☉四川大學附屬中學 劉成龍

☉四川省成都市教育科學研究院 黃祥勇

2014年中考成都卷第23題分析及啟示

☉四川大學附屬中學 劉成龍

☉四川省成都市教育科學研究院 黃祥勇

近年中考成都卷布局為A卷（100分）+B卷（50分），基本意圖是A卷為畢業(yè)會考水平測試，B卷為升學選拔把關(guān).成都中考命題始終嚴格遵循《考試大綱》要求，在注重考查基本知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗的理念下，逐步形成了“立意鮮明、背景新穎、設(shè)問靈活、層次清晰”的新特色（尤其是B卷部分），這不僅體現(xiàn)了試題立意的新穎性、公平性，而且在有效考查現(xiàn)階段學習能力的同時，甑別了學生學習的潛質(zhì).總的來說，近幾年成都中考試題，穩(wěn)定不乏新意，平和不掩亮點.縱觀2014年成都中考試卷，不乏一批優(yōu)秀試題，如：第23、24、25、26題等.筆者認為這些好題不僅是當年中考的一大亮點，而且在未來幾年都有重要的教學和研究價值.因此，對一些優(yōu)秀試題加以研究非常有必要.本文中以2014年中考成都卷第23題為例，從多個視角分析，以饗讀者！

一、試題再現(xiàn)

圖1

題目（2014年中考成都卷第23題）在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，稱小正方形的頂點為“格點”.頂點全在格點上的多邊形稱為“格點多邊形”，格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如，如圖1，圖中三角形ABC是格點三角形，其中S=2，N=0，L=6；圖中格點多邊形DEFGHI所對應(yīng)的S、N、L分別是_________，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，任意格點多邊形的面積S可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù)，則當N=5，L=14時，S=_________.（用數(shù)值作答）

二、命題立意

立意指命題者命制試題的意圖.它是命題者命題思維的前端，決定考查內(nèi)容的方向、難度，以及問題呈現(xiàn)方式，下文從三個視角分析命題者的立意.

立意1：承上啟下

成都B卷填空題共5題（21~25），一般來說第21、22題屬于簡單題，第24、25題難度較大，而第23題（4分）剛好處于過渡位置，既需要有簡單題的一面，又要有難題的味，綜合在一起，筆者猜測命題者將試題難度設(shè)置為中檔（難度系數(shù)約為0.5）.在此立意下，命題時將試題設(shè)置為兩個小題：第1小題相對簡單，在承前的同時又有送分的意圖，體現(xiàn)了命題者的“人文關(guān)懷”和“人人都獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的新課標理念；第2小題需要在第1小題的基礎(chǔ)上，學生需要進一步自主探究得到解答，有一定難度.

立意2：能力考查

本題是一個經(jīng)典的新定義探究性問題，構(gòu)思巧妙，背景新穎、公平.對學生能力的考查主要在兩個方面：閱讀能力和探究能力.《數(shù)學課程標準》（下文簡稱《標準》）強調(diào)注重學生數(shù)學閱讀能力和探究能力的培養(yǎng)，提倡閱讀自學的數(shù)學學習方式.在試題的解答中，首先，需要學生通過閱讀新信息（“格點”和“格點多邊形”）在大腦中建構(gòu)起新概念，建立了新概念后學生需要再次閱讀理解“格點多邊形”面積（S）、內(nèi)部的格點數(shù)（N）、邊界上的格點數(shù)（L）的含義，進而把5個新概念有機整合在一起；其次，需要學生通過動手畫“格點多邊形”來探索試題解答：①學生通過動手畫一個“格點多邊形”，再根據(jù)S、N、L的值建立一個等式（方程組）；②動手畫出滿足條件（N= 5，L=14）的“格點多邊形”，在這一過程中需要通過逐步調(diào)整N和L的值，是一個探究的過程.

立意3：彰顯文化

皮克公式是著名而有趣的數(shù)學問題，以皮克公式為依托命制試題有利于向考生介紹數(shù)學史實、滲透（或傳遞）數(shù)學文化，在無形中增加了人文氣息和數(shù)學底蘊，同時讓學生在探究中重溫數(shù)學家皮克的發(fā)現(xiàn)之路，感受數(shù)學的樂趣和魅力.

