一、知識(shí)點(diǎn)歸納

1.平均數(shù)：

（1）算術(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中有n個(gè)數(shù)據(jù)，則它們的算術(shù)平均數(shù)為 = .

（2）加權(quán)平均數(shù)：若在一組數(shù)字中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次…xk出現(xiàn)fk次，那么 = 叫做x1，x2，…，xk的加權(quán)平均數(shù).其中，f1，f2，…，fk分別是x1，x2，…，xk的權(quán).

對(duì)權(quán)的理解：反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度.

權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等）.

2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，應(yīng)遵循如下的基本思路：

①將數(shù)據(jù)按照從小到大或者從大到小的順序進(jìn)行排列；②確定數(shù)據(jù)的總數(shù)；③確定總數(shù)的奇偶性；④如果總數(shù)n是一個(gè)奇數(shù)，則中位數(shù)是從左邊起第 個(gè)數(shù)據(jù)；如果總數(shù)n是一個(gè)偶數(shù)，則中位數(shù)是從左邊起第 個(gè)數(shù)據(jù)和第 +1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

4.方差：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是（x1- ）2，（x2- ）2，…，（xn- ）2，我們用它們的平均數(shù)，即用S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2]來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，越穩(wěn)定.

5.平均數(shù)、方差的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：

如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是 ，方差是s2，那么：

（1）一組新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，…，xn+b的平均數(shù)是 +b，方差是s2.

（2）一組新數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)是a ，方差是a2s2.

（3）一組新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)是a +b，方差是a2s2.

二、考點(diǎn)透視

考點(diǎn)1 平均數(shù)的定義

例1 5個(gè)數(shù)據(jù)分別減去100后所得新數(shù)據(jù)為8，6，-2，3，0，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______.

分析：先計(jì)算新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后加100即可.

一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…xn，它們的平均數(shù)記作 ，則 = .

解：根據(jù)定義，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 = =3，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3+100=103.

考點(diǎn)2 平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例2某人上山的平均速度為3km/h，沿原路下山的平均速度為5km/h，上山用1h，則此人上下山的平均速度為（ ）

A.4 km/h B.3.75 km/h

C.3.5 km/h D.4.5 km/h

分析：根據(jù)上山的平均速度和時(shí)間可求得路程，根據(jù)路程和下山的平均速度可求得下山的時(shí)間，然后再用路程除以總時(shí)間即可.

解：根據(jù)題意得，路程s=上山的平均速度v1×上山時(shí)間t1=3km/h×1h=3km，

∴下山時(shí)間t2= = =0.6h

∴平均速度v= =3.75km/h，故選B.

考點(diǎn)3 眾數(shù)的定義及實(shí)際應(yīng)用

例3 為了參加市中學(xué)生籃球運(yùn)動(dòng)會(huì)，一支?；@球隊(duì)準(zhǔn)備購(gòu)買10雙運(yùn)動(dòng)鞋，各種尺碼的統(tǒng)計(jì)如下表所示，作為經(jīng)銷商應(yīng)關(guān)注的是鞋的（ ）.

A.中位數(shù) B.眾數(shù)

C.平均數(shù) D.方差

分析：眾數(shù)常用來(lái)說(shuō)明一組數(shù)據(jù)的一般水平，當(dāng)需要表示“多數(shù)水平”時(shí)，人們最關(guān)注眾數(shù).作為經(jīng)銷商，一定是關(guān)注哪一種型號(hào)的鞋的銷售量最大，用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)來(lái)分析，就是眾數(shù)問(wèn)題.故選B.

考點(diǎn)4 眾數(shù)的計(jì)算

例4 一組數(shù)據(jù)：3，4，9，x，它的平均數(shù)比它唯一的眾數(shù)大1，求x的值.

分析：眾數(shù)可能是3，也可能是4，還可能是9，因此應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論.

解：當(dāng)眾數(shù)是3時(shí)，∵眾數(shù)比平均數(shù)小1，∴ （3+4+9+x）=4，解得x=0.

∵這組數(shù)據(jù)為：3，4，9，0，而數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)，∴x≠0.

當(dāng)眾數(shù)是4時(shí)，∵眾數(shù)比平均數(shù)小1，

∴ （3+4+9+x）=5，解得x=4.

當(dāng)眾數(shù)是9是，∵眾數(shù)比平均數(shù)小1，

∴ （3+4+9+x）=10，解得x=24.

∵這組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)，∴x≠24.

∴x的值為4.

考點(diǎn)5 中位數(shù)的計(jì)算

例5 已知一組數(shù)據(jù)2，1，x，7，3，5，3，2的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）.

A.2 B.2.5 C.3 D.5

分析：要想求出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，應(yīng)遵循如下的基本思路：

①將數(shù)據(jù)按照從小到大或者從大到小的順序進(jìn)行排列；②確定數(shù)據(jù)的總數(shù)；③確定總數(shù)的奇偶性；④如果總數(shù)n是一個(gè)奇數(shù)，則中位數(shù)是從左邊起第 個(gè)數(shù)據(jù)；

如果總數(shù)n是一個(gè)偶數(shù)，則中位數(shù)是從左邊起第 個(gè)數(shù)據(jù)和第 +1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

解：因?yàn)閿?shù)據(jù)2，1，x，7，3，5，3，2的眾數(shù)是2，所以x=2，將數(shù)據(jù)排序?yàn)椋?，2，2，2，3，3，5，7，數(shù)據(jù)總數(shù)8，是一個(gè)偶數(shù)，所以，中位數(shù)是從左邊起第4個(gè)數(shù)據(jù)和第5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即2和3的平均數(shù)，為2.5，故選B.

