羅 瓊

(江西財經(jīng)職業(yè)學(xué)院，江西 九江 332000)

論導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

羅 瓊

(江西財經(jīng)職業(yè)學(xué)院，江西 九江 332000)

在如今的知識經(jīng)濟(jì)時代，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用已深入到社會各個領(lǐng)域.高等數(shù)學(xué)中微積分的應(yīng)用就很廣泛，文章就微積分的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用給出闡述和實例分析.

導(dǎo)數(shù)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；邊際分析；彈性分析；優(yōu)化分析

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用不僅遍及所有的科技領(lǐng)域，也滲透到社會各行各業(yè)，深入人們的日常生活和工作之中.高等數(shù)學(xué)中微積分的應(yīng)用就十分廣泛.以下只就微積分的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用略做討論.

1 導(dǎo)數(shù)的概念

2 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 邊際分析

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常用“邊際分析法”來解決經(jīng)濟(jì)管理中的決策優(yōu)化問題.例如，在既定的生產(chǎn)條件下，如何使成本最低或利潤最高等.那么，何謂邊際？又如何進(jìn)行邊際分析？

2.1.1 邊際及其經(jīng)濟(jì)含義

經(jīng)濟(jì)學(xué)中把函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為函數(shù)y=f(x)的邊際函數(shù),記作My.即My=f′(x).稱f′(x0)為函數(shù)y=f(x)在x0處的邊際函數(shù)值,記作My|x=x0.即My|x=x0=f′(x0)[2]48-53.

由此可見，邊際就是微積分中的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的代名詞，指因變量關(guān)于自變量的變化率或者近似等于自變量改變一個單位時，因變量的改變量.例如，邊際收益MR就是R′(Q)，指每增加一單位產(chǎn)品所增加的收入.同樣，還有邊際成本MC=C′(Q)、邊際利潤ML=L′(Q)、邊際需求MQ=Q′(P)等，并且各自都有相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)含義.

2.1.2 邊際成本分析

生產(chǎn)實際中經(jīng)常遇到這樣的問題，在既定的生產(chǎn)條件下，如何達(dá)到成本最低？

顯然，隨著生產(chǎn)過程的持續(xù)，總成本必然不斷增加.因此成本優(yōu)化的目標(biāo)不是總成本，而是平均成本或者邊際成本.

MC>AC時，(AC)′>0，即當(dāng)邊際成本大于平均成本時，平均成本隨產(chǎn)量增加而增加；

MC0，即當(dāng)邊際成本小于平均成本時，平均成本隨產(chǎn)量增加而減少；

MC=AC時，(AC)′=0，即當(dāng)邊際成本等于平均成本時，此時平均成本最低，這就是平均成本最小化的條件.

2.1.3 邊際利潤分析

由經(jīng)濟(jì)學(xué)易知，企業(yè)經(jīng)營處于最優(yōu)狀態(tài)是利潤最大，而利潤函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)，

由極值必要條件和充分條件，得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0，即ML=MR-MC=0，MR=MC；

L″(q)=R″(q)-C″(q)<0，即(MR)′<(MC)′.在現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題中，往往駐點是唯一的，于是生產(chǎn)銷售過程中利潤最大化的充要條件為：MR=MC且(MR)′<(MC)′.這就是完整的利潤最大化原則.

例2 某公司的利潤(元)與日產(chǎn)量(噸)的關(guān)系為L(q)=100q-q2.求出每天生產(chǎn)40噸、50噸、60噸的邊際利潤，并予以經(jīng)濟(jì)解釋(假定產(chǎn)銷平衡).

解ML=L′(q)=100-2q?L′(40)=20,L′(50)=0,L′(60)=-20

這表明當(dāng)日產(chǎn)量為40噸時，若再多產(chǎn)1噸，利潤將增加20元，此時可適當(dāng)多產(chǎn)；當(dāng)日產(chǎn)量為50噸時，再多產(chǎn)1噸，則利潤不增加，這是最優(yōu)產(chǎn)出水平；當(dāng)日產(chǎn)量為60噸時，再多產(chǎn)1噸，利潤將減少20元，此時就要減產(chǎn).

可見，對企業(yè)而言，并非是多銷多創(chuàng)收，多產(chǎn)多增利.因此,在經(jīng)濟(jì)工作中,對邊際問題的正確分析，對企業(yè)決策者做出正確的決策起著十分重要的作用.邊際分析法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中運用極廣，邊際這個概念和邊際分析法的提出被認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)學(xué)方法的一次革命，對推動經(jīng)濟(jì)學(xué)本身的發(fā)展和解決實際經(jīng)濟(jì)問題起到了重大作用.

2.2 彈性分析

先看個實例：某超市甲商品售價10元，降價1元；乙商品售價100元，降價5元.結(jié)果，甲商品的需求量變化較大.原因是甲降價幅度即相對增量(10%)比乙降價幅度(5%)大.

上例說明，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，只研究絕對增量和絕對變化率不能說明問題，還要研究相對增量及相對變化率，此即彈性的概念.

2.2.1 彈性及其經(jīng)濟(jì)含義

可見，函數(shù)的彈性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，它刻畫的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)相對增量及相對變化率的問題，分析的是一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之一會使另一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之幾？反映的是一個經(jīng)濟(jì)變量對另一個相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量變化的敏感程度.

