周苗苗　葉立軍

1問題的提出

我國的數(shù)學(xué)課程改革已實(shí)施了十余年，數(shù)學(xué)教材作為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源和數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主要依據(jù)，在我國的數(shù)學(xué)課程改革中起著非常重要的作用.近二十年來，日本數(shù)學(xué)課程進(jìn)行了多次頗有成效的改革，發(fā)展并形成了自己的特色和優(yōu)勢.在日本出版教材首先要拿給文部省審查，合格后才能出版.日本教材的共同點(diǎn)是比較強(qiáng)調(diào)掌握基本知識和技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).通過兩國教材的比較，幫助我們客觀的認(rèn)識我國數(shù)學(xué)教材的不足和問題，有助于我國數(shù)學(xué)課程建設(shè)的健康發(fā)展.

“圓”教學(xué)內(nèi)容設(shè)置于日本數(shù)研出版社出版的系列高中數(shù)學(xué)教材《新編數(shù)學(xué)Ⅱ》中（以下簡稱新編數(shù)學(xué)教材）的第三章的第二節(jié)，章節(jié)名稱為“圓”，單元名稱為“圖形與方程”，與之相應(yīng)，我國人民教育出版社出版的系列高中數(shù)學(xué)教材《必修2》（以下簡稱人教A版教材）的第四章也有相似內(nèi)容，單元名稱為“圓與方程”，二者存在一定的可比性.

2兩種教材整體比較——編排方式比較

兩種教材對此部分內(nèi)容的處理方式存在著較大的差異，為了更好地說明這種差異，我們首先將新編數(shù)學(xué)教材第三章第二節(jié)，與我國人教版教材必修2第四章，以及他們的上行與下行單元的整體內(nèi)容進(jìn)行了對比，得出表1.

空間兩點(diǎn)間的距離公式

下行單元第三節(jié)軌跡與領(lǐng)域第一章解三角形*

（注：參考現(xiàn)行浙江省普通高中授課次序，*為必修五的內(nèi)容）

可以發(fā)現(xiàn)新編數(shù)學(xué)教材“圓”與人教A版教材“圓與方程”在教學(xué)內(nèi)容編排方式上存在著以下差異：

首先，值得一提的是，人教A版教材對“圓”這一教學(xué)內(nèi)容安排了一個完整的章節(jié)，即必修2第四章圓與方程.而新編數(shù)學(xué)教材僅僅安排在第三章圖形與方程的一個小節(jié)，即第二小節(jié)圓.

其次，從前后聯(lián)系上來看，新編數(shù)學(xué)教材“圓”的下行章節(jié)“軌跡與領(lǐng)域”涉及了點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的軌跡，是直線與圓上的點(diǎn)的軌跡的一般化.此外，在學(xué)習(xí)完幾何圓與直線之后，引入不等式，進(jìn)行不等式表示范圍的探討，實(shí)現(xiàn)了知識的綜合運(yùn)用；而人教A版教材“圓與方程”的下行單元與本單元無顯著聯(lián)系.

最后，從知識呈現(xiàn)的目的上看，新編數(shù)學(xué)教材安排此部分內(nèi)容的用意，重在用方程式表示圓，用解析幾何的方法考察直線和圓等平面圖形的性質(zhì)和關(guān)系.而人教A版教材的目的是通過圓的方程研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合的思想，掌握用坐標(biāo)解決平面幾何的方法.此外，人教A版教材增加了空間直角坐標(biāo)系的內(nèi)容，使學(xué)生掌握用解析方法研究空間幾何對象的基礎(chǔ).3兩種教材具體內(nèi)容分析

3.1兩種教材知識內(nèi)容范圍和編排順序的比較

我們首先根據(jù)知識點(diǎn)對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了劃分，對兩種教材在本節(jié)的內(nèi)容和編排順序進(jìn)行比較.

我們發(fā)現(xiàn)，新編數(shù)學(xué)教材在“圓”這節(jié)設(shè)計(jì)了四個知識點(diǎn)：（1）圓的方程式.本節(jié)中只給出了圓的方程式，并沒有給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的定義.（2）直線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo).這一知識點(diǎn)在人教A版該章教材中則是以例題的形式一筆帶過.（3）圓與直線的位置關(guān)系.這一知識點(diǎn)在人教A版教材“圓、直線的位置關(guān)系”中有相關(guān)的內(nèi)容.但新編數(shù)學(xué)教材采用表格的形式具體的呈現(xiàn)出判定圓與直線的位置關(guān)系的兩種方法，人教A版教材則是在例題中給出兩種相應(yīng)的解法，讓學(xué)生自己歸納總結(jié).（4）圓的切線方程.這一知識點(diǎn)在人教A版教材中沒有給出.最后還引入了通過圓和直線交點(diǎn)的圓這一拓展知識.

