李保坤，郭永存，曹 毅

(1. 安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001； 2. 江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異與無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

李保坤1, 2，郭永存1，曹 毅2

(1. 安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001； 2. 江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，研究Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異并進(jìn)一步探討機(jī)構(gòu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法?；跈C(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，構(gòu)建機(jī)構(gòu)給定位置的以單位四元數(shù)表征的姿態(tài)奇異軌跡的一般符號(hào)解析表達(dá)式。利用四元代數(shù)理論構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程；通過分析機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布并利用剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程，研究機(jī)構(gòu)無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的規(guī)劃方法。研究成果進(jìn)一步豐富了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異規(guī)避理論。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；姿態(tài)奇異；無(wú)奇異；姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于剛度大、承載能力強(qiáng)以及運(yùn)動(dòng)精度高等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)模擬器、醫(yī)療器械、工業(yè)機(jī)器人、微納操作、力/力矩傳感器、空間探測(cè)、并聯(lián)機(jī)床等多個(gè)高精技術(shù)領(lǐng)域[1]。奇異位形嚴(yán)重影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)及力傳遞性能，對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，若機(jī)構(gòu)處于奇異狀態(tài)，機(jī)構(gòu)將嚴(yán)重失穩(wěn)并導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控甚至被損壞。因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)位于遠(yuǎn)離奇異位形的區(qū)域工作。得到機(jī)構(gòu)的奇異軌跡是奇異規(guī)避研究的基礎(chǔ)[2]。文獻(xiàn)[3]利用平面幾何中的Ceva定理研究三角平臺(tái)型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形。文獻(xiàn)[4]研究了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)姿態(tài)固定時(shí)的位置奇異軌跡在三維空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)特性。文獻(xiàn)[5]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，給出了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異軌跡的三維圖形描述。文獻(xiàn)[6]給出了Stewart機(jī)構(gòu)的奇異軌跡，并進(jìn)一步給出無(wú)奇異工作空間的確定方法。

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，規(guī)避機(jī)構(gòu)的奇異位形的一個(gè)重要方法便是通過增加冗余驅(qū)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)[7-9]，但對(duì)于具有六自由度的Stewart機(jī)構(gòu)，采用冗余驅(qū)動(dòng)無(wú)疑會(huì)帶來(lái)機(jī)構(gòu)控制的復(fù)雜性，并且會(huì)進(jìn)一步限制機(jī)構(gòu)的工作空間。文獻(xiàn)[10]通過研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分岔特性，提出了一種利用擾動(dòng)函數(shù)來(lái)規(guī)避并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向點(diǎn)奇異的方法。文獻(xiàn)[11-13]提出利用運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的方法避開機(jī)構(gòu)的奇異位形。

由文獻(xiàn)[14-15]可知，六自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的任務(wù)空間對(duì)應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)變換群SE(3)，相當(dāng)于三維姿態(tài)變換群和三維歐式空間的半直積，即：SE(3)=SO(3)?R3。由于對(duì)機(jī)構(gòu)位于整個(gè)位形參數(shù)空間內(nèi)實(shí)施運(yùn)動(dòng)規(guī)劃具有很大的難度，而位于R3上的位置運(yùn)動(dòng)規(guī)劃研究已較為成熟，故本文主要對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行研究。

基于機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，得出機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)奇異軌跡，并給出其三維圖形描述。基于機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異的軌跡描述，研究機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

1 機(jī)構(gòu)的三維姿態(tài)奇異軌跡描述

六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，其動(dòng)定平臺(tái)為兩個(gè)非相似型的半對(duì)稱正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6(i=1，2，…，6)，并通過六根相同的球副-移動(dòng)副-球副(或萬(wàn)向鉸)支鏈(BiCi)相連。Bi和Ci分別為動(dòng)定平臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)，Aj(j=1，3，5)為定平臺(tái)六邊形長(zhǎng)邊的交點(diǎn)。

P、O、βm、βb、Rm、Rb的含義分別如下：

P為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)；O為機(jī)構(gòu)定平臺(tái)幾何中心點(diǎn)；βm為動(dòng)平臺(tái)上邊B4B5對(duì)應(yīng)中心角，0°≤βm≤120°；βb為定平臺(tái)上邊C1C2對(duì)應(yīng)中心角，0°≤βb≤120°；Rm為動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑；Rb為定平臺(tái)外接圓半徑。

為分析并得到機(jī)構(gòu)的奇異軌跡方程，在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上建立固連坐標(biāo)系P-xyz，在定平臺(tái)上建立固定參考系O-XYZ。將動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P作為動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的位置參考點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為P=[X，Y，Z]T；記動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz中的位置矢量為bi(i=1， 2， …， 6)，記Bi在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量為Bi(i=1， 2， …， 6)；定平臺(tái)各個(gè)鉸點(diǎn)Ci在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為Ci(i=1， 2， …， 6)。

