柴保明，韓紅雨，陳景禮，張保民

(1.河北工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河北邯鄲 056038;2.河北漢光重工有限責(zé)任公司設(shè)計(jì)所，河北邯鄲 056038)

0 前言

目前，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度分析中可知，現(xiàn)有的分析方法包括有限元分析法、模型解析法、矢量法、性能分析法等。而文中則以螺旋理論為基礎(chǔ)，求取機(jī)構(gòu)的全雅克比矩陣，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上建立剛度模型，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行仿真。得出其各種直觀曲線，驗(yàn)證該并聯(lián)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)預(yù)期運(yùn)動(dòng)的可行性，通過實(shí)例驗(yàn)證剛度理論求導(dǎo)的正確性，從而為今后的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

1 2-RPS＆PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系的建立和機(jī)構(gòu)的實(shí)物圖

建立機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的坐標(biāo)系如圖1所示。

圖中以A、B分別作為ΔA1A2A3、ΔB1B2B3的中心，在固定平臺(tái)上，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立起固定坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，x軸與A1A3平行，y軸與A1A2平行，z軸與ΔA1A2A3所在平面垂直;再以動(dòng)平臺(tái)為基礎(chǔ)，建立以B為坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系B－uvw，假設(shè)無論在何種瞬時(shí)狀態(tài)下，建立的動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系各坐標(biāo)系均平行于固定平臺(tái)坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，各個(gè)坐標(biāo)軸的設(shè)置同上。

圖1 2-RPS＆PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

如圖2所示為3D繪圖軟件Crea.2所構(gòu)建的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的實(shí)物模型圖。

圖2 2-RPS＆PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)物模型

2 基于螺旋理論并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的全雅克比矩陣

基于螺旋理論，運(yùn)動(dòng)螺旋為:

式中:$pi表示第i條支鏈產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)螺旋(i=1，2，3)，且

式中:v，w分別為動(dòng)平臺(tái)的上參考點(diǎn)B的線速度和角速度。

第一條支鏈產(chǎn)生的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋在坐標(biāo)系中表示為:

式中:θj1(j=1，2，3，4，5)表示第一條支鏈的第j個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度;q1表示第一條支鏈主驅(qū)動(dòng)上移動(dòng)副的線速度。

則第一條支鏈的各個(gè)旋量的表達(dá)式如下:

由以上各式以及圖1可知，$11、$21、$31的方向分別與球運(yùn)動(dòng)副的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方向一致，且兩兩互相垂直，$31和$41的方向是一致的，二者均為主動(dòng)副軸線的方向。由圖1可知，$21=$51、$31=$41且$21、$51與$31、$41相垂直，b1=BB1。

根據(jù)螺旋理論的對偶性以及機(jī)構(gòu)的特性可知，第一條支鏈具有一個(gè)約束反螺旋:

將上式以矩陣的形式表達(dá):

式中:Jc1為第一條支鏈的約束雅克比矩陣

其中Jc1作為第一條支鏈對動(dòng)平臺(tái)所施加的約束力螺旋，其方向與此支鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軸線是一致的，作用力在球運(yùn)動(dòng)副的中心上。

假如鎖定第一條支鏈中的移動(dòng)副，則可以得到此支鏈的一個(gè)反螺旋量為:

將上式(9)與(1)作互易積，可得:

將上式以矩陣的形式表達(dá):

式中:Jb1為第一條支鏈的驅(qū)動(dòng)雅克比矩陣

其中Jb1作為第一條支鏈對動(dòng)平臺(tái)所施加的驅(qū)動(dòng)力螺旋與動(dòng)平臺(tái)所施加的約束力螺旋相互垂直。

同理可得:

第二條支鏈產(chǎn)生的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋在坐標(biāo)系中表示為:

第二條支鏈的約束雅克比矩陣為:

第二條支鏈的驅(qū)動(dòng)雅克比矩陣為:

第三條支鏈產(chǎn)生的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋在坐標(biāo)系中表示為:

將上式進(jìn)行綜合計(jì)算，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的約束雅克比矩陣Jc:

由以上各式以及并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的性質(zhì)特征，可得機(jī)構(gòu)中的約束螺旋所構(gòu)成的矩陣秩為3，即在約束系中三個(gè)約束螺旋系是線性不相關(guān)的。

將上式進(jìn)行綜合計(jì)算，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的約束雅克比矩陣Jb:

綜合式(19)和(20)得并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的全雅克比矩陣為J:

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的剛度分析

當(dāng)外力作用于動(dòng)平臺(tái)時(shí)，從而使平臺(tái)產(chǎn)生螺旋變形，則有虛功原理可得:

式中:Δp表示各個(gè)支鏈上的變形;

f表示作用在動(dòng)平臺(tái)的力;

Δx表示動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生的螺旋變形:

τ表示螺旋變形的矢量。

fai表示作用在第i條支鏈上的驅(qū)動(dòng)力;

fci表示作用在第i條支鏈上的約束力;

Δpai表示作用在第i條支鏈上的驅(qū)動(dòng)力方向上的變形;

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在x，y，z軸方向的剛度分量(f=0)

Δpci表示作用在第i條支鏈上的約束力方向上的變形。

由胡克定律可得:

而fa=kaΔpafc=kcΔpc

且JΔx=Δp，可得

式中:k表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全剛度矩陣。

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR的剛度仿真

利用Matlab軟件對并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-RPS＆PSR進(jìn)行剛度的仿真，kx，ky，kz分別為該機(jī)構(gòu)的剛度在x，y，z方向的分量，考慮兩種情況受力與不受力。

由圖3可知，在不受力作用時(shí)，x方向、y方向上的剛度在位形變化時(shí)，隨著桿長的減小而增大，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)中心位置是剛度值是最大的，隨著向邊緣位置的移動(dòng)，機(jī)構(gòu)的剛度則是逐漸在減小;z方向上的剛度在位形變化時(shí)，隨著桿長的減小而增大，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)中心位置是剛度值是最小的，隨著向邊緣位置的移動(dòng)，機(jī)構(gòu)的剛度則是逐漸在增大。

由圖4可知;在受力f作用時(shí)，x方向、y方向上的剛度在位形變化時(shí)，隨著桿長的減小而增大，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)中心位置是剛度值是最小的，隨著向邊緣位置的移動(dòng)，機(jī)構(gòu)的剛度則是逐漸在增大;z方向上的剛度在位形變化時(shí)，隨著桿長的減小而增大，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)中心位置是剛度值是最大的，隨著向邊緣位置的移動(dòng)，機(jī)構(gòu)的剛度則是逐漸在減小。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在x，y，z方向的剛度分量(f=1 000 N)

5 結(jié)論

基于螺旋理論為基礎(chǔ)，去求得機(jī)構(gòu)的全雅克比矩陣，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上建立剛度模型，進(jìn)而通過Matlab對機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行分析，從而為今后的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

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