2.2.2 彈性分析

彈性分析是經(jīng)濟(jì)分析中常用的一種方法，比如需求量隨價格變動，當(dāng)價格變化率已知時，需求量變化率為多少[4]5-6.

例3 利用“需求價格彈性”分析價格變動對銷售收益的影響.

解 a. 需求價格彈性(簡稱需求彈性):

b. 彈性分析:

于是得結(jié)論：

① 當(dāng)1+E>0即-10，收入函數(shù)R(p)單調(diào)增加，漲價有利于收益提高.此時|E|<1，稱該商品的需求為低彈性或缺乏彈性.它表示價格變化1%所引起的需求量變化的百分比更小，即需求波動幅度小，適當(dāng)漲價，需求量雖然減少，但減少的幅度小于漲價的幅度，因此，漲價使總收入增加，降價反而使總收入減少.柴米油鹽等生活必需品就屬這種情況.

② 當(dāng)1+E<0即E<-1時，MR<0，收入函數(shù)R(p)單調(diào)減少，降價有利于收益提高.此時|E|>1，稱該商品的需求為高彈性或富有彈性.它表示價格變化1%所引起的需求量變化的百分比更大，即需求波動幅度大，適當(dāng)降價，商品需求量會有較大幅度的增加，從而使總收入增加.煙酒、轎車、化妝品等生活奢侈品多屬此情況.

③ 當(dāng)1+E=0即E=-1時，MR=0，收入函數(shù)R(p)是常數(shù)，收益不隨價格而變化.

此時|E|=1，稱該商品的需求為單位彈性.它表示需求量的變化幅度等于價格的變化幅度，無論降價還是漲價，總收入基本不變.這種商品很少見.

④ 當(dāng)E=0時，q′(p)=0，MR=q= 常數(shù)，收益是需求量的線性函數(shù)，而需求量不隨價格而變化.稱這種商品需求是無彈性的.這種商品也少，商業(yè)用電屬此情況.

由上可知，分析商品的需求價格彈性，對確定或調(diào)整商品的價格以及對收益的預(yù)測都有很大的參考價值.

例4 某商品的需求曲線為Q=120-5p，求價格p=4時的需求價格彈性，并說明怎樣調(diào)整價格才能使總收益增加.

當(dāng)然，不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù)有不同的彈性，如需求價格彈性、供給彈性、收益彈性等等.企業(yè)經(jīng)營者若能對諸多經(jīng)濟(jì)函數(shù)的彈性做出正確地分析與決策，就一定可以為企業(yè)帶來可觀的經(jīng)濟(jì)效益，提升企業(yè)的自身競爭力.

2.3 優(yōu)化分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化問題，如成本最小化、利潤最大化、貯存最優(yōu)化、資源配置最佳化以及經(jīng)濟(jì)效率最大化等等[5]80-82，實際上都是微積分極值原理中的最值問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)里的具體應(yīng)用.

例5 某企業(yè)生產(chǎn)銷售某商品，每天總成本為C元，其中固定成本200，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加10元.該商品的需求函數(shù)為q=50-2P，P為商品售價，q是產(chǎn)銷量，問：該商品如何定價才能使企業(yè)每天利潤最大？對應(yīng)的生產(chǎn)量是多少？

當(dāng)定價為17.5元時，每天的利潤最大，對應(yīng)的生產(chǎn)量為15件.

例6 某店銷售某品牌鞋，每次進(jìn)貨需付訂貨費w=400元，每雙鞋進(jìn)價(包括運費)為c=94元，每雙鞋的貯存費為每月18元，假定鞋的銷售速度均勻，為m=144雙/月.問如何確定進(jìn)貨周期及進(jìn)貨量以使總費用最??？

所以，店家每隔約16天進(jìn)貨一次，每次進(jìn)貨80雙時最劃算.

3 結(jié)語

除了導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，其他微積分知識的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用還有很多，如極限、積分、偏導(dǎo)數(shù)、微分方程等等.隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)軟件的不斷開發(fā)，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模應(yīng)用將更加廣泛.對經(jīng)濟(jì)工作者來說，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，是實現(xiàn)高效決策和科學(xué)決策的重要路徑.

[1] 趙樹媛. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一)·微積分[M]. 3版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.

[2] 何先應(yīng). 實用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社,2010.

[3] 鄒永紅. 淺談高等數(shù)學(xué)中微積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用[J]. 法制與經(jīng)濟(jì)，2009(01).

[4] 尹建華. 應(yīng)用微積分解決一些經(jīng)濟(jì)問題[J]. 承德民族師專學(xué)報，2008(5).

[5] 陳 瑋. 微積分在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題中的應(yīng)用[J]. 淮海工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011(6).

[責(zé)任編輯 迎客松]

Discussion on the Application of Derivative in Economics

LUO Qiong

(JiangxiVocationalCollegeofFinanceandEconomics,Jiujiang332000,China)

At the era of knowledge economy, the application of mathematical knowledge such as calculus has become embedded in broad fields of society. This article will state the application of derivative in economics and analyze the examples.

derivative; economics; marginal analysis; elastic analysis; optimized analysis

2015-04-05

羅 瓊(1967- )，女，湖南江華人，江西財經(jīng)職業(yè)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

1671-8127(2015)02-0001-04

F224

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