楊友平

摘要：在新課改語境下，數(shù)學思考力培養(yǎng)得到重視。但是，數(shù)學課堂的常態(tài)教學所呈現(xiàn)的學材“程式化”、思維“標準化”、語境“小眾化”、思考“零碎化”等問題制約了學生數(shù)學思考力的培養(yǎng)，教師需進一步檢讀“本質(zhì)”、檢視“形式”、檢行“發(fā)現(xiàn)”，引導學生在數(shù)學學習活動中與“逆境”相應、與“異境”相融、與“我境”相適，讓數(shù)學思考力在“自然境遇”中自由生長。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思考力；自然境遇；自由生長

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）04A-0062-04

一、檢讀“本質(zhì)”：數(shù)學思考力的概念再認識

什么是數(shù)學思考力？數(shù)學思考力實質(zhì)是一種隱性學力。學者論述頗多，且存在認識差異。我們不妨換個角度，嘗試用解構(gòu)策略檢讀一下“思考”、“數(shù)學思考”、“力”等相關(guān)核心概念，以幫助重新認識本質(zhì)要素?！八伎肌币辉~在《現(xiàn)代漢語詞典》中解釋為“進行比較深刻的、周到的思維活動?！薄皵?shù)學思考”是人們在面臨各種問題情境時從數(shù)學的角度去觀察分析問題，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學信息，并運用數(shù)學的知識與方法去解決問題的思考方式。[1]所謂“力”是指學力、能力。日本學者細野真宏認為，“數(shù)學思考力”是一種邏輯運用、本質(zhì)聯(lián)系、信息建立的能力，也就是通過消除自己的偏見，整理思考事物結(jié)構(gòu)的能力。[2]不難看出，“數(shù)學思考力”的特質(zhì)指向其思維性。教師應更多地關(guān)注思考過程中的獨立性、適應性、敏感性等積極要素作用，學會用數(shù)學的思維方式進行思考。

1.關(guān)注思維的獨立性

心智自主是重要的思維特質(zhì)。[3]教師要善于發(fā)揮學生“自我”意識在思考過程中的主體作用力，把思考的選擇權(quán)還給學生，激發(fā)開放的意向與意愿，釋放獨立思考的自由，喚醒學習經(jīng)驗，主動思考發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識及隱含的思想，用數(shù)學的方式去聯(lián)系構(gòu)建“自己意義的”邏輯結(jié)構(gòu)，獨立自主地應對不可預見的現(xiàn)實問題。

2.關(guān)注情境的適應性

數(shù)學思考力形成是師、生與數(shù)學的課堂相遇、相識與相應的過程。無論是建立數(shù)感、符號意識、空間觀念和統(tǒng)計觀念，還是發(fā)展合情推理和演繹推理、形象思維與抽象思維能力，都需要通過參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等發(fā)現(xiàn)活動，建立起“數(shù)學常識”和“問題情境”的聯(lián)系，逐步在數(shù)學形式與發(fā)現(xiàn)活動中積淀生長出數(shù)學思考力。

3.關(guān)注思考的敏感性

敏感性是對某一行為適當性的感知能力，是思維特質(zhì)的重要成分，其積極作用得到學者們的廣泛認同。[4]因此，在教學過程中，教師應關(guān)注思考的敏感性培養(yǎng)，通過充滿了求同與求異、形象與抽象、邏輯與直覺、聯(lián)想與猜想等思維方式的動態(tài)交融、有機統(tǒng)整，引導學生從不同角度思考問題，尋找信息與問題的聯(lián)系，培養(yǎng)他們的思考方向的敏感、信息關(guān)聯(lián)的敏感、非常規(guī)思考的敏感、問題發(fā)現(xiàn)的敏感、復雜思維情境的敏感等，不斷改善思維方式、提高思考水平。

二、檢視“形式”：窺探課堂常態(tài)的數(shù)學思考力“虛實”

法國作家法朗士說：“形式是一只金瓶，思想之花插入其內(nèi)，便可流芳百世。”當下“課改”，以“改課”推進，“改課”的意義并不在形式本身，重要的是形式背后的實質(zhì)變革：學生數(shù)學思考力及問題解決能力等學力是否得到真正提升。教師需要更理性地觀察自己的課堂，檢視靜態(tài)形式下所影射出的動態(tài)思考力的虛實。

1.學材“程式化”：“有思路”未必“有出路”

