霍俊爽，張若東，潘淑霞，邰志艷，董小剛

(1.吉林醫(yī)藥學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，吉林 吉林 132013；2.長春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院，吉林 長春 130012)

基于Gumbel Copula函數(shù)的金融高頻數(shù)據(jù)極大值相依性

霍俊爽1，張若東1，潘淑霞1，邰志艷1，董小剛2

(1.吉林醫(yī)藥學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，吉林 吉林 132013；2.長春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院，吉林 長春 130012)

基于Copula函數(shù)對股指期貨IF1112指數(shù)和上證000 001指數(shù)5 min極大值收益率序列的相依性進(jìn)行了研究，探討了它們微觀結(jié)構(gòu)的相依性.

Copula函數(shù)；Gumbel Copula函數(shù)；極值；相依性

伴隨著金融市場的全球化進(jìn)程，金融市場間的相依性日趨緊密，一個金融市場的波動往往會迅速傳導(dǎo)至其他金融市場.本文從高頻數(shù)據(jù)極值這樣一個全新視角，研究不同金融市場高頻數(shù)據(jù)極值收益率變化的相依性，這對金融資產(chǎn)管理和風(fēng)險控制具有良好的指導(dǎo)意義.

由于金融市場收益率的分布大多數(shù)呈現(xiàn)尖峰厚尾的形態(tài)，所以不能用正態(tài)分布或t分布來描述.而Copula函數(shù)在研究這類數(shù)據(jù)時有明顯優(yōu)勢，本文將利用Gumbel Copula函數(shù)研究不同金融市場高頻數(shù)據(jù)極值的相依性.

1 模型方法與參數(shù)估計

1.1 Gumbel Copula函數(shù)與相依性分析

Gumbel Copula函數(shù)是二元阿基米德Copula函數(shù)族的一員，在金融數(shù)據(jù)的相依性分析中有著重要的應(yīng)用[1-3].

Gumbel Copula函數(shù)的密度函數(shù)呈非對稱性，具有“J”形分布.其上尾部高且下尾部低，下尾部相關(guān)性為零，它能較好地反映變量分布上尾部變化，使上尾部相關(guān)性的變化能夠被快速捕捉到，對牛市時期金融市場之間波動的變化規(guī)律有較好的描述.即兩個金融市場之間向上具有更強(qiáng)的相依性，而難以捕捉到下尾部相關(guān)變化.

1.2GumbelCopula函數(shù)的參數(shù)估計

Genest和Rivest[6]直接利用Kendall系數(shù)τ來估計阿基米德族Copula函數(shù)中的參數(shù)，而不需要求出邊緣分布函數(shù).

設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)為來自聯(lián)合分布H(x，y)的二元觀測值樣本，計算Kendall系數(shù)τ的無偏估計

1.3 Copula模型的檢驗(yàn)

常用的邊緣分布和Copula函數(shù)的檢驗(yàn)方法有K-S檢驗(yàn)、Q-Q圖檢驗(yàn)和卡方檢驗(yàn).本文使用Q-Q圖檢驗(yàn)，即分位數(shù)-分位圖檢驗(yàn)，由變量的實(shí)際分布與變量的指定分布兩組樣本的分位數(shù)組成.若兩組樣本的對應(yīng)分位數(shù)非常接近，則對應(yīng)的Q-Q圖大致呈一條直線，可直觀形象地分析兩種分布的擬合情況；反之，偏離直線，擬合的就比較差.這種方法要求樣本容量要足夠大，否則影響結(jié)果的可靠性[7].

1.4 尾部相依性

尾部相依性能夠反映出當(dāng)一個隨機(jī)變量暴漲或暴跌時，另一隨機(jī)變量也發(fā)生暴漲或暴跌的概率.由Copula函數(shù)的定義和性質(zhì)，可以推導(dǎo)出尾部相依性Copula函數(shù)的表達(dá)式.正尾部相依性為

負(fù)尾部相依性為

其中，α是概率，qα是相應(yīng)于α的分位數(shù).所以當(dāng)α→1時，λU=2-2(1/θ)；當(dāng)α→0時，λL=2(-1/θ).

2 實(shí)證分析

主要研究指數(shù)轉(zhuǎn)化為收益率的數(shù)據(jù).選取2011年10月24日至11月18日股指期貨IF1112指數(shù)的5 min內(nèi)最大值(GZD)和上證指數(shù)的5 min內(nèi)最大值(SZD)數(shù)據(jù).把每5 min內(nèi)指數(shù)的最大值PT定義為價格，收益率定義為rt=100×ln(Pt/Pt-1).選取同期交易的數(shù)據(jù)構(gòu)成兩個序列，每個序列有效數(shù)據(jù)1 200個.本文中使用了Eviews，SPSS，Matlab等軟件計算和繪圖.

2.1 極值收益率序列的波動圖

利用Eviews軟件計算并繪制極值收益率序列的波動圖，見圖1(橫坐標(biāo)表示時間，每5 min為一個觀測點(diǎn)).

圖1 GZD和SZD收益率序列波動圖

從圖1中不難看出，對應(yīng)的極值收益率序列波動具有一致性，即股指期貨的收益率序列上漲或下降時，對應(yīng)的上證指數(shù)收益率序列也上漲或下降，并且有顯著的集群效應(yīng).初步說明我國股指期貨市場與股票市場之間的極值收益率序列之間有較強(qiáng)的相依性.針對各個序列統(tǒng)計分析可得其統(tǒng)計量，如表1所示.

