劉 軍 段 韜

（西安理工大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710048）

由于永磁同步風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)具有機(jī)械損耗小、運(yùn)行效率高、安全可靠、便于維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)，近年來，得到了廣泛的運(yùn)用。

永磁同步風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的最大風(fēng)能跟蹤通常采用PI 控制器，雖然PI 控制對系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的變化和外部干擾具有一定的適應(yīng)能力，但是由于控制器參數(shù)是固定值，所以當(dāng)外部干擾較大時(shí)，系統(tǒng)的性能會受到較大影響，甚至不穩(wěn)定[1]。

在現(xiàn)代控制理論與應(yīng)用中，線性系統(tǒng)占據(jù)非常重要的位置，其基本理論已發(fā)展得相當(dāng)完善。但是實(shí)際的系統(tǒng)絕大多數(shù)都是非線性的，對外部擾動和參數(shù)變化也比較敏感，控制效果往往不理想。

近幾十年來，以微分幾何和微分對策為基礎(chǔ)的非線性控制理論快速發(fā)展，其中非線性系統(tǒng)的零動態(tài)線性化設(shè)計(jì)方法，因其構(gòu)思比較巧妙，往往能得到較好的設(shè)計(jì)效果[2]。

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制具有對干擾的不變性和降階特性等特點(diǎn)，越來越受到人們的重視。在常規(guī)的反饋控制器上加上滑模變結(jié)構(gòu)控制，可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

因此，本文把兩種方法相結(jié)合，運(yùn)用于永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)最大風(fēng)能跟蹤控制上，既可以減少系統(tǒng)對精確數(shù)學(xué)模型的依賴性，同時(shí)線性化也有助于建立線性滑模函數(shù)。

1 風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)模型

1.1 風(fēng)速模型

風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中，組合風(fēng)速可以較好的反映自然風(fēng)速的特性，尤其是在風(fēng)速突變時(shí)，能夠全面地檢驗(yàn)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的性能，乃至整個(gè)系統(tǒng)的抗干擾性[3]。

組合風(fēng)速中，可將自然風(fēng)速v分為基本風(fēng)速vb、陣風(fēng)vg、漸變風(fēng)vr和噪聲風(fēng)vn。其數(shù)學(xué)模型為

1.2 風(fēng)力機(jī)模型

風(fēng)力機(jī)是用來捕獲空氣動能并轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，其工作性能決定了整個(gè)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的有效輸出功率且直接影響到機(jī)組的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動方程為

式中，J為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和風(fēng)力機(jī)的總轉(zhuǎn)動慣性系數(shù)；Tωt為發(fā)電機(jī)輸入的機(jī)械轉(zhuǎn)矩；Tg為發(fā)電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩；ωg為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

風(fēng)力機(jī)輸入的機(jī)械轉(zhuǎn)矩為

式中，ρ為空氣密度；R為風(fēng)輪半徑；v為風(fēng)速；Cp為風(fēng)能利用系數(shù)；λ為葉尖速比；Cq為風(fēng)機(jī)非線性轉(zhuǎn)矩系數(shù)；β為槳距角。

文獻(xiàn)[4-5]指出風(fēng)機(jī)的非線性轉(zhuǎn)矩系數(shù)Cq可以用葉尖速比λ的六次多項(xiàng)式擬合來表達(dá)。Tωt的六階表達(dá)式比較復(fù)雜，計(jì)算量大，為了計(jì)算方便，忽略啟動過程，可用一個(gè)二階多項(xiàng)式近似代替。

二階方程已經(jīng)很好的描述了最佳工作狀態(tài)附近λ的特征[6]。

發(fā)電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩為

式中，p為極對數(shù)；Φd、Φq為d、q 軸的磁通；Ld和Lq為定子d 軸和q 軸電感，同時(shí)Ld=Lq=L；id和iq為定子d 軸和q 軸電流；Φm為永磁同步電機(jī)磁通。

1.3 風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)模型

在dq 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，永磁同步發(fā)電機(jī)的模型如下

式中，Ro永磁同步電機(jī)定子電阻。

設(shè)永磁同步風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 永磁直驅(qū)風(fēng)電系統(tǒng)等效模型

該控制系統(tǒng)的簡化結(jié)構(gòu)基于以下考慮[7-8]：

1）本文研究的重點(diǎn)在于最大風(fēng)能跟蹤控制，并且假設(shè)其他部分都正常工作。

2）風(fēng)電系統(tǒng)的電氣動態(tài)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比機(jī)械動態(tài)快，根據(jù)奇異攝動系統(tǒng)理論[9]，各子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度相差較大時(shí)，研究的“慢”動態(tài)子系統(tǒng)時(shí)，可以忽略“快”子系統(tǒng)的動態(tài)影響，認(rèn)為其響應(yīng)瞬間完成，其值始終處于“準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)”。

3）風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的功率經(jīng)過變流后，網(wǎng)側(cè)相當(dāng)于負(fù)載，故簡化為等效阻抗Rs和Ls表示。

根據(jù)式（2）～式（6），直驅(qū)永磁風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的整體動態(tài)特性數(shù)學(xué)模型為

