蔡忠義，陳云翔，張諍敏，項華春

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，陜西西安710051）

基于比例失效率退化模型的可靠性評估方法

蔡忠義，陳云翔，張諍敏，項華春

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，陜西西安710051）

針對不假定壽命分布類型的長壽命可靠性評估問題，提出一種不同于傳統(tǒng)基于退化軌跡和退化量分布的退化數(shù)據(jù)可靠性評估方法。將時間視為類加速因子并作為協(xié)變量，通過引入比例風(fēng)險模型來描述產(chǎn)品壽命與退化量失效率之間的關(guān)系，建立比例失效率退化模型；通過考慮分布簇之間的差異度來確定退化量分布類型，求出退化量基準(zhǔn)失效函數(shù)及比例失效率系數(shù)；采用線性回歸模型擬合出類加速模型參數(shù)估計，確定已知檢測時刻下的退化量失效率函數(shù)，并外推產(chǎn)品在退化失效閾值下的壽命可靠度函數(shù)；結(jié)合實例分析，驗證方法的實用性和有效性。

退化數(shù)據(jù)；可靠性評估；比例風(fēng)險模型；分布差異度；基準(zhǔn)失效率

0 引 言

根據(jù)產(chǎn)品喪失功能的形式，失效可分為突發(fā)失效和退化失效兩類［1－2］。其中，突發(fā)失效是指產(chǎn)品在某時刻功能突然喪失的現(xiàn)象，而退化失效是指產(chǎn)品在使用中功能逐漸下降，直至無法滿足規(guī)定要求。對高可靠性產(chǎn)品而言，由于難以獲取足夠多的突發(fā)失效數(shù)據(jù)，使得傳統(tǒng)基于突發(fā)失效數(shù)據(jù)的可靠性評估方法不再適用，而基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性評估方法卻能很好地解決此類問題。

目前，傳統(tǒng)的退化數(shù)據(jù)可靠性評估方法主要有兩類［3－4］：一是基于退化軌跡曲線［5－6］。這類方法是在已知產(chǎn)品的退化失效物理模型的基礎(chǔ)上，通過擬合性能退化數(shù)據(jù)隨時間變化的軌跡曲線來估計可靠度，但對于退化軌跡復(fù)雜或不明的產(chǎn)品，其失效過程難以用特定的軌跡模型進(jìn)行擬合，導(dǎo)致其評估誤差較大。二是基于退化量分布［7－8］。這類方法是假設(shè)退化量服從某一已知的分布，通過擬合分布參數(shù)隨時間變化的曲線來估計可靠度，由于對退化量分布的假定過于主觀且在工程實際中很難確定退化量服從的具體分布模型，使其適用范圍受到限制。

比例風(fēng)險模型最初由學(xué)者Cox D R提出并應(yīng)用于壽命數(shù)據(jù)分析，其優(yōu)勢是估計不需要依賴于所選的壽命分布［9］。學(xué)者Eghbali擴(kuò)展了Cox的比例風(fēng)險模型，提出一種融合加速退化因子的比例風(fēng)險退化模型并用于處理加速退化數(shù)據(jù)［10－11］。基于加速退化數(shù)據(jù)的比例風(fēng)險退化模型是一種非參數(shù)估計模型，以應(yīng)力隨時間的變化為協(xié)變量，建立比例風(fēng)險加速退化模型，適用于分布規(guī)律未知的退化失效問題［12－13］。文獻(xiàn)［14－15］將比例風(fēng)險模型推廣應(yīng)用于非加速條件下性能退化數(shù)據(jù)的可靠性評估。其中，文獻(xiàn)［14］以退化量為協(xié)變量，假定壽命基準(zhǔn)失效率為λ0（t）＝abtb－1，實際是默認(rèn)產(chǎn)品壽命服從威布爾分布，使得方法缺乏一般適用性。

基于上述考慮，本文針對性能退化參數(shù)僅有一個的一元退化失效問題，提出了一種不同于傳統(tǒng)方法的非參數(shù)形式下退化數(shù)據(jù)可靠性評估方法，即不假定產(chǎn)品壽命分布類型，通過考慮分布簇之間的差異度來確定退化量分布類型，將不同檢測時刻視為類加速因子并作為協(xié)變量，建立比例失效率退化模型。

1 預(yù)備知識

1.1 失效率

已知壽命T的可靠度函數(shù)為R（t），其密度函數(shù)為f（t），則壽命T的失效率函數(shù)（或稱危險函數(shù)）表示為

則可靠度與失效率之間的關(guān)系式為

1.2 比例風(fēng)險模型

已知協(xié)變量x下壽命T的可靠度函數(shù)為RT（t／x），其密度函數(shù)為fT（t／x），則給定x下的壽命T的失效率函數(shù)表示為

上式兩邊同時對t積分：

若失效率函數(shù)具有如下性質(zhì)：當(dāng)x1≠x2時，λ（t／x1）／λ（t／x2）與t無關(guān)，則認(rèn)為壽命T與協(xié)變量x的關(guān)系適用于比例危險模型（proportional hazard model），可表示為

