曾祥遠(yuǎn)，龔勝平，李俊峰，蔣方華，寶音賀西

(清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084)

應(yīng)用太陽帆懸停探測啞鈴形小行星

曾祥遠(yuǎn)，龔勝平，李俊峰，蔣方華，寶音賀西

(清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084)

研究了太陽帆航天器在啞鈴形小行星引力場內(nèi)的懸停探測可行性問題。啞鈴形小行星代表了一類細(xì)長形的小行星，文中首先建立啞鈴形小行星的簡化動力學(xué)模型。針對可變反射面積的太陽帆，給出其在小行星引力場內(nèi)的懸停動力學(xué)方程，并仿真求解了啞鈴形小行星附近的太陽帆可行懸停探測區(qū)域。

啞鈴形小行星；懸停探測；太陽帆

0 引 言

小行星探測是目前航天探測的熱點(diǎn)問題，能夠?yàn)槿祟惲私馓栂灯鹪囱莼忍峁┲匾畔?，將?1世紀(jì)深空探測活動的主要內(nèi)容之一。目前，太陽系內(nèi)已發(fā)現(xiàn)小行星逾70萬顆，小行星的大小、形狀、結(jié)構(gòu)組成、運(yùn)行軌道和自旋狀態(tài)等各不相同，其附近的力學(xué)環(huán)境復(fù)雜多樣。美國于1996年發(fā)射了人類歷史上第一顆小行星探測器NEAR，在不同高度軌道成功繞飛并最終著陸形似馬鈴薯的433 Eros小行星(34.4 km ×11.2 km×11.2 km)[1]。日本于2003年發(fā)射的“隼鳥”號(Hayabusa)航天器探測小行星25143 Itokawa(0.54 km×0.29 km×0.21 km)并采樣返回地球，馬鈴薯形狀的Itokawa尺寸和質(zhì)量較小，航天器需提供主動控制以懸停方式對其進(jìn)行采樣。

上述小行星著陸及采樣返回任務(wù)等，本體系懸停是任務(wù)成敗的關(guān)鍵。小行星懸停探測是航天器與小行星的相對位置保持不變的一種探測方式，分為慣性系懸停(位于太陽與小行星系統(tǒng)的引力平衡點(diǎn)處)和本體系懸停。本體系懸停指航天器在小行星本體系中的位置保持不變，一直處于小行星表面某一特定位置的上空。該技術(shù)是采樣任務(wù)及未來載人登陸小行星等任務(wù)的基礎(chǔ)，在小行星附近復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境中，一般需要主動控制來實(shí)現(xiàn)。

針對傳統(tǒng)航天器，Sawai(2002)[2]和Broschart(2005)[3]等研究了均勻自旋小行星附近的懸?？刂茊栴}，張景瑞等(2013)[4]討論了兩個航天器之間的懸停控制問題，此類懸停探測的時長受制于航天器的在軌燃料。相比于傳統(tǒng)航天器，太陽帆無需燃料消耗，依靠太陽光壓力提供連續(xù)小推力，能夠長期保持軌道穩(wěn)定，在小行星探測中具有明顯的優(yōu)勢。Morrow等(2001)分析了小行星附近的太陽帆動力學(xué)，并討論了可能的探測軌道[5]。Williams(2009)針對小行星的球形簡化模型，分別討論了太陽帆在慣性系和本體系下的可行懸停軌道[6]。上述研究都是針對球形小行星假設(shè)，而小行星的非球形引力場對于其附近的軌道有很大的影響[7]。

本研究采用可變反射面積的理想太陽帆，研究了啞鈴形小行星附近的可行懸停探測區(qū)域。啞鈴形小行星可以代表一類細(xì)長形的小行星，例如216 Kleopatra，243 Ida，4769 Castalia等[8-9]。針對均勻自旋的啞鈴形小行星，抽象出動力學(xué)模型，建立懸停軌道的動力學(xué)方程。應(yīng)用帶有權(quán)重系數(shù)的理想太陽帆光壓模型，分析啞鈴形小行星附近的懸停探測軌道。