考點(diǎn)6 中位數(shù)的應(yīng)用

例6 某校七年級(jí)有13名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，這13名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)各不相同，要取前6名參加決賽。小梅已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，她想知道自己能否進(jìn)入決賽，還需要知道這13名同學(xué)成績(jī)的（ ）.

A.中位數(shù) B.眾數(shù)

C.平均數(shù) D.極差

分析：對(duì)于各種比賽，我們所關(guān)注的參賽隊(duì)員成績(jī)的排位通常是按照名次決定的，所以，想知道自己能否進(jìn)入決賽，就得關(guān)注自己的位次.故選A.

考點(diǎn)7 方差的計(jì)算

例7 某段時(shí)間，小芳測(cè)得連續(xù)5天的日最低氣溫后，整理出下表（有兩個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋）.

被遮蓋的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（ ）.

A.3℃，2 B.3℃，

C.2℃，2 D.2℃，

分析：（1）先利用平均數(shù)的定義求出5號(hào)的氣溫.

∵平均數(shù)是1，∴1= ，

解得：x=3，即5號(hào)的氣溫是3℃.

（2）代入方差計(jì)算公式： S2= [（1-1）2+（-1-1）2+（2-1）2+（0-1）2+（3-1）2]=2.

故選A.

考點(diǎn)8 方差的實(shí)際應(yīng)用

例8 為了從甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中選派兩位選手參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，老師對(duì)他們五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出他們的平均分均為85分，且S =100、S =110、S =120、S =90. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，派去參加競(jìng)賽的兩位同學(xué)是（ ）.

A.甲、乙 B.甲、丙

C.甲、丁 D.乙、丙

分析：方差具有甄選功能，考試成績(jī)的方差越小，說(shuō)明考生的成績(jī)?cè)椒€(wěn)定，考生水平的發(fā)揮就越正常.將所有的方差進(jìn)行大小比較，因?yàn)镾 >S >S >S ，所以，最佳人選是甲和丁.故選C.

考點(diǎn)9 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的綜合運(yùn)用

例9 某公司銷售部有營(yíng)銷人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計(jì)了這15人某月的銷售量如下：

（1）求這15位營(yíng)銷人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）假設(shè)銷售負(fù)責(zé)人把每位營(yíng)銷員的月銷售額定為320件，你認(rèn)為是否合理，為什么？如不合理，請(qǐng)你制定一個(gè)較合理的銷售定額，并說(shuō)明理由.

分析：找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè).平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).

解：（1）平均數(shù)是：

=320（件），將表中的數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列，處于中間位置的是210，因而中位數(shù)是210（件），210出現(xiàn)了5次，最多，所以眾數(shù)是210.

（2）不合理.

因?yàn)?5個(gè)人中有13個(gè)人的銷售額不到320件，320件雖是所給一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它卻不能很好地反映銷售人員的一般水平.將銷售額定為210件合適些，因?yàn)?10件既是中位數(shù)又是眾數(shù)，是大部分人能達(dá)到的定額.

2015年第4期《一次函數(shù)》參考答案

1.A；2.A；3.C；4.B；5.2或-7；6.x<-2；

7.（1，4），（3，1）；8.2200；

9.解：（1）由題意知，過(guò)B（0，2），C（1，0）的直線解析式為y=-2x+2；

（2）如圖1，設(shè)y=kx+b與OB交于M（0，h），分△AOB面積為1∶5得：S△OMC= S△OAB，則 ×1×h= × ×2×2，

解得h= ，所以M（0， ），

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥OA交AB于N（a， ），則S△OMC=S△CAN，

∵N（a， ）在直線y=-x+2上，

∴a= ，故N（ ， ），

∴直線CM：y=- x+ ，直線CN：y=2x-2.

10.解：（1）設(shè)乙車所行路程y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b1，

把（2，0）和（10，480）代入，

得2k1+b1=010k1+b1=480，解得k1=60b1=-120，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=60x-120.

（2）由圖可得，交點(diǎn)F表示第二次相遇，F(xiàn)點(diǎn)橫坐標(biāo)為6，此時(shí)y=60×6-120=240，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（6，240），

∴兩車在途中第二次相遇時(shí)，它們距出發(fā)地的路程為240千米.

（3）設(shè)線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b2，把（6，240），（8，480）代入，

得6k2+b2=2408k2+b2=480，解得k2=120b2=-480，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=120x-480.

∴當(dāng)x=4.5時(shí)，y=120×4.5-480=60.

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為60，

∵AB表示因故停車檢修，

∴交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為60.

把y=60代入y=60x-120中，

有60=60x-120，解得x=3，

∴交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，60）.

∵交點(diǎn)P表示第一次相遇，

∴乙車出發(fā)3-2=1小時(shí)，兩車在途中第一次相遇.v