式中，Rs和Ls為等效阻抗，Rs為可變電阻，Ls為定電感。

2 系統(tǒng)的控制策略

2.1 PI 控制

風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的機(jī)側(cè)控制主要有轉(zhuǎn)速環(huán)PI 控制和功率環(huán)PI 控制，其具有設(shè)計(jì)簡單和適應(yīng)性好等特點(diǎn)，但永磁同步電機(jī)的強(qiáng)非線性使PI 參數(shù)難以整定，給實(shí)際運(yùn)用帶來了一定困難[10]。風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)機(jī)側(cè)轉(zhuǎn)速和功率PI 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2和圖3所示。 圖中，G(s)發(fā)電機(jī)和變流器動態(tài)簡化為的傳遞函數(shù)。

圖2 轉(zhuǎn)速PI 控制框圖

圖3 功率PI 控制框圖

2.2 中心流形理論

如果S是一個(gè)光滑的子流形，且局部不變，S在x=0 的切空間恰為由A 的零實(shí)部特征值所對應(yīng)的特征向量所張成，則稱流形S是系統(tǒng)所在的中心流形。對中心流形定理介紹如下[11]：

考慮非線性系統(tǒng)（8）

式中，f、g為充分光滑函數(shù)。

f(0,0)=0,g(0,0)=0,Dx(0,0)=0,Dfx(0,0)=0,Dfy(0,0)=0,Dgx(0,0)=0,Dgx(0,0)=0。A，B 分別為n×n,m×m矩陣，其的特征根分別有零實(shí)部和負(fù)實(shí)部，(0，0)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。

定理1：如果f(x,y)和g(x,y)屬于Ck（k次可導(dǎo)函數(shù)，k≥2），那么存在一個(gè)中心流形y=h(x)使之屬于Ck-1。將中心流形y=h(x)帶入式（8）中得到n維約化系統(tǒng)：

定理2：如果約化系統(tǒng)式（9）的平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定（不穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定）的，那么原系統(tǒng)式（8）的平衡點(diǎn)也是局部穩(wěn)定（不穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定）的。將式（8）代入式（9），得到h(x)，應(yīng)滿足方程

同時(shí)，h(0)=0,Dh(0)=0。

實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，h(x)不能由式（10）精確求解，但是通過定理3 能得到h(x)一定精度的近似解。

定理3：假設(shè)有C1函數(shù)φ：IRn→IRm，它滿足φ(0)=0，Dφ(0)=0，且有某個(gè)常數(shù)p＞1，使得N(φ(x))=O(|x|p)在x→0 時(shí)，h(x)=φ(x)+O(|x|p)。

2.3 基于中心流形理論的零動態(tài)原理及其設(shè)計(jì)[12]

在非線性系統(tǒng)零點(diǎn)平衡狀態(tài)問題上，中心流形理論可以為非線性系統(tǒng)在臨界情況下進(jìn)行穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。而實(shí)際工程中，傳統(tǒng)的零動態(tài)設(shè)計(jì)方法難以使系統(tǒng)的輸出量在任何時(shí)刻都保持在零值。所以為了克服傳統(tǒng)零動態(tài)設(shè)計(jì)方法的缺點(diǎn)，采用中心流形理論并結(jié)合狀態(tài)反饋線性化方法，設(shè)計(jì)新的零動態(tài)。

文獻(xiàn)[13]在推導(dǎo)出永磁同步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用中心流形定理，得到了其簡化的中心流形方程，并在此基礎(chǔ)上討論了其穩(wěn)定性及其分支情形。

考慮系統(tǒng)（8），輸入函數(shù)

y=h(x)相對于系統(tǒng)輸入u的關(guān)系度r小于系統(tǒng)階數(shù)n。通過坐標(biāo)變換z=φ(x)和反饋v=a(ε,η)+b(ε,η)的作用，可以把系統(tǒng)(11)變換為

式中

同時(shí)，若零動態(tài)=q(0,η)在η=0 處漸進(jìn)穩(wěn)定，則在線性控制律u*中，線性系統(tǒng)=Aε+Bv可以在(ε，η)=(0，0)處鎮(zhèn)定系統(tǒng)（11）。

選取狀態(tài)變量x=[x1,x2,x3]T=[id,iq,ω]T，控制輸入為u=Rs，輸出為轉(zhuǎn)速y=ωg，對式（4）化簡

其中

對函數(shù)h(x)進(jìn)行李導(dǎo)數(shù)遞推運(yùn)算，則有

系統(tǒng)的相關(guān)度為2＜3，只能實(shí)現(xiàn)部分線性化，故采用零動態(tài)設(shè)計(jì)原理。

先進(jìn)行Z坐標(biāo)變換z=Φ(x)

式中，冪次n可以取任意值。

采用基于中心流形理論的零動態(tài)計(jì)算方法，原非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程式（13）經(jīng)過變換得到線性系統(tǒng)狀態(tài)方程式（16）：

