王濤 紀維強

【摘要】針對線性代數(shù)中比較典型的問題，文章借助于Matlab工具，結(jié)合具體的例子，展示Matlab在線性代數(shù)中的實際應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】Matlab；行列式；矩陣；特征值

線性代數(shù)中許多問題可以借助于Matlab軟件來求解；本文結(jié)合線性代數(shù)中相關(guān)典型問題，給出了Matlab求解這些問題的相關(guān)用法，以供大家參考.

一、計算行列式

文中計算行列式的Matlab命令：det（A），其中A為方陣.

例1計算行列式axxxxaxxxxaxxxxa.

Matlab中輸入：

clear

symsax；

A=[axxx；xaxx；xxax；xxxa]；

det（A）

得到：ans=

a^4-6*a^2*x^2+8*a*x^3-3*x^4

注：如果再輸入：factor（det（A）），可得到因式分解形式下的行列式結(jié)果：

ans=

（a+3*x）*（a-x）^3

例2求方程1111123x149x21827x3=0的全部根.

Matlab中輸入：

clear

symsx；

A=[1111；123x；149x^2；1827x^3]；

det（A）

得到：ans=

2*x^3-12*x^2+22*x-12

再輸入：solve（‘2*x^3-12*x^2+22*x-12=0），可求得原方程的根為：

ans=

1

2

3

二、將矩陣化為行最簡形矩陣

文中Matlab命令為：B=rref（A），rref（A）表示求A的行最簡形矩陣B.

說明：根據(jù)文中思想，求出矩陣的行最簡形后，就比較容易求出矩陣的秩、一個最高階的非零子式、列（行）向量組的一個最大無關(guān)組及用最大無關(guān)組表示其余向量等等相關(guān)問題.

例3求矩陣A=1-130-21-21-1-152的行最簡形矩陣.

Matlab中輸入：

clear

A=[1-130；-21-21；-1-152]；

B=rref（A）

得到：B=

10-1-101-4-10000

三、求逆矩陣

例4求A=1000120021301214的逆矩陣.

解法1根據(jù)文中相關(guān)知識，用行變換（A，E）：（E，A-1），將A化為行最簡形矩陣，右端自然就出現(xiàn)A-1.

Matlab中輸入：

clear

formatrat%設(shè)置顯示格式為有理數(shù)

A=[1000；1200；2130；1214]；

B=[Aeye（4）]；%eye（m，n）為m×n的單位矩陣

C=rref（B）；

Ainv=C（：，5：8）

得到：Ainv=

1000-1/21/200-1/2-1/61/301/8-5/24-1/121/4

從而

A-1=1000-1/21/200-1/2-1/61/301/8-5/24-1/121/4.

解法2直接應(yīng)用文中Matlab求逆矩陣命令：inv（A）也可得上述結(jié)果.

例5求A=abcd的逆矩陣（abcd≠0）.

Matlab中輸入：

clear

symsabcd；

A=diag（[abcd]）；%構(gòu)造對角形矩陣

B=inv（A）

得到：B=

[1/a，0，0，0]

[0，1/b，0，0]

[0，0，1/c，0]

[0，0，0，1/d]

說明對于一般形式的矩陣（若它是可逆的），都可以按照例4的方法來求解它的逆矩陣.

四、求解齊次線性方程組

在Matlab中，函數(shù)null用來求解零空間，即滿足AX=0的解空間，實際上是求出解空間的一組基（基礎(chǔ)解系）.基本格式：

z=null（A）%z的列向量為方程組AX=0的規(guī)范正交基，滿足zTz=E；

z=null（A，′r′）%z的列向量為方程AX=0的有理基.

例6求齊次方程組x1+2x2-2x3+2x4-x5=0，x1+2x2-x3+3x4-2x5=02x1+4x2-7x3+x4+x5=0的通解.

Matlab中輸入：

clear

formatrat

A=[12-22-1；12-13-2；24-711]；

B=null（A，r）

得到：B=

-2-431000-11010001

再輸入：symsk1k2k3；

X=sym（B）*[k1；k2；k3]%或者輸入X=k1*B（：，1）+k2*B（：，2）+k3*B（：，3）求出通解形式

得到通解形式：

X=

-2*k1-4*k2+3*k3

k1

-k2+k3

k2

k3

五、求解非齊次線性方程組

根據(jù)文的思路，非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解.因此，步驟為：

第一步：判斷AX=b是否有解，若有解則進行第二步；

第二步：求AX=b的一個特解；

第三步：求對應(yīng)齊次方程組AX=0的通解；

第四步：根據(jù)非齊次方程組通解結(jié)構(gòu)（即AX=b的一個特解+對應(yīng)齊次方程組AX=0的通解），求得通解形式.

