方次軍， 陳 佩

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

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高斯色噪聲激勵下的Logistic腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)

方次軍， 陳 佩

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

利用隨機(jī)動力學(xué)理論，探討高斯色噪聲激勵下的基于Logistic生長模型的腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)，運(yùn)用Novikov定理和Fox方法推導(dǎo)得出噪聲激勵下系統(tǒng)的近似Fokker-Plank方程，進(jìn)而求得系統(tǒng)的定態(tài)概率分布函數(shù)。然后分別分析加性噪聲的自相關(guān)時間、乘性噪聲的自相關(guān)時間以及兩噪聲之間的交叉關(guān)聯(lián)時間對于系統(tǒng)定態(tài)概率分布的影響。

色噪聲; Logistic生長方程；Fokker-Planck方程；定態(tài)概率分布

生物是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有潛在的隨機(jī)性。它們的運(yùn)動被隨機(jī)碰撞所驅(qū)動，在生物系統(tǒng)中揭示非線性條件下噪聲所產(chǎn)生的各種重要效應(yīng)。研究這些效應(yīng)產(chǎn)生的條件及其應(yīng)用,已成為生命科學(xué)發(fā)展中的前沿領(lǐng)域，其研究成果正在許多領(lǐng)域推動學(xué)科的發(fā)展和相互交叉[1-2]。一般情況下，噪聲的來源多種多樣，大致可分為內(nèi)噪聲和外噪聲兩種。乘性噪聲常源自于外噪聲，而加性噪聲屬于內(nèi)噪聲。在早期的非線性系統(tǒng)研究中，人們常忽略噪聲的關(guān)聯(lián)性對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，而只是假設(shè)系統(tǒng)中的乘性噪聲和加性噪聲的來源不同而已，且這些噪聲之間沒有任何關(guān)聯(lián)。1991年，F(xiàn)ulinski等人研究了很多噪聲關(guān)聯(lián)的情形，結(jié)果表明在某些情況下，噪聲之間存在一定形式的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)性對非線性系統(tǒng)的定態(tài)概率分布和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的影響非常大。此后，對噪聲之間的關(guān)聯(lián)性研究，以及它們之間的關(guān)聯(lián)對非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響，越來越成為廣大學(xué)者們的關(guān)注熱點(diǎn)[3-8]。通常情況下，人們所考慮的非線性系統(tǒng)中噪聲之間的關(guān)聯(lián)形式主要有兩種，即白關(guān)聯(lián)形式和色關(guān)聯(lián)形式。

1)白關(guān)聯(lián)形式：

(1)

其中，Q與D分別是兩噪聲ξ(t)和η(t)的強(qiáng)度，λ為兩噪聲之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。

2)色關(guān)聯(lián)形式：

(2)

其中：Q與D分別是兩噪聲ξ(t)和η(t)的強(qiáng)度，λ為兩噪聲之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，τ為兩噪聲之間的互關(guān)聯(lián)時間。

本文考慮的是存在關(guān)聯(lián)的高斯色噪聲激勵下的腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)，其Logistic增長模型為

(3)

其中：x為腫瘤細(xì)胞的數(shù)量， a是細(xì)胞的固有生長率，b是限制細(xì)菌生長的抑制率。這里a>0,b>0。腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)關(guān)于腫瘤細(xì)胞數(shù)量x的確定勢函數(shù)為

(4)

系統(tǒng)有一個穩(wěn)態(tài)xs=a/b和一個不穩(wěn)態(tài)xu=0。式(4)所表示的確定勢函數(shù)形狀如圖1所示。

(a=1.2,b=0.3)的勢函數(shù)圖

式(3)是一種理想的狀態(tài)，即腫瘤細(xì)胞的增長不受外界的干擾。而實(shí)際上腫瘤細(xì)胞的增長不可避免地受到外界環(huán)境的影響，如酶的活性、營養(yǎng)物質(zhì)的供給、溫度、藥物、放射線療法、輻射、蛋白質(zhì)的合成等。分別將這些因素導(dǎo)致的噪聲分為內(nèi)部噪聲(乘性)和外部噪聲(加性)。式(3)的Logistic增長系統(tǒng)的動力學(xué)模型變?yōu)?/p>

(5)

式(5)中的η(t)和Γ(t)都是均值為零的高斯色噪聲，其統(tǒng)計(jì)特征為：

〈η(t)〉=〈Γ(t)〉=0

(6)

(7)

(8)

〈η(t),Γ(t′)〉=〈Γ(t),η(t′)〉=

(9)

這里，Q和α分別是乘性高斯色噪聲η(t)和加性高斯色噪聲Γ(t)的噪聲強(qiáng)度，τ1和τ2分別為乘性色噪聲η(t)和加性色噪聲Γ(t)的自關(guān)聯(lián)時間，λ表示噪聲η(t)和Γ(t)之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，-1<λ<1，τ3為色噪聲η(t)和色噪聲Γ(t)之間的交叉關(guān)聯(lián)時間。

