魏應三，王永生，沈 陽，靳栓寶，蔣國健

（1.海軍工程大學動力工程學院，武漢 430033；2.海軍工程大學艦船綜合電子技術國防重點實驗室，武漢 430033；3.中國科學院聲學所北海站，山東青島 266023）

等效源方法的適用性判定及源的優(yōu)化布置

魏應三1，2，王永生1，沈 陽2，靳栓寶2，蔣國健3

（1.海軍工程大學動力工程學院，武漢 430033；2.海軍工程大學艦船綜合電子技術國防重點實驗室，武漢 430033；3.中國科學院聲學所北海站，山東青島 266023）

采用等效源方法建立了輻射體表面法向振速到場點聲壓的傳遞函數(shù)，實現(xiàn)了聲場的數(shù)值預報。以相對速度誤差為評價指標，對等效源法的求解精度進行了先驗判定，提出了以1／2速度誤差限制線來確定等效源法適用的頻率范圍，進一步以聲輻射效率為指標對聲壓計算結果的合理性進行后驗判定。分別針對單個頻率點、多個頻率點對等效源的位置進行優(yōu)化，結果表明存在最優(yōu)等效聲源位置以滿足輻射體表面法向振速的最佳匹配。將等效源的優(yōu)化方法應用于具有聲反射面的脈動球源及錐－柱組合殼體的輻射聲場預報，預報結果與解析解及邊界元法計算結果吻合較好，說明等效源法在工程上應用是可行的。

等效源；優(yōu)化；聲輻射

邊界元法（BEM）是繼有限元法（FEM）之后發(fā)展起來的一種數(shù)值方法，可實現(xiàn)物理問題有效降維，但是相對于傳統(tǒng)的域方法如FEM、有限差分法，常規(guī)BEM求解方程的系數(shù)矩陣為滿陣，導致解題規(guī)模受到了很大限制［1］。等效源方法（ESM）的提出則促進了BEM在工程上的應用。Chen等［2］提出通過在輻射體表面布置等效源，并通過匹配輻射體邊界速度勢法向導數(shù)來預報聲場，但由于Chen將等效源布置在輻射體表面，存在積分奇異。Koopmann等［3－4］提出將等效源布置在輻射體內部可有效克服積分奇異。于飛等［5－6］對ESM作了深入的研究，并成功應用于聲場的全息重建。吳紹維等［7］采用無單元ESM研究了自輻射近似解析解問題，并提出等效源必須位于實際輻射體內的一定范圍內才能用于聲場計算。另外，ESM的求解精度與等效源數(shù)量、位置及分析頻率范圍也密切相關［8］。研究這些因素對ESM計算結果的影響的文獻較多，但絕大多數(shù)數(shù)值計算結果均采用相互檢驗，較少有文獻對數(shù)值計算本身的可信性進行判定，導致計算結果本身的可靠性又沒有判據(jù)校核。朱之墀等［9］在對管道聲場的數(shù)值預報中采用聲能守恒判據(jù)、動量守恒判據(jù)和質量守恒判據(jù)對計算結果進行判定，這些判據(jù)對于指導數(shù)值計算具有一定借鑒作用，尤其在沒有解析解或實驗值對比的情況下顯得更為重要。本文借鑒文獻［9］的思想，提出了“速度誤差小于1／2”的先驗判據(jù)和“聲輻射效率小于1”的后驗判據(jù)對ESM的數(shù)值計算結果的合理性進行了判定。

1 等效源原理

等效源的主要思想是：任何輻射體的聲場可以由置于該輻射體內若干個不同聲源強度的簡單源產生的聲場疊加［8］，這些源強可通過匹配輻射體表面的法向振速得到。當?shù)刃г磸姶_定后，空間聲場任一點r的聲壓可由如下積分方程得到：

