李鵬程，楊鎖昌，李寶晨，岳智革

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

帶落角約束滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律研究*

李鵬程，楊鎖昌，李寶晨，岳智革

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

反坦克導(dǎo)彈在攻擊目標(biāo)時(shí)，不僅希望得到最小的脫靶量，而且希望以一定的落角命中目標(biāo)，從而使戰(zhàn)斗部充分發(fā)揮其作戰(zhàn)效能，得到最佳毀傷效果。以簡(jiǎn)化后的彈-目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)，改進(jìn)了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，能夠同時(shí)滿足脫靶量和攻擊角度的雙重要求。同時(shí)，制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中綜合采用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法，進(jìn)一步削弱了控制過(guò)程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律針對(duì)不同射程的目標(biāo)保證了較高的命中精度，具有很強(qiáng)的魯棒性。

反坦克導(dǎo)彈；滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律；落角約束；雙曲正切函數(shù)法；變開關(guān)系數(shù)法

0 引言

為了提高反坦克導(dǎo)彈的攻擊效能，傳統(tǒng)的直瞄攻擊已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代作戰(zhàn)需求，需要對(duì)目標(biāo)采取不同落角的垂直攻擊。因此，在進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，不僅對(duì)脫靶量有要求，進(jìn)一步要求導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)的落角，彈著角需要控制在一定范圍內(nèi)，以有效增強(qiáng)毀傷效果。

自從Kim和Grider首次在機(jī)動(dòng)彈頭再入制導(dǎo)的研究中引入落角約束問(wèn)題[1]以來(lái)，一些學(xué)者針對(duì)不同的應(yīng)用背景，不同的理論方法提出了多種具有終端角度約束的導(dǎo)引律，基本上可歸納為最優(yōu)導(dǎo)引律、變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律以及其他類型的導(dǎo)引律[1-12]。基于最優(yōu)理論設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律不受性能指標(biāo)和終端約束的限制，理想情況下具有最佳制導(dǎo)性能，但其依賴于各種假設(shè)與簡(jiǎn)化，應(yīng)用與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)魯棒性較差[1-6]。帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律制導(dǎo)形式較簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，但是對(duì)導(dǎo)航信息偏差的敏感性較低，導(dǎo)致制導(dǎo)精度不高[7-8]。由于滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性，加之控制算法比較簡(jiǎn)單，近年來(lái)，變結(jié)構(gòu)控制理論逐步應(yīng)用于導(dǎo)引律設(shè)計(jì)[9-12]。但是其控制過(guò)程中產(chǎn)生的抖振問(wèn)題是不希望出現(xiàn)的，各研究人員也針對(duì)這一問(wèn)題提出了不同的解決方案[9-10]。

本文根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，推導(dǎo)了帶有落角約束的導(dǎo)引律，能夠滿足脫靶量和攻擊角度的雙重要求，并綜合采用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法削弱控制過(guò)程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，有效提高了自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的命中精度。

1 問(wèn)題數(shù)學(xué)描述

1.1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

在建立交戰(zhàn)模型之前做如下假設(shè)：

(1) 導(dǎo)彈和目標(biāo)視作在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，且忽略地球自轉(zhuǎn)的影響；

(2) 導(dǎo)彈和目標(biāo)以常值速率飛行，且導(dǎo)彈速率遠(yuǎn)大于目標(biāo)；

(3) 導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)和自動(dòng)駕駛儀環(huán)節(jié)無(wú)時(shí)延；

(4) 假設(shè)目標(biāo)只在俯仰平面內(nèi)做水平直線運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于縱向攻擊平面，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖如圖1所示。

圖1中，M，T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，r為彈目相對(duì)距離；q為彈目視線角；vM,vT分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度；θM，θT分別為導(dǎo)彈彈道傾角與目標(biāo)航跡角；aM，aT分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的法向加速度；ηM，ηT分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的速度矢量與彈目視線之間的夾角。規(guī)定水平基準(zhǔn)線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到彈目視線上時(shí)q為正，反之為負(fù)。根據(jù)圖中所示的幾何關(guān)系，可以得到以下彈-目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組：

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Target and missile relative motion

(1)

(2)

ηT=θT-q,

(3)

ηM=θM-q,

(4)

(5)

(6)

聯(lián)合式(1) ～(6)可得：

(7)

1.2 落角約束問(wèn)題

vTsin (θT-qD)-vMsin (θD-qD)=0,

(8)

|qD-θD|<π/2.