1 模型簡化與懸停軌道

1.1 動力學(xué)方程

對于啞鈴形小行星，其平衡點(diǎn)的個數(shù)和分布決定于其自身的物理性能，包括系統(tǒng)質(zhì)量及質(zhì)量分布、外部形狀、大小和自旋周期等。作為初步研究，將啞鈴形小行星簡化為自旋速率相同的端部集中質(zhì)量，即兩個質(zhì)點(diǎn)m1、m2，由長度為d的無質(zhì)量細(xì)桿相連，如圖1所示。通過調(diào)整上述參數(shù)，該簡單模型可以用來近似某些實(shí)際啞鈴形小行星的引力場和引力平衡點(diǎn)的分布情況。為描述太陽帆在小行星附近的運(yùn)動，建立慣性參考系IXYZ和小行星本體系oxyz(又稱“隨體系”或“固連坐標(biāo)系”)，如圖1所示。坐標(biāo)原點(diǎn)位于系統(tǒng)質(zhì)心，IZ軸沿小行星自旋角速度方向，IX軸由m1指向m2，IY軸位于小行星赤道平面內(nèi)且與另外兩軸形成右手系?？紤]到小行星自旋周期與其軌道周期相差在103量級，即小行星自旋一周，入射光在小行星表面的投影偏離初始位置約為0.1°，故可將IXYZ坐標(biāo)系作為慣性參考系。本體系oxyz在任務(wù)初始時刻與慣性系IXYZ重合，之后隨小行星自旋而周期性地旋轉(zhuǎn)。

圖1 小行星本體系和入射光坐標(biāo)系及太陽帆姿態(tài)角示意圖Fig.1 Sketch map of the body-fixed frame and incident light frame with sail attitude angles

太陽帆在均勻自旋小行星本體系oxyz中的動力學(xué)方程為

(1)

式中：r為航天器位置矢量r=[xyz]T；ω為小行星相對慣性系IXYZ的自旋角速度；fSRP為太陽帆光壓加速度；U(r)為小行星引力勢函數(shù)。對自旋偶極子，該勢能函數(shù)為

(2)

式中：μ1和μ2分別為m1和m2的引力常數(shù)；r1和r2分別為太陽帆到兩質(zhì)點(diǎn)的距離(如圖1所示)。

方程(1)一般采用量綱歸一化的形式，時間單位取為ω-1，即小行星自旋一周的時間為2π。長度單位取為d，質(zhì)量單位取為M=m1+m2，此時系統(tǒng)的加速度單位應(yīng)為ω2d。定義μ=m2/ M ，其中μ∈[0， 1]，則m1和m2在ox軸上的位置分別為μ和1-μ，兩個引力常數(shù)則滿足關(guān)系μ1=1-μ 和 μ2=μ。進(jìn)而可得太陽帆在本體系下相對于兩端部質(zhì)點(diǎn)的位置矢量分別為

(3)

將式(2)和式(3)代入方程(1)，可得歸一化的系統(tǒng)動力學(xué)方程，以分量形式表達(dá)為

(4)

式中，V=-(x2+y2)/2-k[(1-μ)/r1+μ/r2]，k=GM/ω2d3。其中：G為引力常數(shù)；k是一個重要的參數(shù)，表征小行星自身引力與離心力的比值，通過改變k的值可以改變小行星附近引力平衡點(diǎn)的分布。文中k取值在1附近，以逼近實(shí)際情況。當(dāng)k=1時，方程(4)與限制性三體問題(CRTBP)中的太陽帆動力學(xué)方程一致。本文研究啞鈴形小行星附近動力學(xué)特性，故取μ>0；同時，由于簡化模型的旋轉(zhuǎn)對稱性，μ>0.5時的情況與1-μ情況旋轉(zhuǎn)π后完全一致。因此，文中μ的研究范圍為(0，0.5]。

對于傳統(tǒng)航天器，方程(4)中右端第二項(xiàng)加速度為零。在本體系中，令方程左側(cè)各項(xiàng)為零，可得系統(tǒng)的引力平衡點(diǎn)，最多5個，在限制性三體問題中稱為拉格朗日點(diǎn)。3個共線平衡點(diǎn)E1、E2和E3滿足如下位置方程[8]