定義機(jī)構(gòu)的初始姿態(tài)，其滿足如下條件：

① 給定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P的位置；② 動(dòng)定坐標(biāo)系的相應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行。

(1)

由坐標(biāo)變換原理不難得到Bi與bi滿足Bi=Rbi+P

(2)

將式(1)帶入機(jī)構(gòu)奇異位形判別矩陣

(3)

若令式(3)所示矩陣的行列式等于零，即可得到機(jī)構(gòu)奇異位形關(guān)于位姿參數(shù)的解析表達(dá)式

F(A，B)=0

式中：A表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位置參數(shù)，B表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)參數(shù)。

(4)

當(dāng)給定機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°，機(jī)構(gòu)位于給定位置(0， 0， 4)時(shí)關(guān)于姿態(tài)參數(shù)(q1，q2，q3)的姿態(tài)奇異軌跡在笛卡爾坐標(biāo)系中的三維圖形化描述如圖2所示。

2 無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

2.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡的四元數(shù)描述

單位四元數(shù)描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換也可表示成如下形式

(5)

其共軛四元數(shù)可表示成

(6)

故

(7)

式中：ε∈[0，1]，角速度在時(shí)間區(qū)間[t，t+.Δt]被假定為為常值ω(t+εΔt)，當(dāng)Δt趨向于零時(shí)，便可得到四元數(shù)增量的精確值

(8)

將整個(gè)時(shí)間區(qū)間[0，T]分成N個(gè)間隔Δti

(i， i+1=1， 2， …， N)

在ti+1時(shí)刻的單位四元數(shù)，將通過如式(5)所示的無(wú)限小變換四元數(shù)以及在ti時(shí)刻的數(shù)值確定

Q(ti+1)=ΔQ(ti)°Q(ti)=

εi∈[0， 1] (9)

若剛體在t=T0時(shí)刻從單位四元數(shù)Q0開始進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則近似有

Q(ti+1)=ΔQ(ti)°Q(ti)=

(10)

上式可用圖3說(shuō)明。

2.2 時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)描述

如圖4所示，若使剛體由姿態(tài)Λ變換到N，除經(jīng)M作用的旋轉(zhuǎn)外，亦可經(jīng)變換Σ°P實(shí)現(xiàn)。但是，不難發(fā)現(xiàn)，由于弧長(zhǎng)P與弧長(zhǎng)Σ之和一定大于弧長(zhǎng)M，也即剛體經(jīng)姿態(tài)變換Σ°P所轉(zhuǎn)過的角度要大于姿態(tài)變換M所轉(zhuǎn)過的角度。因此，若使剛體從姿態(tài)Λ快速變換到N，M所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)變換應(yīng)是最短姿態(tài)變換路徑，由于

N=M°Λ

(11)

M可根據(jù)下式求解

M=N°Λ-1

(12)

若由式(12)計(jì)算得

(13)

不難得到剛體從姿態(tài)Λ變換到N時(shí)，相對(duì)于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)軌跡為

Q(t)=M(t)°Λ

(14)

將上述得到的姿態(tài)軌跡表達(dá)式(14)離散化處理。將時(shí)間區(qū)間[0，T]分成N個(gè)間隔Δti，在每個(gè)等分內(nèi)的角速度可以看成是定值，則有

Q(ti+1)=M(ti+1)°M(ti)°…°M(t1)°Λ

(15)

其中，

(i=0， 1， 2， …) (16)

式中：t0=0，εi∈[0， 1]。若剛體從起始0時(shí)刻的姿態(tài)Λ快速旋轉(zhuǎn)到最終姿態(tài)N，由式(15)和式(16)可計(jì)算出剛體時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)在ti+1時(shí)刻的姿態(tài)Q(ti+1)，如圖5所示。利用歐拉公式，式(15)亦可寫成形如式(10)所示的指數(shù)積形式

Q(ti+1)=M(ti+1)°Λ0=

(17)

若剛體起始姿態(tài)Λ=(λ0，λ1，λ2，λ3)，目標(biāo)姿態(tài)N=(ν0，ν1，ν2，ν3)，計(jì)算得到的姿態(tài)軌跡Q(t)=(q0，q1，q2，q3)，若以四元數(shù)的矢量部分作為獨(dú)立參數(shù)，可得到在三維笛卡爾坐標(biāo)系中的姿態(tài)軌跡曲線qi(i=1， 2， 3)，稱該軌跡曲線即是剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)功的姿態(tài)軌跡曲線。該軌跡曲線的起始點(diǎn)為(λ1，λ2，λ3)，終點(diǎn)為(μ1，μ2，μ3)，由四元數(shù)運(yùn)算法則可知，姿態(tài)變換軌跡一般情況下應(yīng)是一條曲線，當(dāng)且僅當(dāng)λ與μ共線或其中一個(gè)為0時(shí)，姿態(tài)軌跡為一條連接起始姿態(tài)點(diǎn)(λ1，λ2，λ3)到目標(biāo)姿態(tài)點(diǎn)(ν1，ν2，ν3)的直線。

