☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 孫小星

一道填空題的高失分率引發(fā)的思考

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 孫小星

在筆者所在學(xué)校八年級(jí)數(shù)學(xué)期中測(cè)試的試卷上有一道填空題，試題難度中等，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用能力.應(yīng)該說(shuō)本題八年級(jí)的學(xué)生基本都會(huì)做，但結(jié)果卻出乎我們的預(yù)料，本題全班的實(shí)際得分率不足10%，幾乎所有錯(cuò)誤的答案都是漏解，只考慮了銳角三角形的情況，而沒有考慮鈍角三角形腰上的高在三角形的外部的情況.為了弄清失分原因，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行分析和歸納，由此進(jìn)行一些反思.

題目：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_________.

一、失分原因

1.受思維定勢(shì)的影響

圖1

圖2

定勢(shì)是指重復(fù)先前的心理操作所引起的對(duì)活動(dòng)的準(zhǔn)備狀態(tài)，它對(duì)解題的影響有積極的也有消極的.失分的同學(xué)中有近80%是受到了定勢(shì)的影響.由于筆者平常在黑板上畫等腰三角形時(shí)習(xí)慣于畫成銳角的等腰三角形，所以受教師的影響，學(xué)生在畫等腰三角形時(shí)也習(xí)慣于畫出銳角的等腰三角形，長(zhǎng)此以往，就形成了畫圖的定勢(shì)，所以只畫出了如圖1所示的情況.

2.畫圖基本功不扎實(shí)

還有一小部分同學(xué)想到了高還可以在三角形的外部的情況，但是筆者在教學(xué)過程中過度關(guān)注了學(xué)生的計(jì)算與推理證明的能力，忽視了對(duì)學(xué)生的畫圖能力的培養(yǎng)，除了書本上必要的作圖內(nèi)容，其他要求學(xué)生畫圖的習(xí)題較少，由于缺乏必要的練習(xí)，所以學(xué)生畫圖的基本功不扎實(shí)，從而導(dǎo)致圖形畫不出來(lái)，出現(xiàn)了畫圖的典型錯(cuò)誤，如圖2所示.

3.分類討論的意識(shí)不夠

對(duì)于題目中沒有給出圖形的幾何題，通常要自己畫圖，而對(duì)這類沒有提供圖形的題目在多數(shù)情況下都要分類討論.學(xué)生平常在練習(xí)中完成單解的情況占多數(shù)，所以分類討論的意識(shí)不強(qiáng).

二、教學(xué)反思與改進(jìn)措施

結(jié)合上述問題，筆者做了深刻的分析，感觸頗深，現(xiàn)將感受總結(jié)如下.

1.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到畫圖的重要性

初中階段是學(xué)生的形象思維能力向抽象思維能力發(fā)展過渡的重要時(shí)期，但學(xué)生的抽象思維能力的發(fā)展還是不夠成熟，所以借助于畫圖能夠讓學(xué)生理解得更深刻，能幫助學(xué)生進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力.要使學(xué)生體會(huì)到畫圖的價(jià)值和作用，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)把握好引導(dǎo)的時(shí)機(jī)，當(dāng)學(xué)生一時(shí)不能解決問題時(shí)，不要急于去講解，而是要引導(dǎo)其通過畫圖整理信息、理解題意、找到方法、解決問題.

例1某商業(yè)集團(tuán)新進(jìn)了40臺(tái)空調(diào)機(jī)和60臺(tái)電冰箱，計(jì)劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩個(gè)連鎖店銷售，其中70臺(tái)給甲連鎖店，30臺(tái)給乙連鎖店.兩個(gè)連鎖店銷售這兩種電器每臺(tái)的利潤(rùn)（元）如下表所示.

空調(diào)機(jī)電冰箱甲連鎖店200170乙連鎖店160150

設(shè)集團(tuán)調(diào)配給甲連鎖店x臺(tái)空調(diào)機(jī)，集團(tuán)賣出這100臺(tái)電器的總利潤(rùn)為y（元）.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍.

分析：對(duì)剛剛接觸一次函數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，解決本題有一定的困難.由于涉及的條件比較多，好多同學(xué)不知所措，這時(shí)，教師千萬(wàn)不要急于講解，否則學(xué)生不能學(xué)會(huì)分析解決此類問題的方法，下次碰到類似的習(xí)題還是不會(huì).這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生仿照題目給出的表格自己列出分析表格，如下表所示.（k＜0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，a）、B（3，b）、C（-2，c），試比較a、b、c的大小.

