喬梁 黃志堅(jiān) 王福欣 江國(guó)和

摘 要：受噪聲污染信號(hào)的頻率的挖掘是一個(gè)重要的研究課題，不管是在醫(yī)療、通訊、還是其他領(lǐng)域，正弦信號(hào)的頻率估計(jì)在這些領(lǐng)域都有所用途。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)正弦信號(hào)的頻率估計(jì)的難點(diǎn)在于其混雜的天然白噪聲對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。文章將介紹利用自抗擾控制器（Active Disturbance Rejection Controller ，ADRC）中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer ，ESO）為基礎(chǔ)來(lái)測(cè)定被白噪聲污染的正弦信號(hào)的測(cè)定，并將此方法與利用以跟蹤微分器（Tracking-Differentiator ，TD）為基礎(chǔ)來(lái)測(cè)定頻率的方法進(jìn)行了對(duì)比。通過(guò)仿真結(jié)果顯示：前者比后者測(cè)得的頻率結(jié)果更加準(zhǔn)確，頻率波動(dòng)較小，體現(xiàn)了以ESO算法為基礎(chǔ)來(lái)測(cè)定被白噪聲污染的正弦信號(hào)的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：頻率估計(jì)；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器；跟蹤微分器；自抗擾控制器

引言

人們對(duì)頻率估計(jì)的研究由來(lái)已久，因?yàn)轭l率是信號(hào)的重要參數(shù)，在軍事領(lǐng)域，頻率估計(jì)的研究已有突破，如果能截取對(duì)方通訊信號(hào)的頻率即能得到重要的軍事信息；對(duì)海洋的開(kāi)發(fā)與利用迫切需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，因此信號(hào)的頻率參數(shù)不可避免的成為了研究對(duì)象。但是一般來(lái)說(shuō)信號(hào)都會(huì)混有噪聲，文獻(xiàn)[1]提出了ALPHA噪聲模型，但是其用途不廣。而白噪聲的模型在日常生活中最普遍，文章擬用的仿真系統(tǒng)就含有白噪聲。

而文章所介紹的方法對(duì)對(duì)比以上方法較為簡(jiǎn)便，主要是以擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer ，ESO）為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)估算出頻率，并且與利用跟蹤微分器（Tracking-Differentiator ，TD）的方法做了對(duì)比試驗(yàn)，體現(xiàn)出了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的優(yōu)勢(shì)，在計(jì)算簡(jiǎn)便的同時(shí)又不失精度。

1 頻率估計(jì)系統(tǒng)

基于數(shù)學(xué)推導(dǎo)，進(jìn)一步利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的微分效果來(lái)對(duì)受噪聲污染的正弦信號(hào)的頻率進(jìn)行估計(jì)，現(xiàn)已測(cè)得被噪聲污染的正弦信號(hào)x（t）=asin（？棕t）+？酌n（t），其中，a為振幅；？酌為噪聲強(qiáng)度；n（t）為白噪聲；？棕為頻率，如何估計(jì)出此信號(hào)所含的頻率？棕。

先看無(wú)噪聲的情形，取x（t）的微分，得

■（t）=a ？棕cos（？棕t） （1）

于是可得

就有

從而得出對(duì)信號(hào)頻率的估算。這個(gè)公式對(duì)噪聲污染的信號(hào)也是有效的，因此估計(jì)被污染的正弦信號(hào)的頻率就是用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)得到信號(hào)的微分，再進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算即可得到頻率。

2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）

系統(tǒng)是與外部進(jìn)行交流的過(guò)程中變化發(fā)展。人們通過(guò)收集系統(tǒng)外部變量來(lái)把握系統(tǒng)運(yùn)行狀況對(duì)于動(dòng)態(tài)過(guò)程而言，系統(tǒng)外部變量就是系統(tǒng)傳給外部的輸出變量，包括控制輸入，根據(jù)這種外部變量的觀測(cè)來(lái)確定系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的裝置叫做擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器。

對(duì)非線性系統(tǒng)

（4）

其中，x3（t）=f（x1（t），x2（t））

對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建立擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

（5）

式中，？茁01，？茁02，？茁03是擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的增益系數(shù)。