人教A版教材在“圓與方程”這一章節(jié)中涉及了較多的知識，分了三大類展開知識的教學(xué)：（1）圓的方程：在該類知識中，分別給出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的定義以及求法步驟，并進(jìn)一步探討了方程x2+y2+mx+ly+n=0表示圓所需滿足的條件.（2）直線與圓的位置關(guān)系：通過例題的形式得出直線與圓位置關(guān)系，圓與圓位置關(guān)系的判定方法，更進(jìn)一步的引入了直線與圓的方程的應(yīng)用這一知識點(diǎn)，增加了知識的實(shí)際運(yùn)用.（3）空間直角坐標(biāo)系.這一知識點(diǎn)在新編數(shù)學(xué)教材“圓”這一章節(jié)中沒有提及.隨著空間直角坐標(biāo)系的引入，可以將平面解析幾何的基本思想方法推廣到空間去解決空間幾何問題.

新編數(shù)學(xué)教材各類知識點(diǎn)分類較細(xì)，我們還可以發(fā)現(xiàn)，兩種教材雖然在內(nèi)容的范圍和編排上有一定的差異，但也不乏相似之處.整體內(nèi)容編排設(shè)計(jì)的總體思路還是遵循知識點(diǎn)由淺入深，難度梯度逐級上升的安排方式.

32兩種教材教學(xué)內(nèi)容編寫模式的比較

通過比較，我們發(fā)現(xiàn)兩種教材“圓”與“圓與方程”教學(xué)內(nèi)容編寫模式主要存在以下差異：

（1）兩種教材在知識引入模式上存在不同.新編數(shù)學(xué)教材：直接給出定義，或者根據(jù)例題直接給出知識，注重對概念本身的掌握；人教A版教材：通過思考、探究，得到定義以及相應(yīng)的知識，注重對概念的理解.

（2）兩種教材在知識延展模式上存在不同.新編數(shù)學(xué)教材運(yùn)用了統(tǒng)一的呈現(xiàn)模式：定義——例題——練習(xí).而人教A版教材則沒有特定的規(guī)律，注重知識的探索和理解.

（3）兩種教材在知識點(diǎn)聯(lián)系上不同.新編數(shù)學(xué)教材：較少涉及相關(guān)知識，注重強(qiáng)化訓(xùn)練本節(jié)知識；人教A版教材：盡量多地涉及相關(guān)知識，重視點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程之間的聯(lián)系.

（4）兩種教材在例題和習(xí)題呈現(xiàn)順序上不同.新編數(shù)學(xué)教材：每一個例題后都會有相應(yīng)的練習(xí)加以鞏固.人教A版教材：先講解一節(jié)內(nèi)容中的所有例題，再統(tǒng)一給出練習(xí)題.4例題與習(xí)題比較分析

4.1習(xí)題綜合難度的比較

借鑒[1]對習(xí)題綜合難度的分析，本文主要從習(xí)題的類型及數(shù)量、習(xí)題的性質(zhì)、習(xí)題背景及知識點(diǎn)含量四個維度進(jìn)行考慮.為了對兩種教材的習(xí)題難度在上述四個維度進(jìn)行綜合考慮做細(xì)致分析和全面比較，下面有必要對兩種教材的習(xí)題數(shù)量與類型進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

4.2習(xí)題的類型及數(shù)量

通過對兩種教材文本的分析，可以得到：新編數(shù)學(xué)教材習(xí)題類型為：練習(xí)、補(bǔ)充問題、章末問題.人教A版教材習(xí)題類型為：隨堂練習(xí)、單元練習(xí)A、B組、復(fù)習(xí)參考A、B組題.

由于習(xí)題有大題與小題之分，不同數(shù)量的習(xí)題之間，其分量不同.故

（1）含有關(guān)聯(lián)密切的多問的習(xí)題，算作1道題，按照最難的一問，判斷其深度級別.，

（2）包含多道小題的題目，每道小題均算作1道題.