空調(diào)機(jī)（總數(shù)40臺(tái)）電冰箱（總數(shù)60臺(tái)）甲連鎖店（共需70臺(tái)）x70-x乙連鎖店（共需30臺(tái)）40-xx-10

分析：由于本題中k的確切的值未知，所以通過代入計(jì)算比較a、b、c的大小的方法不可取，而本題中的三個(gè)點(diǎn)又不在同一象限，所以不通過畫圖想要來(lái)比較它們的大小是比較困難的.通過畫草圖（如圖3），我們很容易比較a、b、c的大小.

3.強(qiáng)化學(xué)生的分類討論思想

分類討論思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的思想之一.需要運(yùn)用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問題有很多，概括起來(lái)有以下幾類.

（1）與數(shù)學(xué)概念有關(guān)的分類討論.

例3一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則它一腰上的高與底邊所夾的角的度數(shù)為_________.

分析：從等腰三角形的內(nèi)角這一概念，就要想到分為頂角和底角，因此，就要分兩類來(lái)畫圖.（1）當(dāng)頂角為70°時(shí)，畫圖解答；（2）當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，畫圖解答.

（2）與公式有關(guān)的分類討論.

例4若多項(xiàng)式4x2-kxy+16y2是一個(gè)完全平方式，則k=_________.

本題的分類討論源于完全平方公式有兩個(gè)：a2± 2ab+b2=（a±b）2，所以-kxy=±16xy?k=±16.

通過完成表格，學(xué)生基本可以順利解題.同時(shí)，通過此題的解答，幫助學(xué)生小結(jié)遇到條件比較多的應(yīng)用題時(shí)不要憑空想象，要通過畫圖表來(lái)幫助自己分析題意、理解題意.

2.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的畫圖訓(xùn)練

在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)，不能僅設(shè)計(jì)有圖形的習(xí)題，要提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，更要培養(yǎng)學(xué)生自己畫圖的能力.畫圖不僅在幾何題中用到，在代數(shù)的函數(shù)部分同樣用到的很多.

例2已知反比例函數(shù)y=

圖3

圖4

（3）由運(yùn)動(dòng)問題引起的分類討論.

例5在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是線段BC上的任意一點(diǎn)，OE、OF分別與AB、AC所在的直線垂直，過點(diǎn)B作BG⊥AC，垂足為G.

（1）猜想并證明OE+OF與BG的數(shù)量關(guān)系.

（2）若點(diǎn)O是直線BC上的任意一點(diǎn)，（1）中的猜想還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的猜想；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題的第二問既考查分類討論思想的運(yùn)用，又考查學(xué)生的畫圖能力，是一道較好的綜合題.

（4）由條件的不確定引起的分類討論.

分類討論的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的嚴(yán)謹(jǐn)性、條理性，能促進(jìn)學(xué)生的思維品質(zhì)的提升.

例6在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出一幅圖（如圖4），并寫下了四個(gè)等式：

①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE.

（1）上述四個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△AED是等腰三角形？（用序號(hào)寫出所有成立的情形）

（2）請(qǐng)選擇（1）中的一種情形，寫出證明過程.

分析：解決本題首先要分類討論兩兩組合有哪些可能，分別是①②、①③、①④、②③、②④、③④，然后分別判斷它們的正確性.

4.歸納整理易錯(cuò)題，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

我們經(jīng)常會(huì)碰到這樣一種情況，有些習(xí)題反復(fù)講解過很多遍，但只要將題目稍作修改，學(xué)生便束手無(wú)策，究其原因，是學(xué)生沒有將知識(shí)整理歸納形成網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)不善于歸納總結(jié)的學(xué)生，他在課堂上只能學(xué)到知識(shí)，不能形成知識(shí)的遷移能力.這樣只能培養(yǎng)出死學(xué)習(xí)的書呆子，不能使學(xué)生成為有創(chuàng)意的人.

作為數(shù)學(xué)教師，隨時(shí)都會(huì)碰到學(xué)生做錯(cuò)的習(xí)題，對(duì)于錯(cuò)誤率很高的習(xí)題要多留心，找出學(xué)生出錯(cuò)的原因，反思自己的教學(xué)過程，適時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)方向，這樣才能提高教學(xué)質(zhì)量.

1.沈燦江.對(duì)一道試題失分的歸因和反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2010（4）.

2.莘義成.對(duì)一道中考試題失分的思考［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（3）.

3.喻瑩瑩.基于幾何復(fù)習(xí)課的研究［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（7）.WG