則只要適當(dāng)選擇參數(shù)？茁01，？茁02，？茁03，這個(gè)系統(tǒng)能很好的估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1（t），x2（t）及被擴(kuò)張的實(shí)時(shí)作用量x3（t）=f（x1（t），x2（t）），我們利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器主要是利用其微分效果，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行跟蹤。

3 仿真研究

3.1 基于跟蹤微分器（TD）對(duì)含噪聲的信號(hào)頻率進(jìn)行估計(jì)

設(shè)輸入信號(hào)為：y=sin（？棕t）+0.1n（t），n（t）為[-1，1]之間均勻分布的隨機(jī)噪聲，當(dāng)頻率？棕=40，60時(shí)，將此信號(hào)經(jīng)過(guò)過(guò)跟蹤微分器（TD）后在Matlab中進(jìn)行仿真，取TD的速度因子？酌=1600，步長(zhǎng)h=0.011，濾波因子T=0.01，TD的初值為：x1（0）=0.1，x2（0）=0.0

仿真結(jié)果如下（1），（2）：

（1）顯示的是基于跟蹤微分器（TD）對(duì)含噪白聲信號(hào)進(jìn)行的頻率估計(jì)，其中設(shè)定的頻率？棕=40，可以看出其頻率波動(dòng)大約在34～39之間，并且最終頻率未到達(dá)設(shè)定值40，頻率波動(dòng)較為明顯。

（2）顯示的是基于跟蹤微分器（TD）對(duì)含噪聲信號(hào)進(jìn)行的頻率估計(jì)，其中設(shè)定的頻率？棕=60，可以看出其頻率波動(dòng)大約在54～62之間，頻率值波動(dòng)較為明顯。

3.2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）對(duì)含白噪聲的信號(hào)進(jìn)行頻率估算

設(shè)輸入信號(hào)為：y=sin（？棕t）+0.1n（t），n（t）為[-1，1]之間均勻分布的隨機(jī)噪聲，頻率？棕=40，60時(shí)，將此信號(hào)進(jìn)過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器然后在Matlab中進(jìn)行仿真，并確定濾波因子T=0.01

仿真結(jié)果如下（3），（4）：

（3）顯示的是基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）對(duì)含白噪聲信號(hào)的頻率估計(jì)，設(shè)定的頻率？棕=40，其頻率波動(dòng)范圍大約在39～42之間，隨著仿真時(shí)間的延續(xù)，頻率值穩(wěn)定在40.4左右，離設(shè)定值40很接近，但頻率前期仍有波動(dòng)。

（4）顯示的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）對(duì)含白噪聲信號(hào)的頻率估計(jì)，其中設(shè)定的頻率？棕=60，其頻率波動(dòng)范圍大約在58～61之間，隨著仿真時(shí)間的延續(xù)，頻率值趨于穩(wěn)定在59.7左右，非常接近設(shè)定值60，但頻率前期波動(dòng)仍然存在。

我們?cè)O(shè)定了二組頻率，分別使用跟蹤微分器（TD）與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）為基礎(chǔ)的算法來(lái)估算頻率，可以看到以擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）為基礎(chǔ)來(lái)估測(cè)受白噪聲污染的正弦信號(hào)的頻率是可行的。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)比（1）與（3），（2）與（4），我們可以看到：

（1）基于擴(kuò)張狀態(tài)所得的頻率結(jié)果更加接近設(shè)定值。

（2）同時(shí)，我們可以看到基于跟蹤微分器的頻率估計(jì)系統(tǒng)得到的頻率波動(dòng)較大，至到仿真結(jié)束頻率值也不穩(wěn)定，但是我們可以利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器得到更加平穩(wěn)、準(zhǔn)確的頻率值。

（3）因此，以擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為基礎(chǔ)的算法來(lái)估計(jì)受噪聲污染的正弦信號(hào)的頻率比利用跟蹤微分器的效果更好。

參考文獻(xiàn)

[1]Chavah VG，Da S，和克勞迪奧·R.檢測(cè)數(shù)字幅度相位調(diào)制對(duì)稱的α穩(wěn)定噪聲信號(hào)[J].IEEE通信，2012，60（11）：3365-3375.