹(shù)頂或枝頂節(jié)點(diǎn)Bl，連線畫(huà)出AIB1，接著再在AIB1上取點(diǎn)畫(huà)線，依此類推，直至線段長(zhǎng)度小于某一限值，這時(shí)便將分形樹(shù)描繪出。

三、分形理論的前景

到目前為止，分形尚無(wú)最后的定義。在西方，分形的藝術(shù)研究是與科學(xué)研究密不可分的，研究人員也多為科學(xué)家而非藝術(shù)家，在中國(guó)則是藝術(shù)關(guān)注多于科學(xué)關(guān)注，這也是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外分形藝術(shù)研究的不同之處。一方面，藝術(shù)創(chuàng)作者的敏銳視角將推進(jìn)和豐富分形藝術(shù)的發(fā)展，給理論研究帶來(lái)豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)；另一方面，理論的滯后又會(huì)相對(duì)阻礙分形藝術(shù)的發(fā)展，這都會(huì)給分形藝術(shù)研究帶來(lái)不同的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

但在其中一些問(wèn)題上，需要指出的是目前對(duì)于分形應(yīng)用的研究還存在著較大的局限性，表現(xiàn)在對(duì)分形理論的應(yīng)用主要集中在Hausdorff維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)等維數(shù)計(jì)算的分支上，而分形插值、分形布朗運(yùn)動(dòng)、分形測(cè)度等理論分支的應(yīng)用就少得多，更多的諸如多重分形譜的計(jì)算和分形動(dòng)力學(xué)等更深入的應(yīng)用研究還鮮有涉足，而統(tǒng)計(jì)分形和隨機(jī)分形的理論研究和應(yīng)用研究則是一個(gè)非常值得關(guān)注的方向。

通過(guò)對(duì)分形圖形的設(shè)計(jì)與研究，使更多的人了解并掌握分形技術(shù)的算法以及分形圖形的生成，使分形技術(shù)被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，從而帶動(dòng)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與進(jìn)步，使絢麗多彩的分形圖形代替以前枯燥乏味的平面圖形，創(chuàng)造更多的經(jīng)濟(jì)效益。