表1 極值收益率序列的統(tǒng)計量

從極值收益率序列樣本的統(tǒng)計量不難看出：SZD收益率序列、GZD收益率序列都出現(xiàn)了右偏；SZD收益率序列、GZD收益率序列的J-B統(tǒng)計量分別為26 793.97，12 949.09，都拒絕了正態(tài)分布的假設(shè).

利用SPSS17.0軟件求得GZD與SZD收益率序列的相關(guān)系數(shù)τ=0.53，雙側(cè)檢驗(yàn)的顯著概率小于0.01，相關(guān)性顯著.由τ與θ之間的關(guān)系計算參數(shù)θ=2.128.對于GZD與SZD收益率序列，參數(shù)θ在Gumbel Copula函數(shù)的參數(shù)定義域中.

2.3 檢驗(yàn)Gumbel Copula函數(shù)

已求出參數(shù)θ的估計值，但是Gumbel Copula函數(shù)能否描述GZD與SZD收益率序列之間的相依性，還需檢驗(yàn).下面用均勻分布的Q-Q圖進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果見圖2.

從圖2中可以看出Q-Q圖大致呈一條直線，可直觀形象地分析兩種分布的擬合情況，說明Gumbel Copula函數(shù)非常適合描述最大值收益率序列的相依性.

2.4 尾部相關(guān)性

2.4.1 最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)分布散點(diǎn)圖

首先， 我們通過收益率序列最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)分布得到的序列散點(diǎn)圖，觀察一下對應(yīng)極值的尾部相關(guān)性，見圖3.

圖2 收益率的Gumbel Copula函數(shù)Q-Q圖檢驗(yàn)

圖3 GZD與SZD對應(yīng)收益率序列最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)分布散點(diǎn)圖

從圖3中我們可以看出GZD與SZD對應(yīng)收益率序列最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)分布散點(diǎn)圖都具有很強(qiáng)的尾部相關(guān)性.

2.4.2 GZD與SZD收益率的相依性

利用Gumbel Copula函數(shù)計算上尾相關(guān)系數(shù)得：當(dāng)α=0.925時，λU=0.635 3；當(dāng)α=0.975時，λU=0.621 7；當(dāng)α=0.995時，λU=0.616 3；當(dāng)α→1時，λU= 0.615 0.

當(dāng)GZD收益率超過q0.925，q0.975，q0.995時，SZD收益率超過對應(yīng)的分位數(shù)的概率是0.635 3，0.621 7，0.616 3，都大于0.075，0.025，0.005，由此得出GZD與SZD收益率序列有很大的上尾部相依性.通過研究上尾部相依性，得到GZD收益率發(fā)生較大程度的波動時，SZD收益率發(fā)生大幅度變化的概率是很大的.

3 結(jié)論

通過實(shí)證研究我們發(fā)現(xiàn)，GZD與SZD收益率序列有很大的上尾部相依性.即GZD暴漲時，SZD的相依性會增強(qiáng)，但下跌時相依性減弱.此結(jié)論與股指期貨推出后我國股指期貨與上證指數(shù)之間的實(shí)際走勢基本吻合.從投資者投資行為上分析，可得其心理歷程：投資者看到股指期貨指數(shù)暴漲時，大多數(shù)投資者認(rèn)為大部分投資者一致看好后市，都開始買入股票，從而使得上證指數(shù)也隨著暴漲；而股指期貨指數(shù)暴跌時，大多數(shù)投資者惜售從而導(dǎo)致上證指數(shù)不會暴跌，或暴跌滯后[8].

[1] GUMBEL E J. Bivariate exponential distributions [J]. Journal of American Statistical Association，1960，55:698-707.

[2] CLAYTON D G. A model for association in Bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence [J].Biometrika，1978，65:141-151.

[3] EMBRECHTS P，LINDSKOG C. Modeling dependence with copulas and applications to risk management [M]. Switzerland：Dept Math，2001：55-58

[4] FREES E W，VALDEZ E A. Understanding relationships using copulas[J].North American actuarial journal，1998，2(1):31-55.

[5] GENEST C，RIVEST L P. Statistical inference procedures for bivariate archimedean copulas [J]. Journal of the American Statistical Association，1993，88(423):1034-1043.

[6] HURLIMANN W. Fitting bivariate cumulative returns with copulas [J].Computational Statistics & Data Analysis，2004，45：355-372.

[7] ROCH O.Testing the bivariate distribution of daily equity returns using copulas：an application to the Spanish stock markert[J]. Computational Statistics & Data Analysis，2006，51:1312-1329.

[8] 鄭冬，梁錫坤.附加交易費(fèi)用的動態(tài)投資組合魯棒策略[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，46(2)：30-34.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Extreme interdependency of the high-frequency data in financial markets based on Gumbel Copula fuction

HUO Jun-shuang1，ZHANG Ruo-dong1，PAN Shu-xia1，TAI Zhi-yan1，DONG Xiao-gang2

(1.Department of Mathematics，Jilin Medical College，Jilin 132013，China；2.School of Basic Sciences，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China)

Based on copula function，we mainly do the research on the dependency of the sequences yielded by 5 minutes maximum of index futures IF1112 and SSE 000 001.And explore the interdependence of their microstructure.

copula functions；gumbel copula function；extremum；interdependency

1000-1832(2015)04-0049-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.011

2015-01-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071026);吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(2015393).

霍俊爽(1982—)，男，碩士，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)研究；通訊作者：董小剛(1961—),男，博士，教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

O 212.1 [學(xué)科代碼] 110·2110

A