式中，ε1=z1,ε2=z2,η=z3。若記ε=[ε1,ε2]T，則上述線性系統(tǒng)可進(jìn)一步寫為

式中，非線性系統(tǒng)的輸入變量u與線性系統(tǒng)的輸入變量uv具有以下關(guān)系

其中

2.4 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

針對系統(tǒng)

其中x滿足=xi+1,i= 1,… ,n-1?；Ｃ嬖O(shè)計(jì)為

式中，x為狀態(tài)向量，C=[c1…cn-11]T。

參數(shù)ci應(yīng)該滿足多項(xiàng)式pn-1+cn-1pn-2+…+c2p+c1，其中p為Laplace算子[14]。

風(fēng)力發(fā)電機(jī)一般以發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速ωg作為控制目標(biāo)，風(fēng)電系統(tǒng)根據(jù)風(fēng)速和輸出功率等條件可以得到發(fā)電機(jī)參考轉(zhuǎn)速ωref，設(shè)為轉(zhuǎn)速誤差，則有

可取線性切換函數(shù)為

則可以得到滑動模型運(yùn)動方程

因此，只要保證ki＞0，i=0,1，即可保證滑動模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定，調(diào)節(jié)k的取值，可調(diào)節(jié)滑動模態(tài)的動態(tài)品質(zhì)。

取Lyapunov 函數(shù)為

則

采用新型指數(shù)趨近律，有

可得到線性系統(tǒng)的輸入變量uv：

所以由式（18）可得到

上述分析可作出最大風(fēng)能跟蹤的控制框圖4。

圖4 風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)控制系統(tǒng)框圖

3 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證提出算法的有效性，本文基于Matlab/Simulink 建立了仿真模型，主要參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

3.1 階躍風(fēng)下的仿真圖

階躍風(fēng)下，初始時(shí)，風(fēng)速v=6m/s在30s后階躍到v=9m/s，在65s后下降到v=8m/s。

圖5為最大風(fēng)能利用系數(shù)Cp在兩種控制方法的對比仿真圖。其中，虛線為PI控制，實(shí)線為基于中心流形理論零動態(tài)設(shè)計(jì)的滑?？刂?。

圖6為基于兩種控制方法下實(shí)際轉(zhuǎn)速和參考轉(zhuǎn)速的對比仿真圖。

圖5 最大風(fēng)能利用系數(shù)Cp 在兩種控制方法的 對比仿真圖

圖6 兩種控制方法在階躍風(fēng)下的轉(zhuǎn)速對比

從圖中可以看出，在PI控制中，其轉(zhuǎn)速響應(yīng)時(shí)間明顯滯后于基于中心流形理論零動態(tài)設(shè)計(jì)的滑?？刂频捻憫?yīng)時(shí)間。

3.2 組合風(fēng)下的仿真圖

在組合風(fēng)速中，設(shè)基本風(fēng)速vb=6m/s 陣風(fēng)的最大值vgmax=2m/s、漸變風(fēng)vrmax=2m/s 和和噪聲風(fēng)的變化范圍vn=±2m/s。其風(fēng)速曲線如圖7所示。

圖7 組合風(fēng)

在組合風(fēng)速下，兩種控制方法的轉(zhuǎn)速曲線如圖8所示。

圖8 兩種控制方法在組合風(fēng)下的轉(zhuǎn)速對比

圖中可以看出，在組合風(fēng)速下，與PI 控制相比較，基于中心流形理論零動態(tài)設(shè)計(jì)的滑?？刂葡碌碾姍C(jī)轉(zhuǎn)速震蕩較弱，且波動較小，恢復(fù)速度快，充分說明了該新型非線性控制方法具有良好的動態(tài)性能和魯棒性。

3.3 轉(zhuǎn)速與輸入阻抗關(guān)系

在本文中，網(wǎng)側(cè)相當(dāng)于負(fù)載，簡化為等效可變電阻Rs和定電感Ls表示。Rs的不同也會影響著轉(zhuǎn)速的變化。

圖9是基于中心流形理論零動態(tài)設(shè)計(jì)的滑?？刂葡?，轉(zhuǎn)速與輸入電阻Rs關(guān)系。

圖9 轉(zhuǎn)速與輸入阻抗關(guān)系

從圖中可以看出，由于風(fēng)機(jī)重負(fù)載的阻礙作用，控制輸入Rs越大時(shí)，轉(zhuǎn)速的波動越小，抗干擾能力越強(qiáng)。

綜上，通過仿真可以驗(yàn)證本文針對直驅(qū)永磁同步電機(jī)，提出的基于中心流形理論的零動態(tài)設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制方案是正確可行的，該控制方案不僅具有響應(yīng)速度快，超調(diào)小等優(yōu)點(diǎn)，而且具有較強(qiáng)的抗擾性能。

4 結(jié)論

本文針對實(shí)現(xiàn)最大風(fēng)能跟蹤的問題，提出基于中心流形理論的零動態(tài)設(shè)計(jì)與滑模變結(jié)構(gòu)相結(jié)合的控制策略。階躍風(fēng)和組合風(fēng)下，與PI 控制相比，該控制器明顯提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且階躍響應(yīng)迅速，超調(diào)較小，抗擾動性能好，具有較強(qiáng)的魯棒性。

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