三、試題源頭

1.源于教材——高于教材

試題在選材上源于教材.北師大版（成都市現(xiàn)行教材）《數(shù)學》七年級下冊第4頁“讀一讀”內(nèi)容，介紹了一個實用而有趣的皮克公式，如下：

皮克公式，也稱為皮克定理，由皮克在1899年給出，是最重要的100個數(shù)學定理之一.皮克定理介紹了點陣多邊形面積、內(nèi)部格點數(shù)目、邊上格點數(shù)目的關(guān)系：S= N+-1（其中N表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，L表示多邊形邊界上的點數(shù)，S表示多邊形的面積）.皮克公式在中學階段不要求學生掌握，因此，命題者在命制試題時并沒有直接考查學生對公式的簡單記憶（背誦），或直接套用皮克公式計算給定圖形面積，而是以皮克公式為背景，先通過設(shè)置新概念、新情境讓學生在特例下感知S、N、L之間的關(guān)系，再給出S=aN+bL+c，讓學生通過方程組解答出a=1，b=，c=-1，進而探究出皮克公式S=N+1.真可謂源于教材，高于教材.

2.源于高考——試題原型

筆者揣測命題者在確定以皮克公式為背景命題后，查閱了近年高考、中考及常見教輔中的試題，發(fā)現(xiàn)中考及教輔試題中以皮克公式為背景的新定義基本沒有，無獨有偶的是在高考試題（2013年湖北卷文科17題）中有所體現(xiàn).

盡管高考中對皮克公式有所考查，但絲毫不影響中考命題，反而說明皮克公式是一個很好的命題素材.命題者保留了高考試題的主要框架，做出了符合初中生學情的一些改編，具體命制過程如下：

（1）命題者以學生熟悉的“網(wǎng)格”為背景給出了“格點”的概念.

（2）把“已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+ c”改編成“經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，任意格點多邊形的面積S可表示為S=aN+bL+c”，其中“探究”一詞有暗示學生想要得到皮克公式需要探究的用意.探究的具體思路是：從特殊到一般.具體方法是：再動手畫一個格點多邊形，構(gòu)建方程組.

（3）把高考試題中的“N=71，L=18”改編成“N=5，L= 14”，這里表面上僅僅是數(shù)據(jù)相對減小，實質(zhì)上數(shù)據(jù)較小是命題者故意為之，筆者猜測其意圖是設(shè)置試題解法的多樣性：數(shù)學成績優(yōu)秀或圖形方面直覺較強的學生可以直接通過畫出滿足題意的圖形解答試題（數(shù)據(jù)較大是很難直接畫出滿足題意的圖形）.

四、解答分析

解答本題首先需要學習“格點”及“格點多邊形”這兩個概念，對于“格點”，學生較為親近，在平常的學習中有所接觸，從而在心理上消除了緊張焦慮的情緒.至于“格點多邊形”這一概念，盡管學生沒有接觸過，但理解起來也不是什么難事.然而在掌握“格點多邊形”概念后又增加了面積（S），內(nèi)部格點數(shù)（N），邊界上格點數(shù)（L），使得概念達到了5個，且隨著試題敘述文字的增多，考生的情緒急劇升溫，這時需要借助具體的實例（圖中△ABC）來識別、鞏固、內(nèi)化S、N和L的概念，即文字敘述—圖形驗證的過渡，處理好這一環(huán)節(jié)是解答后面兩空的關(guān)鍵.在正確學習特例△ABC中S=2，N=0，L=6后，第1空較為簡單.下面重點分析第2空的解答.

解答角度1：方程組法

題目中給出了S=aN+bL+c這一關(guān)系，關(guān)系中含有a，b，c三個字母，要求a，b，c，則需要建立三個方程，于是需要三組S、N、L值，但現(xiàn)成的值只有兩組（圖中△ABC和第1問中S、N、L值），因此，需要學生動手畫一個“格點多邊形”，比如：邊長為2的正方形，長為2、寬為1的長方形等.