(9)

式(9)表示導(dǎo)彈快要擊中目標(biāo)時(shí)目標(biāo)在視場(chǎng)范圍內(nèi)。對(duì)于給定的θM和θT，存在唯一的qD滿足式(8),(9)。針對(duì)反坦克導(dǎo)彈目標(biāo)特性，坦克與裝甲車輛基本在水平面保持勻速運(yùn)動(dòng)，即θT=0，則qD，θD變?yōu)榉菚r(shí)變量，且qD≈θD,認(rèn)為此時(shí)期望落角就是期望視線角。

取狀態(tài)變量：

x1=q(t)-qD(t)，

(10)

(11)

當(dāng)狀態(tài)變量x1趨近于0時(shí)，則滿足了彈體以期望落角與目標(biāo)接近的任務(wù)；當(dāng)狀態(tài)變量x2趨近于0時(shí)，則滿足了導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的要求。

(12)

式中：狀態(tài)x1與x2有關(guān)聯(lián)，只要系統(tǒng)狀態(tài)變量x1，x2在有限時(shí)間內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定到零點(diǎn)，導(dǎo)彈就能精確命中目標(biāo)。

2 帶落角約束自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

2.1 具有落角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為使系統(tǒng)狀態(tài)方程(12)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾具有魯棒性，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。制導(dǎo)律需要同時(shí)滿足零脫靶量和末端落角的要求，所以選取滑模面的切換函數(shù)為

(13)

結(jié)合文獻(xiàn)[7]的趨近律形式，為保證到達(dá)條件和良好的動(dòng)態(tài)特性，本文采用滑模面的趨近律為

(14)

式中：k3，ε分別為趨近律系數(shù)和開關(guān)函數(shù)項(xiàng)系數(shù)，k3>0，ε>0。

對(duì)式(13)微分得

(15)

將式(12)和式(14)帶入式(15)，整理可得

k1cosηTaT]/(k1cosηM).

(16)

aM=[vM(2k1+k2+k2k3)x2+εsgns+

(17)

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)于擾動(dòng)具有良好的魯棒性，因此對(duì)彈目距離變化率的近似是可以接受的。

2.2 穩(wěn)定性分析

取一個(gè)Lyapunov函數(shù)V=S2/2>0，對(duì)其求時(shí)間導(dǎo)數(shù)有：

2.3 抖振現(xiàn)象削弱

從理論角度，由于滑動(dòng)模態(tài)可以按需要設(shè)計(jì)，而且系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)與控制對(duì)象的參數(shù)變化和系統(tǒng)的外干擾無(wú)關(guān)，因此滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的魯棒性要比一般常規(guī)的連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)。但是滑模變結(jié)構(gòu)控制在本質(zhì)上的不連續(xù)開關(guān)特性將會(huì)引起系統(tǒng)的抖振。其產(chǎn)生的主要原因有開關(guān)在時(shí)間和空間上的滯后，以及系統(tǒng)慣性的影響。抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致導(dǎo)彈命中精度降低。在變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律研究中，目前常用飽和函數(shù)法、變開關(guān)系數(shù)法或雙曲正切函數(shù)法等削弱抖振現(xiàn)象產(chǎn)生的影響。

(1) 雙曲正切函數(shù)法

雙曲正切曲線y=tanhx具有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，原點(diǎn)處曲線斜率為1，并以y=±1為漸近線的特性，如圖2所示。

圖2 雙曲正切函數(shù)y=tanh x的曲線軌跡Fig.2 Curve of the hyperbolic tangent function y=tanh x

由圖2可以看出，通過(guò)改變雙曲正切函數(shù)曲線在原點(diǎn)處的曲線斜率，雙曲正切函數(shù)曲線可以很好地逼近符號(hào)函數(shù)。因此通過(guò)引入式(18)來(lái)消除變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律中所存在的抖動(dòng)問(wèn)題。

(18)

式中：ξ>0，調(diào)整ξ的取值，可以改變雙曲正切曲線在原點(diǎn)處的斜率。

(2) 飽和函數(shù)法

飽和函數(shù)法是將不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)連續(xù)化，其表達(dá)式為

(19)

式中：δ>0，稱為邊界層厚度，也稱消顫因子。當(dāng)δ較小時(shí)，擁有較高的魯棒性。由于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中存在較大的時(shí)間滯后，需要δ比較大。

(3) 變開關(guān)系數(shù)法

若式(14)中ε選擇較小的值，狀態(tài)變量接近切換面時(shí)的速率較小，可有效減小抖振幅度；但若ε值過(guò)小，會(huì)導(dǎo)致到達(dá)切換面的時(shí)間趨向于無(wú)窮大，系統(tǒng)將不再是滑動(dòng)模態(tài)控制系統(tǒng)。