式中，λ0（t）可以理解為g（x）＝1下的基準(zhǔn)失效率函數(shù)。當(dāng)g（x）用參數(shù)形式表示時，即g（x）＝exp（xβ），則式（2）也稱為COX模型。

2 比例失效率退化建模

2.1 模型假設(shè)

（1）產(chǎn)品失效只考慮性能退化失效且性能退化關(guān)鍵參數(shù)僅有一個，不考慮突發(fā)失效，表征產(chǎn)品性能降低的退化量Y（t）是時間t的單調(diào)函數(shù)。本文假定Y（t）是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)退化量大于失效閾值yc時，判定產(chǎn)品失效。

（2）產(chǎn)品性能退化試驗為平衡試驗，即選擇相同的檢測時刻ti（i＝1，2，…，n）對m個試驗產(chǎn)品的退化量進(jìn)行檢測，共得到n×m個退化數(shù)據(jù)yij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）。

（3）檢測時刻ti的性能退化數(shù)據(jù)yi服從于某未知分布，即yi～F（yi，θi）且yiidij～F（yi，θi）（θi為未知參數(shù)）。

2.2 退化量分布與壽命分布之間的關(guān)系

已知產(chǎn)品的性能退化量為Y（t）＝h（t，θ）（θ為未知參數(shù)），則產(chǎn)品達(dá)到退化失效閾值yc的壽命T（yc）＝h－1（yc，θ）。記壽命變量T（yc）的分布函數(shù)為FT（t／yc），性能退化量Y（t）在t時刻的分布函數(shù)為FY（y／t）且Y（t）是t的增函數(shù)，可知

令yc為檢測時刻ti的性能退化值yi（i＝1，2，…，n），則RT（t／yi）＝FY（yi／t）。

2.3 考慮分布差異度的退化量分布確定

對于產(chǎn)品退化量分布模型確定，一般是根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，確定其可能服從的某一分布，如正態(tài)分布、威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽瑪分布等。為了充分利用產(chǎn)品性能退化信息，提高退化量分布模型確定的科學(xué)性，采用Kullback-Leibler差異來對各可能分布模型之間的差異程度進(jìn)行度量［8］。

設(shè)產(chǎn)品各種可能分布函數(shù)組成分布簇Gθ（θ＝（θ1，…，θk）∈Θ）（k為所有可能的分布模型數(shù)），確定產(chǎn)品退化量分布函數(shù)就是從分布簇Gθ中選擇與其實際退化量分布函數(shù)差異最小的分布函數(shù)。檢測時刻ti擬選擇的分布函數(shù)與該時刻的實際退化量分布函數(shù)F（yi，θi）之間的差異程度Δi［Gθ，F(xiàn)（yi，θi）］可表示為

式中，yij為檢測時刻ti上第j個產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)；f（yi，＾θi）為檢測時刻ti上分布模型G＾θ的概率密度函數(shù)，＾θi為用檢測時刻ti上的退化數(shù)據(jù)所得的分布參數(shù)估計。

（1）退化數(shù)據(jù)yi服從正態(tài)分布時，其概率密度為

（2）退化數(shù)據(jù)yi服從對數(shù)正態(tài)分布時，其概率密度為

（3）退化數(shù)據(jù)yi服從威布爾分布（Weibull）時，其概率密度函數(shù)為

（4）退化數(shù)據(jù)yi服從伽瑪分布（Gamma）時，其概率密度函數(shù)為

對上述4種分布參數(shù)進(jìn)行估計時，可調(diào)用Matlab中的極大似然估計（maximum likelihood estimation，MLE）方法進(jìn)行求解。計算出檢測時刻ti上各分布模型的差異程度后，選取差異程度最小所對應(yīng)的分布作為時刻ti的退化量模型，從而求解出各檢測時刻ti上退化量失效率值。

產(chǎn)品在工作一段時間后出現(xiàn)性能退化現(xiàn)象，通常是由多種物理或化學(xué)失效模式共同影響的結(jié)果，而且退化影響機(jī)理會隨著時間的推移而發(fā)生變化。因此，不能僅用一種特定的壽命分布（如正態(tài)分布）類型來一概表示產(chǎn)品整個退化失效過程，而應(yīng)該根據(jù)不同時刻收集到的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合檢驗，選擇分布差異度最小的分布類型來描述該時刻的產(chǎn)品退化失效趨勢，這樣更符合工程實踐和經(jīng)驗認(rèn)識。

