洪平鋒

【摘要】分析不同類型導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題的處理方法，幫助學(xué)生靈活利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，將導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分可求零點(diǎn)、不可求零點(diǎn)與無零點(diǎn)的類型，逐一闡述導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求解規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】直接求根；特值代入；設(shè)而不求；多次求導(dǎo)；等價(jià)轉(zhuǎn)化

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生探究能力的重要工具，在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)相關(guān)問題的時(shí)候，往往需要對導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)加以分析和運(yùn)用，而平時(shí)學(xué)生習(xí)慣于常見的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，在遇到一些非常規(guī)的含參或超越方程時(shí)，往往會顯得束手無策，筆者對該問題進(jìn)行了如下整理，以供參考.

一、直接求根法

此類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是學(xué)生常見的方程，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可直接通過解方程的形式求得.

例1 （2013高考重慶卷）設(shè)f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）.

（1）確定a的值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值.

解 （1）a=12.

（2）由a=12知，f（x）=12（x-5）2+6lnx，f′（x）=x-5+6x=（x-2）（x-3）x.

令f′（x）=0，解得x1=2，x2=3.當(dāng)03時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在（0，2）與

（3，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)2

由上可知，f（x）在x=2時(shí)取得極大值f（2）=92+6ln2，在x=3時(shí)取得極小值f（3）=2+6ln3.

二、特值代入法

此類題型的導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，但因?yàn)槭呛衛(wèi)nx或ex的超越方程，所以在求零點(diǎn)時(shí)，一般需要先做特值代入，然后再部分求導(dǎo)證明導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)就是所代入的特值.

例2 （2013高考北京卷）設(shè)l為曲線C：y=lnxx在點(diǎn)（1，0）處的切線.

（1）求l的方程；

（2）求證：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

解 （1）l的方程為y=x-1.

（2）令g（x）=x-1-lnxx，則原題等價(jià)于證明：x>0且x≠1時(shí)，g（x）>0恒成立.g′（x）=x2-1+lnxx2，將x=1代入得g′（1）=0.當(dāng)01時(shí)，x2-1>0，lnx>0，所以g′（x）>0，故g（x）單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，g（x）>g（1）=0，即除切點(diǎn)外，曲線C在直線l的下方.

三、設(shè)而不求法

此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在，但因?yàn)槭浅椒匠袒蚝瑓⑿问綄?dǎo)致零點(diǎn)不可求或求解非常麻煩，所以可以考慮“設(shè)而不求”的技巧，利用整體代換的方式求解.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2，若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明f（x）的所有極值和大于lne2.

解 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞），f′（x）=1x+a+2x=2x2+2ax+1x+a.

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四、多次求導(dǎo)法

此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不存在，但是可以證明該導(dǎo)函數(shù)在定義域上恒正或恒負(fù)，所以可以通過多次求導(dǎo)的辦法求出導(dǎo)函數(shù)的最值，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號后得到原函數(shù)的單調(diào)性.

例4 （2010高考安徽卷）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ex-2x+2a，x∈R.

（1）略；（2）求證：當(dāng)a>ln2-1且x>0時(shí)，ex>x2-2ax+1.

綜合上述，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)主要有可求零點(diǎn)、不可求零點(diǎn)和無零點(diǎn)三種呈現(xiàn)方式，對可求零點(diǎn)則直接求解或用特殊值法代入，對不可求零點(diǎn)則一般采用“設(shè)而不求”的解決辦法.當(dāng)然，對一些含超越方程形式的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化也是化簡運(yùn)算的一種有效途徑.一言以概之，多對平時(shí)我們所遇到的問題加以整理概括，才能不斷提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.