通過對兩種教材隨堂練習(xí)、單元練習(xí)統(tǒng)計(jì)，得出兩種教材習(xí)題的數(shù)量和各自所占的百分比如下：

4.3習(xí)題的性質(zhì)

借鑒[1]，本文對兩種教材習(xí)題性質(zhì)做了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，具體如下表.（習(xí)題性質(zhì)分為3個級別，即模仿、遷移與應(yīng)用、探究，分別賦值1、2、3.）

4.4習(xí)題背景

借鑒[1]，本文對兩種教材習(xí)題背景做了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，詳見下表.（習(xí)題背景分為3個級別，即無背景、生活與常識、科學(xué)背景，分別賦值1、2、3）

4.5知識點(diǎn)含量

借鑒[1]，本文對兩種教材習(xí)題知識點(diǎn)含量做了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，詳見下表.（知識點(diǎn)含量分為3個級別，即1個知識點(diǎn)，2～3個知識點(diǎn)、4個及以上知識點(diǎn)，分別賦值1、2、3.）

4.6習(xí)題綜合難度的計(jì)算

本文中，習(xí)題綜合難度計(jì)算所采用的的模型為：

φ=α1·X+α2·B+α3·H

其中，X表示習(xí)題性質(zhì)，B表示習(xí)題背景，H表示習(xí)題的知識點(diǎn)含量，α1、α2、α3分別表示習(xí)題性質(zhì)、背景、知識點(diǎn)含量的權(quán)重，分別為05，03，02.

根據(jù)上文對習(xí)題難度三個維度的統(tǒng)計(jì)，利用該習(xí)題難度模型，可以計(jì)算出每道習(xí)題的難度，再求和即可得到習(xí)題的綜合難度.根據(jù)以上模型，本文利用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得到了三個維度對習(xí)題綜合難度的影響，見下表：

5結(jié)論與啟示

5.1從教材的編排方式上來看：新編數(shù)學(xué)教材重視知識結(jié)構(gòu)的連續(xù)性和系統(tǒng)性，人教A版教材重視數(shù)學(xué)思想和方法的掌握.

新編數(shù)學(xué)教材在圓這一節(jié)內(nèi)容后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)軌跡與領(lǐng)域，這兩節(jié)知識具有一定的連續(xù)性，并通過下一節(jié)“軌跡與領(lǐng)域”中講解軌跡、區(qū)域等內(nèi)容的聯(lián)系，加深對圓及相關(guān)知識的理解，形成較為系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).而人教A版教材在圓與方程的學(xué)習(xí)中，引入空間直角坐標(biāo)系，強(qiáng)調(diào)用坐標(biāo)法解決平面以及空間幾何問題的思想和方法.此外，在圓與方程這章內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，直接學(xué)習(xí)解三角形.可見人教A版教材中知識點(diǎn)的連貫性不強(qiáng).

5.2從教材的內(nèi)容上來看：新編數(shù)學(xué)教材的知識點(diǎn)少且簡單，體現(xiàn)了較強(qiáng)的基礎(chǔ)性；而人教A版教材更加注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透和數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景和應(yīng)用.

新編數(shù)學(xué)教材關(guān)于“圓”這一知識點(diǎn)只是“圖形與方程”這一章節(jié)中的一節(jié)內(nèi)容.而人教A版教材安排了一章的內(nèi)容.人教A版教材所講授的知識點(diǎn)不僅多于新編數(shù)學(xué)教材，而且在知識點(diǎn)的難度上也明顯高于新編數(shù)學(xué)教材.人教A版教材注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透.比如：對于圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，新編數(shù)學(xué)教材僅限于滿足圓的方程一種形式的講解.而人教A版教材則引入分類思想，對圓的一般方程進(jìn)行研究：（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時，表示以（-D2，-E2）為圓心，以12D2+E2-4F為半徑的圓；（2）當(dāng)D2+E2-4F=0，表示一個點(diǎn)（-D2，-E2）；（3）當(dāng)D2+E2-4F<0，方程沒有實(shí)數(shù)解，不表示任何圖形.此外，新編數(shù)學(xué)教材中專門設(shè)置了“圓的切線方程”這一知識點(diǎn)，雖然人教A版教材沒有設(shè)置專門的內(nèi)容講解，但由于圓的切線方程這一概念在初中就已經(jīng)提及，人教A版教材還是要求掌握用解析幾何的方法求解圓的切線方程的.由此可以看出，人教A版教材注重對數(shù)學(xué)思想方法的掌握.在教學(xué)中注意滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)結(jié)果與幾何意義相互轉(zhuǎn)化的能力，讓學(xué)生掌握借助坐標(biāo)系研究幾何問題的代數(shù)方法，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想.人教A版教材在“圓的方程”這一小節(jié)內(nèi)容結(jié)束后，設(shè)置了《閱讀與思考》這一內(nèi)容，并在“圓與方程”這章內(nèi)容中，專門設(shè)置了“直線與圓的方程的應(yīng)用”這一小節(jié)，可見人教A版教材對數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景和應(yīng)用的重視.