人們總堅信“有思路就有出路”這一由思考轉(zhuǎn)化為思考力的成功秘訣。但從發(fā)展學力的角度看，這樣的邏輯實現(xiàn)需要一個條件支持：“思路”來自學生自己的思考。意味著在數(shù)學思考轉(zhuǎn)化為數(shù)學思考力過程中，教師為學生提供適合的啟思學材并幫助學生表達自己的數(shù)學思考顯得尤為重要。學材作為思考力轉(zhuǎn)化的重要媒介，對啟思引學、深化探索有重要意義。但是，不少展示課、家常課所呈現(xiàn)的學材都有意無意地透露著現(xiàn)成思路或模式，問題解決幾乎沒有難度?？此七壿嫵尸F(xiàn)的學材使教學更順暢，但同時也暴露了思考被動與發(fā)現(xiàn)單一的另一面。長期思考現(xiàn)成，只會養(yǎng)成惰性思維。這樣的培養(yǎng)方式未必有出路。

2.思維“標準化”：“沒問題”其實“有問題”

熱衷于尋找“標準答案”不知何時成為群體的思維共性，以唯一性與排他性為特征的“標準化”思維無疑成為一種桎梏創(chuàng)造的文化。窺視課堂，我們不難發(fā)現(xiàn)種種思維的“標準化”教學的硬傷。

現(xiàn)象一：質(zhì)疑環(huán)節(jié)“走過場”。對“同學們還有什么疑問嗎？”之類的意見征詢，通常無人問津，課堂上不容易聽到不同聲音，與好奇好問的兒童天性不相符合，與更高質(zhì)量的思考背道而馳。

現(xiàn)象二：思考方式“照這樣”。盡管形式上主張算法多樣化、解法個性化……但最終教師會基于答題風險考慮，對算法、解法作“強勢比較”后，形成統(tǒng)一方式，表面的“尊重”和答題“沒問題”，實質(zhì)難掩思維僵化和思想失自由。

現(xiàn)象三：速求結(jié)果“造公式”。在追求“標準化”的功利驅(qū)動下，一些解決實際問題的習題被教師“額外重用”，提煉推導出一大堆更抽象的“衍生公式”：S環(huán)=（R2-r2）π、S半圓=πr2÷2、C半圓周=πr、C半圓=5.14r等。當數(shù)學思考淪為枯燥推導與符號游戲，所“造公式”只是空有其“殼”，反而會拖累兒童思考與前行。

3.語境“小眾化”：“被思考”實質(zhì)“無成長”

“語言是思維本身的要素。”[5]通過課堂對話所構(gòu)筑起來的語境表征學生思考的結(jié)果，同時也透露出他們在學習中的話語狀態(tài)。數(shù)學課堂本是多樣性思維碰撞與激發(fā)的自由“場域”，但由于教師偏好合乎己意的學生應答，課堂經(jīng)常會被少數(shù)能言善思者“把控”，“小眾化”的“代言”比比皆是。多數(shù)學生在強勢語境中只能淪為旁觀者和迎合者，課堂貌似精彩，實質(zhì)是一種“被思考”形式。這種“無思想”的盲從行為極不利于思考自覺和批判性思維的自由生成。

4.思考“零碎化”：“無整體”帶來“沒力度”

數(shù)學思考是一種數(shù)學化、系統(tǒng)化的思維方式，我們需要把整體思考作為認識的出發(fā)點和歸宿點，幫助學生養(yǎng)成整體思考與構(gòu)建的意識和能力，培養(yǎng)更高層次的思維方式，既要用規(guī)律解釋與推理，又要用辯證聯(lián)系與架構(gòu)。目前，我們的課堂還顯然偏重于“是不是”、“對不對”的對白式“零碎問”，甚至“滿堂問”，缺少來自學生內(nèi)部的“是什么”、“怎么辦”的整體性思考，更缺少“我覺得”、“我發(fā)現(xiàn)”等自悟式思考，難以喚醒學生的自我參與，難以促進系統(tǒng)思考和深層發(fā)現(xiàn)。

三、檢行“發(fā)現(xiàn)”：數(shù)學思考力在“自然境遇”中自由生長

愛默生說：“人，全都是為‘發(fā)現(xiàn)而航行的探尋者”。數(shù)學思考的種子究竟投放到何種境遇里，才能生長出自己的思想，并生發(fā)出能夠驅(qū)動理智行為的數(shù)學思考力呢？形式似乎很多，但歸根結(jié)底要服從教育的“自然適應性”，將數(shù)學知識“形式”與動態(tài)“發(fā)現(xiàn)”有機結(jié)合，面對于“逆境”、立足于“我境”、引發(fā)于“異境”，自由穿行在觀察、感知、發(fā)現(xiàn)、歸納、演繹、構(gòu)建等思維過程中，發(fā)展和增進數(shù)學思考力。

1.“逆境”相應，自己撬開問題的“外殼”