解答角度2：作圖法

由網(wǎng)格中的格點△ABC和格點多邊形DEFGHI可以直接得到對應(yīng)圖形中S、N、L的值，要求“當N=5，L=14時，S的值”很自然想到能否畫出滿足條件的圖形？事實上，部分數(shù)學成績優(yōu)秀或者在繪圖方面直覺較強的學生能直接畫出滿足條件的圖形，進而得到S的值.（這里給出幾種滿足題意的圖形，如圖2~圖8）

解答角度3：規(guī)律探索法

這里選定比較特殊的“格點”多邊形：

（1）“格點”長方形.

當N=0，L＝4時，S=1；

當N=0，L＝6時，S=2；

當N=0，L＝8時，S=3.

（2）“格點”長方形.

五、問題分析

本題僅僅涉及列、解三元一次方程組，運算量不大，無需特殊技巧，弄清題意后很快就能解答，應(yīng)該不算一道難題.但從閱卷現(xiàn)場反饋的信息，此題平均得分約1.4分，這意味著還有很大一部分學生沒有完成送分的第1空，而解答第1空只需理解新定義即可.問題出在哪里？考后筆者訪談了一些考生，其中一些得0分的考生的感受是：（1）第23題的題干文字太多，沒有看下去的勇氣；（2）看完題后不知道題目說的是什么意思；一些得2分的考生的意見是：做第2空時，沒有想到通過畫一個格點多邊形建立方程組.經(jīng)過分析，筆者認為考生丟分的深層原因是閱讀能力、探究能力的缺失.是什么原因造成閱讀能力、探究能力的缺失呢？

從目前初中數(shù)學教學的角度來看，課堂教學的主要任務(wù)是范例的講解與大量題目的演練，教師比較重視學生對基本知識的記憶與重復，忽略學生對數(shù)學本質(zhì)的體驗與理解；重視學生對題型—套路—題型的識別，忽略學生對數(shù)學思想、方法的總結(jié)與提煉；重視學生對具體問題的解決，忽略學生對新情景、新問題的處理.從學生的學習方式來看，數(shù)學課堂的基本模式是“教師講—學生聽—學生記”、“教師示范例題—學生模仿練習—學生記憶基本題型”.對于廣大考生來說，第23題是全新的，在老師的“猜題押寶”、“套路訓練”、“題海戰(zhàn)術(shù)”中從未見過，學生無法在大腦儲存中找到匹配的解答模式.

六、教學啟示

1.切實研究教材

教材是教學活動的重要資源，是執(zhí)行課程標準、體現(xiàn)課改精神的載體，是眾多教育專家及一線教育工作者的智慧結(jié)晶.從歷年中考命題可以發(fā)現(xiàn)，每年都有一部分試題直接源于教材.第23題由命題者選用教材中“讀一讀”欄目中皮克公式命制而成，這有讓教師們回歸教材、研究教材之意圖.筆者認為，研究教材分為三個層次：讀懂教材、用好教材、用活教材.研究教材可以從以下五個方面入手：

（1）梳理教材知識脈絡(luò)、編排順序，了解知識的孕育、形成和發(fā)展過程，理清章節(jié)間的聯(lián)系.

（2）理解編者的意圖：領(lǐng)會教材章節(jié)設(shè)置、引入、例題、習題、閱讀材料、旁白等的意圖.

（3）分化教材難點、突破教材重點.

（4）理解例題、習題的示范性、針對性，研究例題、習題的解法、背景、變式和拓展.

（5）有機融合各章節(jié)教材，形成問題串、知識鏈；根據(jù)學情，適當打破章節(jié)編排順序，創(chuàng)造性地使用教材.

2.改進教學方式

《標準》倡導“積極思考、合作交流、動手實踐、自主探索的學習方式”.“學習金字塔”理論表明：不同的學習方式得到的學習效果區(qū)別很大，位于塔尖的是學生單憑閱讀或聽老師講授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是學生動手參與和給別人講授效果最好（保持90%）.可見，“教師講—學生聽—學生記”、“教師示范例題—學生模仿練習—學生記憶基本題型”是信息單項傳遞的教學模式，學習效果低下.因此，數(shù)學教學中教師應(yīng)讓單向信息傳遞的教學模式“動”起來.筆者認為，在教學中應(yīng)建立多元互動機制，讓信息在教師與學生、學生與學生之間流動起來.首先，教師應(yīng)精心設(shè)置教學內(nèi)容、知識呈現(xiàn)形式、問題講解方式，激發(fā)學生持續(xù)學習熱情和欲望，引發(fā)他們的行為參與、認知參與和情感參與；其次，教師要重視師生之間的相互合作、相互溝通，充分發(fā)揮學生的主體地位，還課堂、時間、還話語權(quán)于學生，引導學生之間充分交流，從而在師生對話、生生對話的過程中，達成“互識”和“共識”.

