郭漢東,張煜晨

在許多科學領域中,很多的問題最終可用非線性發(fā)展方程來描述,因此,尋求非線性發(fā)展方程的精確解成為了非線性領域中的熱門課題之一.可由于非線性方程的復雜性,對于非線性方程還沒有通用的解法.現(xiàn)在發(fā)展的新方法有齊次平衡法[1]、Jacobi橢圓函數(shù)法[2]、雙曲正切函數(shù)展開法[3]等,它們各具特色.最近,劉成仕教授提出了新的求非線性發(fā)展方程精確行波解的方法,即試探方程法[4].其基本思想是把非線性發(fā)展方程約化為初等積分形式來求解.對于Ostrovsky方程[5],利用其他方法已求出了其許多精確解,本文則利用試探方程法給出Ostrovsky方程的新的精確行波解,豐富了其解的系統(tǒng).

1 試探方程法

對于非線性偏微分方程

作行波變換

將式(2)代入式(1)整理可得非線性常微分方程

及u?等其他導數(shù)項.將其代入式(3)中,得到u的多項式G(u),根據(jù)平衡原理確定m的值.令G(u)的系數(shù)都為零,得到一個非線性代數(shù)方程組,解方程組確定出a0,a1,…,am和d的值.

2 求1+1維Ostrovsky方程的精確解

這里求方程

的行波解,做行波變換

將式(6)代入式(5)中,化簡整理可得

由試探方程步驟可知,假設u滿足

將方程(8)兩邊同乘以u'積分一次并取積分常數(shù)為0,得

將方程(8)直接求導得

將式(8)(10)代入方程(7)得到

通過對上式整理,得

根據(jù)齊次平衡原則[6],得到m=2,那么,所取的試探方程為

這時,方程(11)就化簡為

令u的各次項系數(shù)為0,得

由方程組(13),顯然

其中A為任意常數(shù).那么,方程(9)就化簡為

當A≠0時,由式(16)可得[7]

那么相應方程的解為

當A=0時,相應的方程的解為

3 結束語

利用試探方程法求解非線性偏微分方程的精確行波解,雖然得到的解不夠全面,但是求解過程比較快捷、有效.隨著對試探方程法的進一步研究,相信此方法的應用前景會更加廣闊,并能有助于發(fā)現(xiàn)更多復雜的精確解.由于求解非線性偏微分方程精確行波解的方法各具特色,這種方法求出的精確行波解也是用其他方法而得不到的新解.

參考文獻:

[1]范恩貴,張鴻慶.非線性孤子方程的齊次平衡法[J].物理學報,1998,47(3):353-362.

[2]劉式適.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應用[J].物理學報,2001,50(11):2068-2073.

[3]Parkes E J,Duffy B R.Travelling solitary wave solutions to a compound Kd V-Burgers equation[J].Physics Letters A,1997,229:217-220.

[4]劉成仕.試探方程法及其在非線性發(fā)展方程中的應用[J].物理學報,2005,54(6):2505-2509.

[5]趙展輝,韓松,何曉瑩.應用 (G'/G)-展開法求Ostrovsky方程的精確解[J].廣西工學院學報,2012,23(1):74-81.

[6]王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報:自然科學版,1999,35(3):8-15.

[7]杜興華.非線性數(shù)學物理方程的精確解[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社,2010:11-12.