劉青，倪驍驊，郭祥東

(1.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013;2.鹽城工學(xué)院機(jī)械優(yōu)集學(xué)院，江蘇鹽城 224051;3.安徽理工大學(xué)機(jī)械學(xué)院，安徽淮南 232001)

0 前言

近年來(lái)，對(duì)非線性觀測(cè)器的研究進(jìn)展較大，如:高增益觀測(cè)器，輸出延時(shí)觀測(cè)器［1－2］，但是傳統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器需要對(duì)被觀測(cè)對(duì)象進(jìn)行精確的建模［3］而且抗干擾能力較差［4］。文中采用基于改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)觀測(cè)器逼近系統(tǒng)中未知的非線性部分，大大降低了對(duì)模型的依賴程度以

及狀態(tài)觀測(cè)器的復(fù)雜程度，并在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值自適應(yīng)律中加入了誤差修正項(xiàng)以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾性能。

另外，雖然機(jī)械手一般都裝有高精度傳感器測(cè)量關(guān)節(jié)位置，但是測(cè)得的角速度信號(hào)一般容易受到外界的干擾，使得機(jī)械手在高速運(yùn)動(dòng)或者大負(fù)載運(yùn)行時(shí)出現(xiàn)超調(diào)抖動(dòng)和爬行現(xiàn)象［5－6］，故將該觀測(cè)器與反演控制相結(jié)合，將估計(jì)速度代替實(shí)際速度，可以避免實(shí)際中對(duì)速度信號(hào)的測(cè)量。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下MIMO非線性系統(tǒng):

式中:u∈Rn是系統(tǒng)的控制輸入;y∈Rl為系統(tǒng)的輸出;g(x，u)為系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù);x為被觀察的狀態(tài)變量;A為Hurwitz矩陣。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

基本的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)為:

式中:x^為狀態(tài)x的估計(jì)值;G為狀態(tài)觀測(cè)器的增益;g^(x，u)為g(x，u)的估計(jì)值，由于三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以以任意精度逼近任意的非線性函數(shù)，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其進(jìn)行逼近，則

式中:W與V分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層與隱層的權(quán)值向量;ε為BP網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，x－=[x u]，σ(·)為隱層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)，通常是一個(gè)Sigmoidal函數(shù):

其中:Vi為權(quán)值矩陣V的第i行，)為的第i個(gè)元素。

假設(shè)理想權(quán)值W，V均有界且有:‖W‖F(xiàn)≤WM，‖V‖F(xiàn)≤VM，Sigmoidal函數(shù)也是有界的，即‖σ(Vx－)‖≤σM，那么g(x，u)可以通過(guò)下式來(lái)逼近的逼近可以表示為［7］:

定義狀態(tài)估計(jì)誤差為:x～=x－x^

由式(1)、(2)、(3)可得誤差狀態(tài)方程如下:

其中:

3 穩(wěn)定性分析

3.1 自適應(yīng)律的設(shè)計(jì)

一旦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)確定之后，則應(yīng)該定義適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)規(guī)則來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并被廣泛地應(yīng)用于分類、鑒定、觀測(cè)和控制問(wèn)題中。文中基于改進(jìn)的BP算法提出了一種新的學(xué)習(xí)規(guī)則，并通過(guò)Lyapunov直接法保證其穩(wěn)定性。權(quán)值自適應(yīng)律基于改進(jìn)的BP算法，為保證其魯棒性，可以添加與觀測(cè)誤差有關(guān)的修正項(xiàng)。因此，考慮文獻(xiàn)［8］，基于傳統(tǒng)BP算法的權(quán)值自適應(yīng)律可表達(dá)如下:

式中:ρ1，ρ2＞0為修正因子;J=(1/2)(yTy)為目標(biāo)函數(shù);η1，η2＞0為BP算法的學(xué)習(xí)律。

那么，

其中m，m為隱層神經(jīng)元個(gè)數(shù)。式(9)應(yīng)用動(dòng)態(tài)反向傳播的方法以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來(lái)求解梯度以及。但是這會(huì)使觀測(cè)器變得非常復(fù)雜而且使得實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)該方法變得非常困難。因此文中使用梯度的靜態(tài)近似值，即令=0，將BP算法進(jìn)行改進(jìn)如下:

由式(7)、(8)、(10)可知:式(5)權(quán)值自適應(yīng)律可改寫如下:

于是有定理:對(duì)于式(1)所示的系統(tǒng)以及式(4)所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器，如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為式(11)，那么系統(tǒng)的，即狀態(tài)估計(jì)誤差，權(quán)值估計(jì)誤差以及輸出誤差均有界。

證明:由式(11)知:

3.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為:

以及權(quán)值W，V和Sigmoidal函數(shù)的有界性，可得如下不等式:

利用不等式:

以及式(13)可得:

其中，λmin為矩陣Q的最小特征值，K1=‖l2‖/2。

假設(shè)ρ1≥，ρ2≥(1/‖C‖)

因此，由式(13)和(15)可知:

3.3 收斂性分析

由式(16)知，在半徑為b的空間球體即

下面分析權(quán)值誤差的有界性:式(12)可改寫如下:

通過(guò)合理的選擇矩陣Ac以及學(xué)習(xí)律η1，η2以及修正系數(shù)ρ1，ρ2可以減小估計(jì)誤差的上限b，以使系統(tǒng)達(dá)到更高的精度。

4 反演控制器的設(shè)計(jì)

針對(duì)雙關(guān)節(jié)機(jī)械手，其狀態(tài)方程可以表示為

為了應(yīng)用Backstepping方法，將狀態(tài)觀測(cè)器表示如下:

G=［g1g2］，gi∈R2，針對(duì)式(1)所示的被控對(duì)象，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角位移x1與角速度x2的逼近，因此可以采用估計(jì)值來(lái)代替實(shí)際值x1，x2，在控制中無(wú)需速度信號(hào)的測(cè)量。

對(duì)反演控制器進(jìn)行設(shè)計(jì):

第一步:引入新的誤差狀態(tài)向量:

其中x1d為機(jī)械手的期望運(yùn)動(dòng)軌跡;x2d為虛擬控制量。

故:

針對(duì)式(20)中的第一個(gè)子系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)定義為:

求導(dǎo)得:

若e2=0，則第一個(gè)子系統(tǒng)穩(wěn)定。

第二步，設(shè)計(jì)控制律，使e2→0，由式(21)得

設(shè)計(jì)控制律為:

由于該控制系統(tǒng)是由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器和反演控制器構(gòu)成，因此Lyapunov函數(shù)表達(dá)如下:

L=L0+L1+L2

由前面分析可知:L=L0+L1+L2≤0，即控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

5 仿真實(shí)例

圖1 simulink主程序圖

Simulink框圖如圖1所示，圖2—3中虛線為采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)機(jī)械手的位移，實(shí)線為采用已知機(jī)械手精確模型且不含有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)機(jī)械手的位移。

圖2 關(guān)節(jié)1的觀測(cè)值與跟蹤結(jié)果

圖3 關(guān)節(jié)2的觀測(cè)值與跟蹤結(jié)果

通過(guò)比較由圖4可知，使用狀態(tài)觀測(cè)器后，系統(tǒng)的跟蹤性能略微下降，但是誤差能很快地收斂到0，仍具有很好的位置跟蹤性能。由圖5可知在使用狀態(tài)觀測(cè)器的情況下雖然開(kāi)始時(shí)有略明顯波動(dòng)，但同樣具有很快的響應(yīng)速度。因此所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器具有較好的收斂性能，該控制方法具有較強(qiáng)的跟蹤性能。

圖4 關(guān)節(jié)1的對(duì)比結(jié)果

圖5 關(guān)節(jié)2的對(duì)比結(jié)果

6 結(jié)論

提出了針對(duì)MIMO非線性系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器，基于改進(jìn)的BP算法以及誤差修正項(xiàng)來(lái)設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律，并以此來(lái)保證狀態(tài)估計(jì)誤差的有界性。文中通過(guò)Lyapunov直接法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明了該算法的有效性。

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