5.3從知識呈現(xiàn)的方式上看，新編數(shù)學(xué)教材注重對知識的應(yīng)用，人教A版教材注重知識發(fā)生發(fā)展的過程.

新編數(shù)學(xué)教材在各節(jié)內(nèi)容的一開始便采用符合學(xué)生心理水平的圖形和表格等直觀說明方式將各種概念定義直接給出，在定義中穿插典型事例加以具體說明，并在每一知識點(diǎn)后會設(shè)置相應(yīng)的例題和習(xí)題加以鞏固，增強(qiáng)知識的應(yīng)用.而人教A版教材普遍采用探究性學(xué)習(xí)的方法，在提出某一概念和定義前會提出具體的問題讓學(xué)生思考、回答，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比等數(shù)學(xué)思想學(xué)習(xí)新的概念和知識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.通過例題的形式，逐步啟發(fā)、幫助學(xué)生主動探索問題的求解過程，展示知識形成的過程，讓學(xué)生自己歸納方法，從而促進(jìn)學(xué)生主動去建構(gòu)和獲取新知識.有助于學(xué)生深化對知識的理解，領(lǐng)悟思想方法，強(qiáng)化情感體驗(yàn).但是由于許多結(jié)論沒有直接給出，是由學(xué)生在教師的引導(dǎo)下討論，找到正確答案，自行歸納整理得出的，可能會造成學(xué)生對這些知識的忽視，甚至遺漏.因此，人教A版教材在發(fā)揚(yáng)、繼承其優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，可適當(dāng)借鑒新編教材的簡潔明了.人教A版教材注重信息技術(shù)的引入，因此在教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)工具，通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成猜想，并對猜想進(jìn)行證明，加深對問題的理解，幫助學(xué)生簡潔、直觀的研究幾何圖形以及位置關(guān)系.

5.4從習(xí)題分析上看，新編數(shù)學(xué)教材習(xí)題量小，難度低，注重本節(jié)基礎(chǔ)知識的掌握，體現(xiàn)“對知識點(diǎn)深度要求較低的”特點(diǎn).

兩種教材習(xí)題的分類均具有層次性，符合循序漸進(jìn)的認(rèn)知特點(diǎn)且有利于學(xué)生分不同程度掌握內(nèi)容.

新編數(shù)學(xué)教材：（1）總題量少，各例、習(xí)題都是對所學(xué)知識點(diǎn)的直接鞏固，加深對基本概念和基本定理的理解.（2）習(xí)題和例題極為相似，注重對學(xué)生自信心的培養(yǎng).（3）與生活實(shí)際相聯(lián)系的習(xí)題數(shù)較少，數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用程度較低.（4）拓展類習(xí)題數(shù)較少，只注重本節(jié)知識的鞏固，但不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展.

人教A版教材：（1）總習(xí)題量相對較多，提供學(xué)生反復(fù)鞏固知識點(diǎn)的素材.（2）例題是對上述所講知識點(diǎn)的進(jìn)一步擴(kuò)充與延伸，甚至有些知識點(diǎn)是通過習(xí)題的方式呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過例題自行歸納.（3）習(xí)題類型多樣化，有利于從多方面考查學(xué)生的能力.（4）相當(dāng)一部分的習(xí)題會涉及到其他知識點(diǎn)，有助于加強(qiáng)各數(shù)學(xué)學(xué)科知識點(diǎn)的聯(lián)系，但不利于知識系統(tǒng)性的構(gòu)建.

參考文獻(xiàn)

[1]劉少平.中美高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容的比較研究[D].長春：東北師范大學(xué)，2013.3.