例7求解非齊次方程組x1+2x2-x3+3x4=2，2x1+4x2-2x3+5x4=1，-x1-2x2+x3-x4=4.

Matlab中輸入：

A=[12-13；24-25；-1-21-1]；

b=[214]；

B=[Ab]；

n=4；

R_A=rank（A）

R_B=rank（B）

formatrat

得到：R_A=

2R_B=

2

%根據(jù)方程組解的判定定理判定非齊次方程解的情形

再輸入：symsk1k2；%齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有2個向量，選定2個自由常數(shù)

X=null（sym（A））*[k1；k2]+sym（Ab），E=A*X-b%此處X為通解形式，E為A*X與b的差向量值，目的在于驗證X的求解是否準確

得到：Warning：Rankdeficient，rank=2，tol=5.2545e-015.

X=

-2*k1+k2

k1-7/2

k2

3

E=

0

0

0

%此處E為零向量，說明X為原方程組AX=b的精確解

另外文中，Matlab也可求解矩陣方程組，有如下命令：

①若矩陣方程形式為AX=B，在方程組有解的條件下，可用Matlab命令：X=AB求解；

②若矩陣方程形式為XA=B，在方程組有解的條件下，可用Matlab命令：X=B/A求解.

六、求矩陣的特征值和特征向量

文Matlab中求矩陣Am×n的特征值和特征向量的命令為：eig（A）或[V，D]=eig（A）

例8求矩陣A=1-333-536-64的特征值和特征向量.

解法1Matlab中輸入：

clear

A=[1-33；3-53；6-64]；

eig（sym（A））

運行結(jié)果為：ans=

4

-2

-2

如果運行[V，D]=eig（sym（A））命令，得到：

V=

[1，-1，1]

[1，0，1]

[2，1，0]

D=

[4，0，0]

[0，-2，0]

[0，0，-2]

說明eig（A）僅顯示A的特征值，而[V，D]=eig（A）不僅顯示對角型矩陣D（對角線元素即為A的特征值），還求解出相應(yīng)的特征向量構(gòu)成的矩陣V.

解法2用求方程組基礎(chǔ)解系的方法來求對應(yīng)特征值的特征向量.

Matlab中輸入：

clear

A=[1-33；3-53；6-64]；

eig（sym（A））

P1=sym（null（A-4*eye（3）））；%求（A-4E）x=0的基礎(chǔ)解系，即屬于特征值λ1=4的線性無關(guān)的特征向量，sym允許含根號的形式

P2=sym（null（A+2*eye（3）））；%求屬于特征值λ2=-2的線性無關(guān)的特征向量

P=[P1P2]%也可用disp（[P1P2]）

得到：ans=

4

-2

-2

P=

[sqrt（1/6），-sqrt（2/3），0]

[sqrt（1/6），-sqrt（1/6），-sqrt（1/2）]

[sqrt（2/3），sqrt（1/6），-sqrt（1/2）]

說明一般而言，解法2中求基礎(chǔ)解系的方法，確定出來的特征向量與實際較為符合，誤差較小.

七、求使得對稱矩陣對角化的正交矩陣

例9求把A=22-225-4-2-45對角化的正交矩陣P

Matlab中輸入：

clear

formatrat

A=[22-2；25-4；-2-45]；

f=poly（A）；%得到A的特征多項式f的標量形式

f=poly2sym（f）%得到A的特征多項式f的變量形式

solve（f）%求得特征多項式的根

運行結(jié)果為：f=

x^3-12*x^2+21*x-10

ans=

10

1

1

再運行：p1=sym（null（A-10*eye（3）））；

p2=sym（null（A-eye（3）））；

P=[p1p2]

得到：P=

[1/3，sqrt（8/9），0]

[2/3，-sqrt（1/18），sqrt（1/2）]

[-2/3，sqrt（1/18），sqrt（1/2）]

說明根據(jù)文中思想，借助于Matlab求得對稱矩陣A的特征值后，可以比較容易判定出矩陣A的正定性；如果再進一步求出使得A對角化的正交矩陣P，則二次型f=xTAx采用正交變換x=Py化為標準形的問題也得到解決.

【參考文獻】

[1]何正風.Matlab在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012（1）：105-127.

[2]艾冬梅，劉琳，等.Matlab與數(shù)學(xué)實驗[M].北京：機械工業(yè)出版社，2010.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007（5）：124-133.