(5)

方程(5)中各系數(shù)分別為

(6)

三個共線平動點(diǎn)所在區(qū)間分別為

(7)

系統(tǒng)另有兩個三角平動點(diǎn)E4和E5，滿足如下位置方程

(8)

可以看到，在上式中當(dāng)k取值為0.125時，兩個三角平動點(diǎn)的oy軸坐標(biāo)均為零，退化至ox軸上同一點(diǎn)。已經(jīng)證明，方程(4)中右端第二項(xiàng)加速度為零時存在廣義能量積分，對應(yīng)一個哈密頓系統(tǒng)，且有

(9)

若式(9)中航天器速度為零，即航天器在小行星本體系中速度為零，可得V=C，C為一個常值，稱為“雅克比積分”。而V=C定義的邊界被稱為“零速度曲面”，將航天器的運(yùn)動限制在V≤C的區(qū)域內(nèi)。圖2給出了兩種不同k值時的引力場分布情況及對應(yīng)零速度曲面，參數(shù)μ的取值為0.5，表示小行星質(zhì)量關(guān)于質(zhì)心對稱分布。

圖2 不同k值時小行星本體系中赤道面內(nèi)(z=0)引力平衡點(diǎn)分布及零速度曲面Fig.2 Distribution of equilibrium points and zero-velocity curves in the equatorial plane (z=0) of the body-fixed frame by varying the value of k

為方便表示太陽帆光壓加速度，定義入射光坐標(biāo)系sexeyez，坐標(biāo)原點(diǎn)位于小行星質(zhì)心，sex軸沿入射光方向，sey軸與慣性系IY軸重合，sez軸與另外兩軸組成右手系。太陽帆光壓加速度在該坐標(biāo)系中表示為

(10)

式中：η是表示簡化光壓模型與實(shí)際太陽帆間差異的參數(shù)，計(jì)算中一般取為0.85[6]；μsun是太陽引力常數(shù)；RAU是小行星與太陽間距離；矢量ex為入射光方向單位矢量；n為太陽帆帆面法向單位矢量；光壓因子β表征著太陽帆光壓加速度與當(dāng)?shù)厝招囊﹂g的比值，其值為1時，光壓加速度約為5.93 mm/s2，已是推進(jìn)能力極強(qiáng)的太陽帆。式(10)中β(t)表示所用太陽帆的反射面積可變，其帆面法向單位矢量n可由圖1中兩個姿態(tài)角表示為

(11)

其中：帆面的傾斜角α和時鐘角δ分別滿足α∈[0， π/2]，δ∈[0， 2π)。

1.2 本體系懸停

對于勻速自旋的啞鈴形小行星，將太陽帆懸停在r處時，由方程(1)可知光壓加速度應(yīng)滿足

(12)

上式中太陽帆位置矢量r可進(jìn)一步表示為

(13)

其中：r為位置矢量模值；λ 和 θ0分別為航天器相對小行星的緯度角和經(jīng)度角 (λ ∈[-π/2，π/2]，θ0∈[0， 2π))。式(10)中定義的光壓加速度在入射光坐標(biāo)系中，要經(jīng)過坐標(biāo)變化才能轉(zhuǎn)換至本體系內(nèi)。根據(jù)各參考坐標(biāo)系定義，從本體系oxyz到慣性系IXYZ的轉(zhuǎn)換矩陣C1(t)以及從慣性系到sexeyez的轉(zhuǎn)換矩陣C2分別為

(14)

其中：φ為太陽相對小行星的緯度角，φ∈[-π/2， π/2)。當(dāng)φ=0時太陽位于小行星赤道面所在平面內(nèi)，當(dāng)φ=π/2時太陽位于小行星南極的上空。式中θ1為赤道面內(nèi)ox軸與IX軸夾角(θ1∈[0， 2π)，θ1=ωt)。式(12)中懸停探測所需的加速度與式(10)中太陽帆實(shí)際能夠提供的加速度應(yīng)相等

(15)