2.4 比例失效率退化模型

現(xiàn)以檢測時刻為協(xié)變量，將產(chǎn)品各檢測時刻上性能退化數(shù)據(jù)引入比例危險模型，并推廣為比例危險退化模型（proportional hazard degradation model），從而來描述產(chǎn)品壽命與性能退化失效率之間的關(guān)系。

設(shè)各檢測時刻ti（i＝1，2，…，n）構(gòu)成給定的單因素協(xié)變量t，在協(xié)變量t下產(chǎn)品性能退化量的可靠度函數(shù)為R（y／t），密度函數(shù)為f（y／t），則產(chǎn)品退化量失效率函數(shù)可表示為

式中，λ0（y0）為選定的基準(zhǔn)時刻t0上退化失效率函數(shù)；g（t）為與協(xié)變量t有關(guān)的函數(shù)。

由于不同檢測時刻上收集到的性能退化數(shù)據(jù)類似于突發(fā)失效下的加速壽命數(shù)據(jù)，可將時間t類比為一種加速因子，從而建立比例失效率退化模型，即

式中，p（t）為類加速模型。

令為時刻t上退化失效率函數(shù)），稱k為時刻t相對于基準(zhǔn)時刻t0的退化失效比例系數(shù)，則p（t）可用時間與退化失效比例系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系表示如下：

經(jīng)退化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)分析，［t，ln k］之間采用線性回歸模型較為適用，則式（7）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

3 壽命可靠度

3.1 壽命可靠度函數(shù)

由式（1）和式（6）可得基于比例失效率退化模型的產(chǎn)品退化量可靠度函數(shù)為

說明：上式成立的必要條件是基準(zhǔn)失效率函數(shù)λ0（u）是可積函數(shù)。若λ0（u）不可積，則可以依據(jù)所計算出各時刻上的退化量失效率離散值，繪制出產(chǎn)品退化失效率曲線，采用可積的回歸模型（如二項式）進(jìn)行擬合，得到的函數(shù)表達(dá)式~λ0（u）可近似作為基準(zhǔn)失效率函數(shù)［15］。

令y為退化失效閾值yc，由式（3）可得產(chǎn)品退化失效的壽命可靠度函數(shù)為

3.2 參數(shù)估計

（1）選定基準(zhǔn)時刻t0

根據(jù)各檢測時刻所確定的分布模型情況，選定同一類分布較為集中的時刻為基準(zhǔn)時刻t0，并以該時刻上的退化量失效率函數(shù)作為基準(zhǔn)失效率函數(shù)λ0（y0）。

（2）類加速模型參數(shù)β1，β2

確定各檢測時刻產(chǎn)品退化量分布模型后，計算出各檢測時刻ti上第j個產(chǎn)品的退化失效率λ（yij／ti），則檢測時刻ti相對于基準(zhǔn)時刻t0的退化失效比例系數(shù)ki估計為

由式（8）知，參數(shù)β1，β2估計可由［ti，ln＾ki］擬合求出。

4 實例分析

引用文獻(xiàn)［5］的某型激光器退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，每隔500h抽取退化數(shù)據(jù)構(gòu)成樣本數(shù)據(jù)（見表1），并與文獻(xiàn)［6，8，15］采用的方法所得到的結(jié)果進(jìn)行比較分析。當(dāng)產(chǎn)品電流增加值達(dá)到額定值的10%時就認(rèn)為產(chǎn)品失效，繪制各樣本的性能退化軌跡（見圖1），具體評估過程如下。

表1 某型激光器性能退化樣本數(shù)據(jù)

圖1 產(chǎn)品性能退化軌跡

（1）確定各檢測時刻的退化量分布模型。假設(shè)可能的退化分布簇包括：正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布和伽瑪分布。根據(jù)各檢測時刻上的產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)，運用Matlab軟件計算各時刻可能分布模型之間的差異度（見表2），則500h時刻的退化量分布模型是伽瑪分布，1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 000h時刻的退化量分布模型是威布爾分布，3 500h、4 000h時刻的退化量分布模型是對數(shù)正態(tài)分布。

表2 分布簇之間的差異度

（2）根據(jù)各檢測時刻上所確定的分布模型，計算出各時刻的樣本退化量失效率的離散值，繪制退化失效率的軌跡曲線（見圖2）。

由圖2可見，各檢測時刻上退化失效率曲線在退化數(shù)值上呈現(xiàn)出一定比例關(guān)系，且隨著時刻ti的增大，退化失效率曲線的比例（類似斜率）逐漸減小，適用于比例失效率退化模型。

（3）確定基準(zhǔn)失效率及比例系數(shù)

由于1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 000h時刻上的退化量分布模型都是威布爾分布，同一類分布較為集中，可選取t0＝3 000h為基準(zhǔn)時刻，將其退化失效率函數(shù)作為基準(zhǔn)失效率函數(shù)λ0（y）。由MLE方法可得其參數(shù)點估計且此時該函數(shù)可積，則λ0（y）可表示為