2.3 機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的三維姿態(tài)變換對(duì)應(yīng)于剛體位于SO(3)上的姿態(tài)變換，因此，可將剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。但是，如前所述，該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)存在復(fù)雜的奇異位形，而機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中應(yīng)規(guī)避奇異位形。若直接將內(nèi)容2.1～2.2的剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于機(jī)構(gòu)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，則機(jī)構(gòu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)路徑可能存在奇異點(diǎn)。因此，有必要基于機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)奇異研究成果，結(jié)合上述剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡求解方法，對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)施時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。為便于闡述，現(xiàn)通過數(shù)值實(shí)例來(lái)說(shuō)明具體操作方法。

若不考慮機(jī)構(gòu)位于位置(0， 0， 4)的姿態(tài)奇異軌跡影響，由式(7)得到機(jī)構(gòu)快速姿態(tài)變換對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)為

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度為

將姿態(tài)軌跡曲線近似無(wú)限小等分成N等份，由式(11)得到動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)軌跡

(1， 0， 0， 0)

(i=0， 1， …， N)

式中：?jiǎn)挝环较蚴噶喀蘪由式(5)得到。

姿態(tài)軌跡(q1，q2，q3)中始終有q2=0。得到機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡Q如圖6所示。

機(jī)構(gòu)力雅可比矩陣的條件數(shù)可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩(wěn)定性，也是反映機(jī)構(gòu)位于相應(yīng)位形時(shí)的運(yùn)動(dòng)及力傳遞性能的一個(gè)重要指標(biāo)，可反映機(jī)構(gòu)遠(yuǎn)離奇異位形的程度。故此處用雅可比矩陣的條件數(shù)來(lái)描述機(jī)構(gòu)的操作性能隨姿態(tài)軌跡的變化情況。圖7描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)隨圖6所示姿態(tài)軌跡的變化趨勢(shì)。

從圖6與圖7可以看出，若根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)起始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)直接求解時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中可能會(huì)通過奇異點(diǎn)，而并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過程中應(yīng)避開奇異點(diǎn)，因此，有必要使機(jī)構(gòu)在不發(fā)生奇異位形的情況下，對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)施無(wú)奇異的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

對(duì)應(yīng)于動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)軌跡為

(1， 0， 0， 0)

(i=0， 1， …，N1)

(i=0， 1， …，N2)

重新規(guī)劃的無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示，圖9描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)大小隨重新規(guī)劃后的姿態(tài)軌跡的變化趨勢(shì)。

3 結(jié)論

1) 以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，描述了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡，對(duì)機(jī)構(gòu)的位于給定位置時(shí)的奇異規(guī)避研究奠定了前期基礎(chǔ)。

2) 基于四元代數(shù)運(yùn)算法則，構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程。

3) 綜合(1)和(2)研究?jī)?nèi)容得到Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法，其能夠確保機(jī)構(gòu)在不會(huì)出現(xiàn)奇異位形的條件下，以時(shí)間最優(yōu)為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)姿態(tài)。

4) 上述無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃很大程度上依賴于對(duì)機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況的觀察，作者下一步將集中于研究三維姿態(tài)空間內(nèi)的自動(dòng)搜尋并得到時(shí)間最優(yōu)無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法。

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(責(zé)任編輯：李 麗)

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《安徽理工大學(xué)學(xué)報(bào)》編輯部

Orientation-singularity Representation and Orientation Singularity-Free Motion Planning Analysis of the Stewart Parallel Mechanism

LI Bao-kun1,2, GUO Yong-cun1, CAO Yi2

(1. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China; 2. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China)

By using the unit quaternion as the orientation parameters, the orientation-singularity for a given position was studied and the method of the orientation-singularity-free motion planning was further explored. Based on the Jacobian matrix of the mechanism, a general symbolic analytical expression describing the orientation-singularity loci based on the quaternion representation for a given position was derived. The orientation kinematic equation and the time optimal orientation trajectory of a rigid body were constructed by using the quaternion algebra theory, respectively. After analyzing the orientation-singularity locus and using the time optimal orientation trajectory of a rigid body, the method of time optimal orientation motion planning of the mechanism was explored. The research achievement enriches the singularity-avoidance of the Stewart parallel mechanism.

parallel mechanism; orientation-singularity; singularity-free; orientation motion planning

2014-11-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075)；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1308085QE78)；安徽理工大學(xué)碩博基金資助項(xiàng)目

李保坤(1982-)，男，安徽舒城人，講師，博士，主要從事于機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人技術(shù)研究。

TP242.2

A

1672-1098(2015)02-0013-07