式(15)為三維非線性方程組，包含三個控制變量 [β， α， δ]，無法解析求解。對于位置r處的太陽帆，當(dāng)小行星自轉(zhuǎn)一周時(即θ1∈[0， 2π))，若存在一組控制量 [β， α， δ] 使得式(16)在任意時刻t成立，則懸?？尚?，否則不能懸停。本文采用MinPack-1程序求解式(16)對應(yīng)的非線性方程組。計(jì)算中方程(16)的求解誤差小于10-9。

2 算例

假設(shè)目標(biāo)小行星位于主小行星帶的圓軌道上，軌道半徑為2.7AU，其軌道周期為1 620.5天。小行星自轉(zhuǎn)周期為5.385h，特征長度為1.23km，系統(tǒng)質(zhì)量取為3.0×1012kg。經(jīng)計(jì)算，k值約為1.02，令μ=0.5表示系統(tǒng)質(zhì)量對稱分布。仿真中光壓因子最大值設(shè)為0.353(非理想?yún)?shù)η=0.85)，對應(yīng)光壓加速度最大值約為1.78mm/s2，太陽緯度角暫取為90°。

圖3給出了θ0等于0和π/2時兩個特殊位置處太陽帆的可行懸停區(qū)域，即oxz平面(共線平動點(diǎn))和oyz平面(三角平動點(diǎn))內(nèi)的可行懸停區(qū)域，圖中坐標(biāo)為無量綱化單位?？梢?，應(yīng)用太陽帆后，懸停探測區(qū)域從原來的4個平衡點(diǎn)拓展至三維空間，兩特殊平面內(nèi)可行區(qū)域在平動點(diǎn)E1上空相交于同一點(diǎn)。限于篇幅，此處算例不再作詳細(xì)討論，θ0取其他值情況以及不同小行星參數(shù)下可行懸停區(qū)域留作以后考慮。

圖3 θ0=0和π/2時太陽帆的可行懸停探測區(qū)域及零速度曲面和平衡點(diǎn)分布Fig.3 Feasible area of solar sail hovering flight corresponding to θ0=0 and π/2 along with zero-velocity curves and equilibrium points around the asteroid

3 結(jié) 論

本文以簡化模型研究了啞鈴形小行星附近的懸停探測軌道。針對太陽帆航天器，建立了懸停軌道動力學(xué)方程，所得結(jié)果拓展了小行星附近的懸停軌道可行區(qū)域，將懸停軌道從小行星赤道平面拓展至三維空間。更多關(guān)于小行星不同參數(shù)時的懸停探測分析留作后續(xù)研究。

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[9] Prieto-Llanos T， Gómez-Tierno M A. Stationkeeping at libration points of natural elongated bodies[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1994，17(4):787-794. 作者簡介： 曾祥遠(yuǎn)(1985—)，男，博士，主要研究方向：航天器動力學(xué)與控制、軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)、小天體附近動力學(xué)等。 通信地址：北京市海淀區(qū)清華大學(xué)蒙民偉科技大樓北樓904室(100084) 電話：(010)62773402 E-mail：zxy0985@gmail.com

[責(zé)任編輯：高莎]

Hovering Flight over Elongated Asteroids by Using Solar Sails

ZENG Xiangyuan， GONG Shengping， LI Junfeng， JIANG Fanghua， BAOYIN Hexi

(School of Aerospace Engineering， Tsinghua University， Beijing 100084， China)

The feasibility of hovering flight over elongated asteroids by using solar sails is investigated in this study. Elongated asteroids represent a family of natural elongated bodies. A simple approximate model is first constructed for these elongated asteroids. Dynamic equations of hovering flight are obtained for solar sails with the ability of active sail area control. Numerical simulations are made to illustrate the feasible area of hovering flight in the gravitational field of elongated asteroids．

elongated asteroids; hovering flight; solar sail

2014-11-10

2015-02-10

國家“九七三”計(jì)劃項(xiàng)目(2012CB720004)；清華大學(xué)自主創(chuàng)新基金(20131089268)

P185.7

A

2095-7777(2015)01-0048-05

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.01.007