當前對數(shù)學課堂的預設與生成討論頗熱，不可忽略的是：教師要把應對“逆境”作為課堂設計的重要線索。因為，“逆境”思考雖艱辛，但從思考過的地方總會生長出自己的智慧來。如，《圓的周長》教學重點環(huán)節(jié)“探索圓周率”，教師向?qū)W生拋出一個整體性問題，引發(fā)矛盾，在逆境中探究。

第一步：整問留白，引發(fā)“頭腦風暴”。教師在簡要回顧上節(jié)課內(nèi)容，并了解例題3直徑表達輪胎大小規(guī)格的信息后，出示整體性探究問題：王伯伯編了個長31.4米的籬笆，要在門前一大塊空地上圍個盡可能大的圓形菜園，這個圓的規(guī)格（直徑）是多少？請你幫他出主意。

生1：用籬笆直接圍一個圓形。

生2：不行，沒有圓規(guī)的幫忙，不容易圍成圓。

生1：可以先用一根繩子拉直畫個圓再圍嘛。

生3：繩子畫的圓可能太小，也可能超過籬笆的長度。

生4：多畫幾個圓試試就行了。

生5：王伯伯把籬笆圍來圍去太辛苦！

師提示：文具盒里的細線能幫助圍圓嗎？

生6：可以用31.4厘米的細線圍一圍，找找直徑多少就行了。

通過大問題覆蓋所知所感，讓所學知識與經(jīng)驗在“逆境”中思考“突圍”——找合適的直徑，避免問題咀嚼過細，臺階過于細小，反而制約了思考的腳步。

第二步：操作留意，嘗試“直感調(diào)適”。用31.4厘米的棉線最大可圍成直徑多少的圓？學生用直感參與操作思考，嘗試與調(diào)整：先估一估周長與直徑的關(guān)系，再借助圓規(guī)畫圓，用線圍一圍，量一量周長與直徑；棉線有剩余再調(diào)整直徑畫圓……嘗試中用操作、直感、形象等發(fā)現(xiàn)方式探究周長與直徑存在的聯(lián)系。第三步：觀察留心，系統(tǒng)“聯(lián)系信息”。用數(shù)學的眼光觀察是數(shù)學思考的重要特征。學生通過系統(tǒng)收集圓周長與對應直徑的信息，通過計算觀察，發(fā)現(xiàn)“圓周長/直徑的值都是大約3”，在尋找“圍最大的圓”的探索調(diào)整過程中發(fā)展了數(shù)學思考力。

2.“我境”相適，自主構(gòu)建發(fā)現(xiàn)的“意義”

研究表明，數(shù)學思維不是靠傳授而得，必須從“自我”參與下的數(shù)學知識發(fā)現(xiàn)與理解過程中獲得。用王國維先生“有我之境”的觀點就是“以我觀物”、“物皆著我之色彩”。因此，數(shù)學教學中應該基于學生的“我思、我義、我決”之境，引導學生用數(shù)學的眼光審視、用自適的方式發(fā)現(xiàn)、用自己的體驗感悟，達成內(nèi)部與外部的自然相適，體驗思考過程的發(fā)現(xiàn)樂趣與意義感知。如，《長方形和正方形面積計算》教學：

第一步：學材催化，“我”先思一步。學材一：拼一拼，面積變了嗎？拿出6個1cm2的小正方形紙片，觀察感知兩種長方形面積不變。發(fā)現(xiàn)：面積的大小就是單位面積的多少（方格數(shù)）。學材二：數(shù)一數(shù)，面積是多少？呈現(xiàn)長方形方格圖，尋找快捷的數(shù)面積方法。發(fā)現(xiàn)：長方形面積大小取決于長與寬的格數(shù)。學習材料的合理投放能夠有效激活經(jīng)驗背景，支持學生獨立思考，使其廣泛獲得“什么是長方形面積”“面積與長寬相關(guān)”等基本經(jīng)驗。

第二步：問題轉(zhuǎn)化，“我”多想一步。教師出示長6cm寬4cm的長方形，讓學生用小正方形紙片擺一擺算面積?；顒又杏袔讉€學生想到只擺長邊與寬邊求面積，教師肯定“少擺”的智慧后順勢追問：擺的小方格還可以再少嗎？在“少擺”的問題驅(qū)動下引發(fā)全體思考，更多學生生成創(chuàng)見性擺法（圖1），通過“擺滿—少擺—只擺一個”等問題轉(zhuǎn)化，學生發(fā)現(xiàn)用一個方格動態(tài)量一量長邊與寬邊并作標記，同樣可以求長方形面積，讓數(shù)學思考走向抽象與動態(tài)，不斷突破思考層級。