由式（11）計算出，ti＝500h、1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 500h、4 000h相對于基準(zhǔn)時刻t0＝3 000h的比例系數(shù)分別為＾ki＝5.162，2.825，2.053，1.465，1.181，0.809 2，0.726 6。

（4）確定產(chǎn)品壽命可靠度

（5）不同方法對比分析

根據(jù)產(chǎn)品的壽命可靠度函數(shù)以及文獻(xiàn)［6，8，15］中的方法所得到的壽命可靠性函數(shù)，繪制各方法下的產(chǎn)品壽命可靠度曲線（見圖3）。

圖3 不同方法下產(chǎn)品可靠度曲線

由圖3可見，本文方法得出的產(chǎn)品可靠度曲線在與文獻(xiàn)［6，15］所得的可靠度曲線在（5 180h、0.187 7）處交匯。在交匯點之前，本文方法所得的可靠度曲線略低于其他曲線，評估結(jié)果略顯保守；在交匯點之后，本文方法所得的可靠度曲線與文獻(xiàn)［15］所得的可靠度曲線基本吻合，都處于文獻(xiàn)［6，8］所得曲線之間。對于高可靠性產(chǎn)品而言，工程技術(shù)更關(guān)注產(chǎn)品在高可靠度下的可靠壽命，本文方法得出略顯保守的可靠度評估結(jié)果符合工程上對產(chǎn)品壽命的要求。因此，在處理非加速條件下的性能退化數(shù)據(jù)時，本文方法具有所需樣本數(shù)據(jù)少，模型假設(shè)條件少，評估結(jié)果客觀真實等優(yōu)點，具有良好的適應(yīng)能力和工程應(yīng)用價值。

5 結(jié) 論

從退化失效角度進(jìn)行退化數(shù)據(jù)可靠性建模，可以有效解決高可靠長壽命產(chǎn)品可靠性評估問題。比例風(fēng)險模型是一種基于基準(zhǔn)失效率函數(shù)的建模方法，通過非參數(shù)統(tǒng)計法獲取產(chǎn)品的可靠度。本文引入比例風(fēng)險模型，建立了不同于傳統(tǒng)基于退化軌跡和基于退化量分布的退化數(shù)據(jù)可靠性評估模型，即不假定產(chǎn)品壽命分布類型，將時間視為類加速因子并作為協(xié)變量，建立比例失效率退化模型，通過考慮分布簇之間的差異度來確定退化量分布類型，計算出各時刻退化量失效率，求出基準(zhǔn)退化量失效函數(shù)，實現(xiàn)了對退化失效數(shù)據(jù)的可靠性評估。結(jié)合實例表明，本方法對求解產(chǎn)品退化量失效率呈比例變化的退化失效問題是科學(xué)有效的，具有較好的應(yīng)用價值。

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Method on reliability assessment based on proportional failure rate degradation model

CAI Zhong－yi，CHEN Yun-xiang，ZHANG Zheng-min，XIANG Hua-chun
（Equipment Management ＆Safety Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of long-lifetime reliability assessment in the assumption of unknown life distribution，a new method on reliability assessment for degradation data is proposed，which is different from the traditional method based on the degradation path and degradation measure distribution.Time is treated as a similar-accelerated factor and used as a covariate.The relationship between the lifetime and the degradation failure rate of the product is described by the proportional hazard model and the proportional rate model is built.The degradation distribution is determined through the divergence of the distribution set，and the degradation basic failure rate function and its proportional rate coefficient are obtained.The linear regression model is used to evaluate the parameters of the similar-accelerated model，and the degradation failure rate function in certain detection time points is determined.The lifetime reliability function of the product under the predetermined degradation failure threshold is obtained.An example is provided to demonstrate the validity of the proposed method.

degradation data；reliability assessment；proportional hazard model；distribution divergence；basic failure rate

TB 114.3

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.34

蔡忠義（1988－），男，博士研究生，主要研究方向為裝備可靠性與系統(tǒng)工程。

E-mail：afeuczy＠163.com

陳云翔（1962－），男，教授，博士，主要研究方向為裝備發(fā)展論證、裝備維修保障。

E-mail：cyx87793＠163.com

張諍敏（1964－），女，教授，碩士，主要研究方向為裝備系統(tǒng)工程。

E-mail：646297491＠qq.com

項華春（1980－），男，副教授，博士，主要研究方向為裝備可靠性與系統(tǒng)工程。

E-mail：xhc09260926＠163.com

1001－506X201508－1943－05

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－11－03；

2014－12－19；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015－03－17。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150317.1127.009.html

總裝“十二五”國防預(yù)先研究項目資助課題