3.重視能力培養(yǎng)

（1）加強閱讀能力培養(yǎng).閱讀，字典的解釋是“看文字并理解它的意思”.閱讀屬于信息輸入加工形式，是人類汲取知識、認識世界、可持續(xù)發(fā)展能力的一個重要方式.而數(shù)學閱讀是指學生根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，通過閱讀數(shù)學材料（數(shù)學公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構(gòu)數(shù)學意義和方法的心理與智力過程.數(shù)學閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含語言符號的感知和認讀，新概念的同化和順應(yīng)，閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素.同時它也是一個不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認知過程.《課標》強調(diào)注重學生數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)，提倡閱讀自學的數(shù)學學習方式.通過數(shù)學閱讀可以促進學生數(shù)學語言水平（符號語言、圖形語言、文字語言）、認知水平的發(fā)展.從23題解答的情況來看，很大一部分學生害怕數(shù)學閱讀，缺乏閱讀的勇氣和信心；另一部分學生能堅持讀完試題，但不能有效地攝取有效信息，理解和內(nèi)化試題的意義，都說明了閱讀能力的缺乏.因此，教師在教學中要有閱讀是一種能力的理念.加強閱讀能力可以從以下入手：①讓學生認識閱讀的重要性，培養(yǎng)閱讀興趣，增強閱讀的動力；②提供豐富、有趣的閱讀材料：教材中的閱讀材料、《數(shù)學史》及數(shù)學科普讀物等；③開展數(shù)學閱讀方法指導：把握閱讀的時機，閱讀的方式：精讀與泛讀，閱讀的技巧等；④加強學生審題訓練；⑤引導學生寫數(shù)學作文.

（2）加強探究能力培養(yǎng).按《現(xiàn)代漢語大詞典》的解釋，探究是指“探索研究”，即努力找出答案、解決問題.《辭?！穼μ骄康慕忉專吧钊胩接?，反復研究”.布魯納說：“探索是數(shù)學的生命線”.《標準》中用很大的篇幅提到“數(shù)學探究”，即數(shù)學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程.這個過程包括：觀察分析數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，猜測、探究適當?shù)臄?shù)學結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.倡導“積極主動、勇于探索的學習方式”是《標準》的一個基本理念.在23題的解答中，部分學生沒有通過動手畫“格點多邊形”來探索試題解答的意識，更缺乏通過逐步調(diào)整畫出滿足題意（N=5，L=14）的圖形的想法.因此，教師在教學中要加強探究能力的培養(yǎng).加強探究能力可以從以下入手：①培養(yǎng)學生問題意識：提出問題、分析問題、解決問題的能力；②設(shè)置探究性問題：背景新穎型問題、結(jié)論開放型問題、猜想探究型問題、實踐操作型問題、類比探究型問題、評價探究型問題和閱讀探究型問題等；③學習探究的基本思想和方法，比如：特值（例）引路—先猜后證.

1.趙思林，潘超.一道以群的定義為背景的高考試題賞析［J］.中學數(shù)學（上），2008（4）.

2.劉成龍.由一個物理問題引起的探究性學習［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2013（7）.

3.劉成龍，等.推陳出新適度暗示能力突出解法多樣教學引領(lǐng)——2013年中考成都卷第25題亮點分析［J］.中學數(shù)學（下），2014（2）.

4.劉成龍，等.高考數(shù)學探究性試題簡析［J］.中學數(shù)學研究，2011（11）.

5.黃祥勇.平實中見清新，細微處蘊思想——2014年四川省成都市中考數(shù)學試卷評析［J］.中學數(shù)學（下），2014（9）.W