由式(5)-(9)，根據(jù)Novikov定理和Fox方法，得到其對應(yīng)的近似FPK方程：

(10)

式(10)的標(biāo)準(zhǔn)形式記為

(11)

其中

(12)

(13)

在定態(tài)情況下求解方程(11)，利用A(x)和B(x)的表達(dá)式，通過Maple求解，可求得其定態(tài)概率分布函數(shù)為

(14)

其中，N為歸一化常數(shù)，U(x)為系統(tǒng)的修正勢函數(shù)，且

U(x)=h(x)+ClnB(x)+

(15)

這里，

(16)

根據(jù)系統(tǒng)定態(tài)概率分布函數(shù)Pst(x)的表達(dá)式(14)，通過Matlab畫圖，討論乘性高斯色噪聲自相關(guān)時間τ1，加性高斯色噪聲自相關(guān)時間τ2，兩噪聲之間的交叉關(guān)聯(lián)時間τ3分別對定態(tài)概率分布函數(shù)的影響。

圖2給出腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)的定態(tài)概率密度在不同的乘性色噪聲自相關(guān)時間τ1下的分布情況。從圖可見，在所給不同的乘性色噪聲自相關(guān)時間τ1下，Pst(x)呈現(xiàn)出一個極值，且當(dāng)x小于極值時，Pst(x)隨著x的增加而增加；當(dāng)x大于極值時，Pst(x)隨著x的增長而減少。另外，隨著τ1的增大，極值的位置向遠(yuǎn)離x=0的方向漂移。由于x代表的是腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，可以得出以下結(jié)論：乘性噪聲的自相關(guān)時間影響腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，且隨著噪聲自相關(guān)時間τ1的增大，腫瘤細(xì)胞的數(shù)量在增大。

a=1.2,b=0.3,τ2=0.2,τ3=0.1,Q=0.5,α=0.5

圖3給出腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)的定態(tài)概率密度在不同加性色噪聲自相關(guān)時間τ2下的分布情況。由圖可見，在不同的加性色噪聲自相關(guān)時間τ2下，Pst(x)也呈現(xiàn)出一個極值，且當(dāng)x小于極值時，Pst(x)隨著x的增長而增長；當(dāng)x大于極值時，Pst(x)隨著x的增長而減少。另外，隨著τ2的增大，極值的位置向靠近x=0的方向有一些漂移。由于x代表的是腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，可以得出以下結(jié)論：加性噪聲的自相關(guān)時間影響著腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，且隨著噪聲自相關(guān)時間τ2的增大，腫瘤細(xì)胞的數(shù)量在緩慢減小。

a=1.2,b=0.3,τ1=0.2,τ3=0.1,Q=0.2,α=0.5

圖4給出腫瘤細(xì)胞增長系統(tǒng)的定態(tài)概率密度在不同的噪聲交叉關(guān)聯(lián)時間τ3下的分布情況?？梢娫诓煌慕徊骊P(guān)聯(lián)時間τ3下，Pst(x)也只有一個極值，且當(dāng)x小于極值時，Pst(x)隨著x的增長而增大；當(dāng)x大于極值時，Pst(x)隨著x的增長而減少。另外，隨著τ3的增大，極值的位置向靠近x=0的方向有一些漂移，同樣的由于x代表腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，可得出以下結(jié)論：噪聲的交叉關(guān)聯(lián)時間在一定程度上影響著腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，且隨著噪聲交叉關(guān)聯(lián)時間τ3的增大，腫瘤細(xì)胞的數(shù)量在逐漸變小。

a=1.2,b=0.3,τ1=0.2,τ2=0.1,Q=0.8,α=0.2

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[責(zé)任編校： 張 眾]

The Development of Logistic Tumor Cell Growth System influenced by Colored Noises

FANG Cijun, CHEN Pei

(Schoolofscience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

Based on the theorem of stochastic dynamic system, the effect of colored noises associated with tumor cell growth system on the growth of cells Logistic equation was discussed. According to Novikov theorem and Fox method, the approximate Fokker-Plank equation and the stationary probabilities distribution function were obtained. Then the effects of the additive′s autocorrelation time, multiplicative noise′s autocorrelation time and the cross-correlation time on the stationary probabilities density were analyzed, respectively.

the colored noise ; Logistic equation; Fokker-Plank equation, the stationary probabilities distribution

2014-07-10

方次軍(1975-)， 男， 湖北漢川人，湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院副教授，南京航空航天大學(xué)博士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性隨機(jī)動力學(xué)，生物隨機(jī)數(shù)學(xué)

1003-4684(2015)01-0115-03

Q274

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