則當輻射體表面的法向速度已知時，聲源強度表示為a＝H+Vns，此處H+為H的廣義逆。為保證聲源強度解的唯一性，須保證M≤N。由于等效源方法避免了聲源點與場點重合的現(xiàn)象，因此積分不會出現(xiàn)奇異。當輻射體內部的聲源分布確定后，根據(jù)式（1）可確定輻射體表面?D及外聲場空間D+任意一點rfj的聲壓，即：

對于半無限域聲輻射問題，將無限域中的格林函數(shù)G修正為半無限域中的格林函數(shù)即可。

2 等效源方法的適用性判定

2.1 先驗判據(jù)

于飛等［8］提出了通過計算輻射體表面上的振速均方根誤差來評估求解精度，為保證ESM的求解精度提供了先驗判據(jù)，但該方法無法確定ESM的適用頻段的截止頻率。本文在文獻［8］的基礎上，提出了一種相對振速誤差Verror來評估ESM求解精度，并確定ESM適用頻段的截止頻率，

式中，Vthero為給定的輻射體表面法向振速，Vpredict為根據(jù)等效聲源強度預報的輻射體表面法向振速。上式分母表示輻射體表面的等效輻射聲功率，分子表示“絕對誤差波”［8］所輻射的功率。通過求解不同頻率的振速誤差可得到誤差曲線隨頻率的變化，該曲線與“1／2誤差限制線”的交點所對應的頻率即為截止頻率。本文通過對脈動球源、一階球源、活塞球源聲輻射計算，結果表明當Verror小于1／2時，數(shù)值解與理論解吻合較好。

球源基本參數(shù)為：球源半徑rs＝1 m，聲速1 500 m／s，密度1 000 kg／m3。等效源所在球面半徑為r0，且與脈動球源同心，距離d＝rs－r0。分析脈動球源時，球源以0.001 m／s的速度脈動；分析一階球源時，球源沿x方向以0.001 m／s的速度振動。在此算例中，球源內部的簡單等效源的數(shù)量等于輻射體表面的節(jié)點數(shù)量。圖1（a）、（b）分別為脈動球源、一階球源的速度誤差曲線，圖1（c）、（d）則為相應的聲功率對比結果。以1／2速度誤差限制線來確定截止頻率，如圖1（a）、（b）所示。當分析頻率遠低于該截止頻率時，基于ESM計算的聲功率與理論值吻合較好，而當分析頻率接近截止頻率時，受質點速度與聲壓預報精度的雙重影響，輻射聲功率的預報值會出現(xiàn)3～6 dB的誤差，如圖1（c）中d＝0.92以及圖1（d）中d＝0.98的情況，說明采用ESM進行聲場預報時，分析頻率上限不能太接近截止頻率。當分析頻率超過截止頻率時，聲功率誤差顯著增加。

圖1 球源的速度誤差及輻射聲功率.（a）、（b）依次為脈動球源、一階球源在等效源不同布置位置時的速度誤差；（c）、（d）為相應的球源輻射的聲功率Fig.1 Velocity error（a），（b）and sound power（c），（d）of the pulsating sphere，first order sphere

Verror小于1／2的物理意義在于：當ESM預報的振源表面等效輻射聲功率誤差小于3 dB的限制線時，認為ESM求得的源強的精度能滿足下一步求解聲壓的要求，至于ESM求得的聲壓是否合理，則需根據(jù)后驗判據(jù)來判定。

2.2 后驗判據(jù)

對于規(guī)則輻射體聲輻射問題，其數(shù)值計算的準確性可用解析解檢驗。對于復雜結構的聲輻射問題，在無解析解時除了用先驗判據(jù)來判定EMS外，還需聲場的后驗判據(jù)來檢驗。本文提出的先驗判據(jù)實際上是用均方振速來刻化，而當聲壓與質點速度都已知時則可用聲功率與等效輻射聲功率的比值，即輻射效率來表征。根據(jù)聲能守恒原則，輻射效率須小于1，故可用輻射效率作為后驗判據(jù)。