從綜合控制抖振現(xiàn)象和到達(dá)切換面的時(shí)間2個(gè)方面考慮，需要設(shè)計(jì)的ε隨著接近切換面而逐漸減小。本文將ε設(shè)計(jì)改進(jìn)為隨r逐漸減小的變量，即隨著導(dǎo)彈飛向目標(biāo)，ε也隨之減小。ε的表達(dá)式為

ε=ar+b，

(20)

式中：a，b>0,a，b的大小根據(jù)ε的取值及r的變化進(jìn)行。當(dāng)r趨向于0時(shí)，能夠首先確定b的取值，其作用是保證系統(tǒng)在制導(dǎo)的大部分時(shí)間內(nèi)處于滑?？刂葡到y(tǒng)；然后根據(jù)制導(dǎo)開始時(shí)r的最大值和ε的上限確定a的取值，在保證系統(tǒng)可以較快進(jìn)入滑模面的同時(shí)盡量減小抖振幅度。a和b的取值越大，系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度越快，同時(shí)出現(xiàn)抖振的可能性或抖振幅度也會(huì)增大。

之前的研究中多采用上面介紹的方法中的一種來(lái)削弱抖振，取得了一定的效果，但是仍有改進(jìn)的空間，本文在研究中嘗試同時(shí)使用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法進(jìn)行抖振的削弱處理。利用雙曲正切函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)，同時(shí)，將本文設(shè)計(jì)的關(guān)于r的一次函數(shù)形式的ε帶入到導(dǎo)引律公式中，綜合式(17)，(18)，(20)，可得改進(jìn)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制導(dǎo)引律：

(21)

3 仿真與結(jié)果分析

本文對(duì)處于4個(gè)不同距離的目標(biāo)進(jìn)行了仿真，射程分別是300，500，1 000，2 500 m。自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律系數(shù)取值分別為：vM=160 m/s，k1=1，k2=2，k3=1，a=0.1，b=50，ξ=0.1。仿真結(jié)果如圖3～6所示，分別為彈道曲線、彈道傾角曲線、攻角變化曲線、過(guò)載變化曲線，表1所示為彈道數(shù)據(jù)匯總。

圖3 射程-高度曲線Fig.3 Curve of range-height

圖4 射程-彈道傾角曲線Fig.4 Curve of range-ballistic angle

圖5 射程-攻角曲線Fig.5 Curve of range-attack angle

圖6 射程-y過(guò)載曲線Fig.6 Curve of range-Y overload

表1 仿真結(jié)果
Table 1 Simulation result

項(xiàng)目最小射程中間射程最大射程射程/m30050010002500落地傾角/(°)-60．77-59．95-56．61-55最大y過(guò)載-3．79-4．09-1．021．00脫靶量/m0．1670．2510．6401．273

從數(shù)學(xué)仿真的結(jié)果可以看出，本文改進(jìn)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律對(duì)不同距離的目標(biāo)進(jìn)行攻擊時(shí)，可以較好地滿足命中精度和大落角的雙重要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

仿真結(jié)果表明，本文改進(jìn)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)理論的制導(dǎo)律，既能保證脫靶量的要求，又能滿足較大的落角約束，實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的精確打擊。并綜合運(yùn)用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法對(duì)抖振進(jìn)行削弱處理，兼顧系統(tǒng)趨近律和控制抖動(dòng)的需求，具有一定的參考意義。

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Research on Sliding-Mode Variable-Structure Guidance Law with Impact Angle Constraint

LI Peng-cheng,YANG Suo-chang,LI Bao-chen,YUE Zhi-ge

(Mechanical Engineering College, Department of Missilery Engineering,Hebei Shijiazhuang 050003, China)

In order to get the best damage effect of the warhead, anti-tank missiles (ATM) not only depend on the precision (with miss distance as zero), but also on the angle of fall. Based on simplified missile target relative motion model, an improved adaptive sliding-mode variable structure guidance law is designed, which meets the double requirements of miss distance as zero and angle of fall. Meanwhile, the chattering phenomenon of variable structure is weakened by the combination use of hyperbolic tangent function method and variable switching coefficient method. The simulation results show that the designed guidance law has high accuracy and robustness at the time of attacking different range target.

anti-tank missile; sliding-mode variable-structure guidance law; impact angle constraints; hyperbolic tangent function method; variable switching coefficient method

2014-05-20；

2014-06-20

李鵬程(1989-)，男，河北石家莊人。碩士生，研究方向?yàn)閷?dǎo)彈制導(dǎo)與控制。

通信地址：830006 新疆烏魯木齊沙依巴克區(qū)倉(cāng)房溝東路473號(hào) E-mail：lpccole@163.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2015.04.016

TJ765.2

A

1009-086X(2015)-04-0093-06