第三步：思考優(yōu)化，“我”少做一步。數(shù)學是模式的科學。教師需要幫助學生在優(yōu)化思考策略中，超越現(xiàn)實情境，從具象走向抽象，從特殊走向一般。教師在第一步與第二步探究基礎上，繼續(xù)引導思考：如果我們要知道教室的面積，還用1平方厘米的小方塊測量合適嗎？該怎么辦？

生1：太不合適了，教室有好幾米長，量幾百次，人都要累趴下啦。

生2：用1平方米的小方塊量合適。

師：1平方米的方塊小嗎？（笑）用這樣的大方塊量面積就方便嗎？觀察一下前面方法，有什么求長方形面積的捷徑？

生3：都是量出長方形的長和寬里各有幾塊方格，再用方格數(shù)相乘求面積。

生4：我覺得教室面積可以用米尺或卷尺量教室的長和寬是幾米，就知道長邊與寬邊各擺幾個1平方米的“大方塊”了……

通過實際應用中的思考“少操作一步”，以邏輯關(guān)聯(lián)的遞進式探究逐步將求長方形面積模型化，不斷將數(shù)學思考引向深層。

3.“異境”相融，自由感悟隱含的思想

數(shù)學思想是數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和理解過程中最重要之力。只有充分展開知識發(fā)生發(fā)展的過程，通過不同視角、不同立場、不同維度的“異境”探索與視界相融，才能感悟到知識背后的隱含思想與數(shù)學思考的發(fā)現(xiàn)魅力。

策略一：走點“彎路”找“不同”。在一無所知的陌生境遇中，對學生來說是一種“最富成效的學習時刻”，或許就是走向創(chuàng)造的開始。因此，教師不要懼怕學生的方法麻煩甚至易錯，要通過支持學生找“不同”，跳出思維慣性束縛。教學《梯形面積計算》，教師未采用教材思路（指定轉(zhuǎn)化成平行四邊形）操作，而是讓學生利用前面所學自己探尋。學生在沒有“定向”的制約下發(fā)現(xiàn)將任意梯形分割成兩個三角形，也能推導出梯形面積計算公式。引導學生“回頭看”：用“分割法”找一找長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式存在什么聯(lián)系？學生驚奇地發(fā)現(xiàn)：幾種圖形都可以轉(zhuǎn)化成三角形計算面積，而且計算公式都可以看成梯形面積計算公式。不僅在走“彎路”中找到“不同”，還從“不同”中找到“相同”，觸碰模型思想與推理，盡管曲折卻很寶貴。

策略二：換個“角度”尋“更多”。求異思維有多方向與多角度思考等特征。當學生習慣于用一種方法解決數(shù)學問題時，容易造成思維僵化。教師不妨經(jīng)常引導學生換個“角度”思考，聯(lián)系更多儲備知識與經(jīng)驗，尋找更多可能。如指導解題“一輛汽車從甲地開往乙地，4小時行了全程的2/5，照這樣計算，還要幾小時到達乙地？”多數(shù)學生順向思考：（1-2/5）÷（2/5÷4），教師繼續(xù)啟發(fā)：還有其他不同思路嗎？學生換個角度想到更多解法：設未走時間x小時2/5︰4=（1-2/5）︰x；4÷2/5-4；4÷2/5×（1-2/5）；4×（1÷2/5）-4……

策略三：跨越“異境”求“變通”。在一定思維線索下，讓學生的數(shù)學思考在知識間、問題間、層級間的“異境”下自由穿越，有利于促發(fā)學生的直覺性、跳躍性思考，培養(yǎng)思維的變通力。如，六年級數(shù)學活動課，教師設計了一節(jié)《吸塵機器人》：校科技組組裝了一個吸塵機器人，身體是圓柱形，底面直徑40厘米，高10厘米，在長8米寬6米的空曠實驗室內(nèi)作調(diào)試。吸塵機器人的體積是多少？如將側(cè)面與上面刷上防護漆，需要刷多少面積？讓它以每分鐘2米的速度沿著墻壁轉(zhuǎn)一圈需要幾分鐘？如果將教室地面全部吸一遍，還有多少面積吸不到？……從面積到體積、周長到時間、顯性到隱性、靜態(tài)到動態(tài)，跨越在多種“異境”間，感悟著建模、轉(zhuǎn)化、抽象等多種數(shù)學思想，也提升著思考水平。

境遇相適，思考化力。教師需要在數(shù)學“形式”與“發(fā)現(xiàn)”間構(gòu)建思維的橋梁，讓學生置身于一個思維自由、充滿探索與創(chuàng)造的數(shù)學課堂中，學會數(shù)學地思維，不斷在“自然境遇”中生長出靈動思想和思考之力。

參考文獻：

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責任編輯：石萍