以更復雜的活塞球源為例，球源基本參數(shù)同上，在球坐標系（r，θ，φ）下，球源表面只有在張角φ≤60°范圍內法向振速為0.001 m／s，其它范圍內振速為0。圖2（a）所示為r0＝0.25時球源的速度誤差曲線，圖2（b）為活塞球源等效輻射聲功率、輻射聲功率理論值及預報值的對比結果。分析知，當無量綱頻率k rs＞3.15時，ESM不滿足先驗判據(jù)，如圖2（a），與此同時輻射聲功率預報值超過了等效輻射聲功率的理論值（123.7 dB），后驗判據(jù)也不滿足，如圖2（b）；而當k rs＜3.15時，ESM同時滿足先驗判據(jù)和后驗判據(jù)，預報值與理論值吻合較好。

圖2 活塞球源的速度誤差及輻射聲功率Fig.2 Velocity error（a）and sound power （b）of the piston source of the sphere

3 等效源的優(yōu)化布置

3.1 單目標優(yōu)化

等效源的位置對ESM的計算結果有較大影響，不同等效源位置所對應的截止頻率也不同。因此在工程應用中就存在等效源位置的優(yōu)化，以使截止頻率盡可能的高。下面仍然以活塞球源為例，對給定某一頻率下的等效聲源位置進行尋優(yōu)。假設簡單等效源所在球面與活塞球源同心，優(yōu)化變量為等效源所在的球面半徑r0，其半徑改變時，等效源的空間坐標等比例地改變，其中等效源的數(shù)量保持不變。為避免等效聲源靠近輻射體邊界而出現(xiàn)奇異積分，此處令0＜r0／rs＜0.9。

考慮優(yōu)化問題：

令fc＝800 Hz，對應無量綱頻率krs＝3.35，通過變r0，得到不同r0對應的速度誤差如圖3所示。結果表明，當0.33＜r0／rs＜0.77時速度誤差皆在1／2誤差限制線以內，說明等效聲源布置在此范圍內時截止頻率皆不低于3.35；當r0／rs＝0.75時，速度誤差存在最小值，說明當?shù)刃曉床贾迷?.75rs的球面上時可實現(xiàn)振速的最佳匹配，經計算此時的無量綱截止頻率為3.5，說明分析頻率上限在截止頻率之前，滿足先驗判據(jù)。為驗證上述結論，分別取r0／rs為0.2、0.35、0.75、0.8，對活塞球源的輻射聲功率進行預報如圖4所示。當r0／rs取0.35（對應的無量綱截止頻率為3.38）、0.75時，在分析頻率0＜krs＜3.35范圍內預報值與理論值皆吻合較好，其中r0／rs取0.75時預報精度最高；當r0／rs取0.2、0.8時，由于這兩個位置對應的速度誤差皆大于1／2，相應的無量綱截止頻率分別為3.02、2.94，達不到3.35，因此預報值在頻率范圍3.1＜krs＜3.35內皆出現(xiàn)較大誤差。

圖3 krs＝3.35時單頻優(yōu)化結果Fig.3 Optimized result for single frequency krs＝3.35

圖4 不同等效源位置時的輻射聲功率Fig.4 Sound power for various locations of the source

3.2 多目標優(yōu)化

仍然以3.1節(jié)問題為例，考慮如下優(yōu)化問題：

將該優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題：

圖5 多個頻率點優(yōu)化結果Fig.5 Optimized result formulti frequencies

圖6 krf＝8.38時的聲指向性圖Fig.6 Sound directivity at krf＝8.38

4 應用案例

4.1 具有聲反射面的脈動球源的聲輻射

脈動球源參數(shù)同2.1節(jié)中的脈動球源，分析頻帶0～800 Hz，反射面距離球心5 m，聲反射系數(shù)為1，等效源位于與脈動球源同心、半徑為0.01 m的球面上，輻射體采用三角形單元離散。經計算在分析頻段內速度誤差皆小于1／2，同時聲輻射效率小于1，滿足先驗判據(jù)和后驗判據(jù)。圖7為空間場點P（5，0，5）處的聲壓預報值與理論值，吻合較好；圖8為反射面在krs＝0.8時的聲壓分布，預報值與理論值也吻合較好，驗證了方法的可信性。

