胡顯偉

摘 要：本論文研究了一類不確定時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱 保成本控制問(wèn)題。所研究系統(tǒng)的輸入和輸出均含有時(shí)滯，狀態(tài)，輸入和輸出均存在不確定性。在Lyapunov穩(wěn)定理論的框架下，給出了系統(tǒng)魯棒及 保性能的有界實(shí)引理。在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式的方法，給出了非脆弱控制器的設(shè)計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：時(shí)變時(shí)滯；擾動(dòng)；保成本控制

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-2163（2015）05-

Robust Discrete Uncertain Systems with Time Delay is n-fragile Guaranteed Cost Control

HU Xianwei

（Shenyang chemical industry school， Shenyang 110163，China）

Abstract：This paper studies a class of uncertain time-delay systems of n-fragile Guaranteed cost control problem. The research system of input and output delay， status， the input and output are uncertainty. In the framework of Lyapunov stability theory， the paper presents the system robustness and performance of bounded real lemma. On this basis， by using the method of Lyapunov function and linear matrix inequality， the n-fragile controller design method is given.

Keywords：Time-varying Delay； Perturbation； Guaranteed Cost Control

0引 言

保成本控制問(wèn)題已引起人們的興趣[1-3]。在實(shí)際工程中，控制器的實(shí)現(xiàn)由硬件和軟件的原因，存在參數(shù)攝動(dòng)的情況[4-5]。因此，非脆弱控制問(wèn)題成為研究的熱點(diǎn) [6-9]。另外，實(shí)際系統(tǒng)中不可避免地存在各種不確定參數(shù)：（1）結(jié)構(gòu)不確定性或參數(shù)不確定性[10]；（2）非結(jié)構(gòu)不確定性或非結(jié)構(gòu)攝動(dòng)[11]；（3）混合不確定性[12]。所以，研究系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性具有重要的意義和價(jià)值 [13-14]。本文討論一類離散系統(tǒng)的非脆弱 保成本控制問(wèn)題。基于Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式的方法，給出了非脆弱 保成本控制器的設(shè)計(jì)方法。

1系統(tǒng)描述

考慮離散時(shí)滯系統(tǒng)

（1）

其中 是系統(tǒng)的狀態(tài)； 是輸入； 是屬于 空間的干擾輸入； 是被調(diào)輸出； ，

和 是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣， 是不確定實(shí)值矩陣，表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性； 和 ，表示系統(tǒng)的狀態(tài)和控制中的滯后時(shí)間；并滿足 ，其中 和 是已知的。假定：

（2）

其中， 是常數(shù)矩陣， 是滿足：

（3）

其中， 表示 階單位矩陣。

成本函數(shù)為：

（4）

其中， 是正定矩陣。

考慮狀態(tài)反饋：

（5）

其中， 表示控制器增益， 表示增益的攝動(dòng)。

本文考慮兩種形式的攝動(dòng)：

（1） 加法式攝動(dòng)：

（6）

（2） 乘法式攝動(dòng)：

（7）

其中， 和 是常數(shù)矩陣， 是未知的擾動(dòng)矩陣，且滿足 。

系統(tǒng)（1）在 作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為：

（8）

其中，

定義1 對(duì)于給定的常數(shù) 對(duì)稱正定矩陣 和 ，狀態(tài)反饋控制律

（9）

稱為系統(tǒng)（1）的 保成本控制律，如果對(duì)所有滿足式（3）的參數(shù)不確定性，下列條件成立：

（1） 當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定；

（2） 在 的條件下， 為正常數(shù)；

（3） 在零初始條件下，被調(diào)輸出 滿足 ，其中 表示 中的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)。

引理1 （schur補(bǔ)）[2] 對(duì)于給定的對(duì)稱矩陣 ，其中 是對(duì)稱負(fù)定矩陣，則以下三個(gè)條件是等價(jià)的：

（1） ；

（2） ；

（3） 。

引理2[4] 給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣 和 其中 是對(duì)稱的，如果存在正常數(shù) 使得：

成立，其中 ， 則對(duì)所有滿足：

的式中 ，有公式 成立。

2主要結(jié)果

定理1對(duì)于給定的常數(shù) ，如果存在矩陣 ，對(duì)稱正定矩陣 ， 和 ，使得對(duì)所有允許的參數(shù)不確定性（3），矩陣不等式

（10）

成立，則控制律（5）是系統(tǒng)（1）的魯棒 保成本控制律，并且有：

（11）

證明 選取lyapunov函數(shù)

和引理1可得定理1。

定理2 對(duì)系統(tǒng)（1）和給定的控制器（5），控制器增益具有形式（6）的攝動(dòng)，對(duì)于成本函數(shù)（4），給定標(biāo)量 ，如果存在正常數(shù) ，對(duì)稱正定矩陣 和矩陣 ，使得：

成立，其中，

系統(tǒng)（1）可魯棒 保成本控制，控制律 ，并且成本函數(shù)滿足：

證明 由定理1，引理1和引理2可得到定理2。

關(guān)于乘法式攝動(dòng)的情形，可類似給出。

3結(jié)束語(yǔ)

在實(shí)際工程中，在控制過(guò)程中，由于硬件和軟件存在的偏差，控制器不可避免地存在各種類型的存在參數(shù)攝動(dòng)的情況。加之實(shí)際工程系統(tǒng)內(nèi)部和外部，存在各種不確定因素的影響，使得系統(tǒng)性能變差。時(shí)滯不可避免地出現(xiàn)在實(shí)際工程中，并使得系統(tǒng)的性能變得更復(fù)雜。因此，在研究系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)時(shí)，不但要考慮系統(tǒng)內(nèi)部和外部存在的各種不確定因素的干擾，還要考慮時(shí)滯的因素?；谏厦娴脑?，論文提出了一類離散時(shí)滯系統(tǒng)，并且，系統(tǒng)的輸入和輸出均含有時(shí)滯；狀態(tài)，輸入和輸出均存在不確定性。提出了加性和乘性兩種形式的非脆弱控制器。論文主要研究了離散時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱 保成本控制問(wèn)題。利用線性矩陣不等式技術(shù)，給出了非脆弱 保成本控制的設(shè)計(jì)方法。所提出的設(shè)計(jì)方法更便于實(shí)際應(yīng)用。

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