圖7 P點處的聲壓曲線Fig.7 Sound pressure at point“P”

圖8 krs＝0.8時聲反射面上的聲壓分布Fig.8 Sound pressure at the reflecting plane at krs＝0.8

4.2 錐－柱組合結構的聲輻射

圖9所示結構由錐殼段與柱殼段組成，相關形狀參數(shù)、材料參數(shù)及激勵參數(shù)見文獻［10］。此例中仍然將等效聲源布置在球面上，其中球心限定在錐柱殼體的軸心線上，球面半徑以使球面不超過組合殼體為限，優(yōu)化變量為球面半徑、球心位置。經計算，當?shù)刃г此谇蛎姘霃饺?.15m，球心距離左端面0.3m時速度誤差達到最小值，且同時滿足先驗判據(jù)和后驗判據(jù)。分別采用ESM和BEM計算組合殼體的水下輻射聲功率如圖10所示，在整個分析頻段范圍內二者吻合較好，說明本文提出的等效源優(yōu)化方法可用于水下輻射噪聲的工程預報。

圖9 組合結構示意圖Fig.9 Scheme of the coupling structure

圖10 水下輻射聲功率Fig.10 Radiated underwater sound power

5 結 論

本文從基本的脈動球源、一階球源、活塞球源聲輻射問題中經驗地提出了以1／2速度誤差限制線作為ESM適用性的先驗判據(jù)，以聲輻射效率作為后驗判據(jù)。最后通過兩個案例對ESM的適用性進行了驗證。得到如下結論：等效源位置對截止頻率影響較大，對于某一頻率（或頻段）的聲場計算，存在最優(yōu)聲源位置以滿足輻射體表面法向振速的最佳匹配，此時ESM聲場預報精度能夠滿足工程需要。

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Applicability criterion of equivalent sourcesmethod and locating optim ization of sources

WEIYing-san1，2，WANG Yong-sheng1，SHEN Yang2，JIN Shuan-bao2，JIANGGuo-jian3

（1.College of Marine Power，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.National Key Laboratery of Science and Technology on Vessel Integrated Power System，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；3.Institute of Acoustics，The Chinese Academy of Sciences，Qingdao 266023，China）

Based on the equivalent sourcemethod（ESM），the transfer function from the normal vibration velocity of a radiation body's surface to the sound pressure of a field point was built and the prediction of a sound field was realized.To evaluate the accuracy of ESM in prior，the relative velocity error indexwas used and a 1／2 restrict-line of the velocity error was given to determine the frequency range for which ESM is applicable.The rationality of the sound pressure calculation results were evaluated via the sound radiation efficiency index afterward.Then the locations of the equivalent sourceswere optimized for single frequency points andmulti-frequency points，respectively.The results showed that there is an optimal sound source location to satisfy the bestmatch of the normal vibration velocity of the radiation surface.Finally，the ESM optimization algorithm was applied to predict the radiation sound fields of a pulsating sphere with a sound reflection surface and a coupled conical-cylindrical shell，the prediction results agreed wellwith those of the analyticalmethod and BEM.The results indicated that the ESM is applicable for engineering problems.

equivalent source；optimization；sound radiation

TB553；U663

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.035

國家自然科學基金項目（51409256，51307177，51309229）；海軍工程大學自然科學基金引導項目（HGDYDJJ13003）

2014－06－17 修改稿收到日期：2014－10－23

魏應三男，博士，講師，1984年5月生

王永生男，博士，教授，1955年10月生郵箱：yongshengwang666＠126.com