魏 勇，朱艷英

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島066004;2.燕山大學(xué)里仁學(xué)院，秦皇島066004)

引 言

渦旋光束又稱作暗中空光束或空心光束，即在傳播方向上其中心的光強保持為0［1］。渦旋光束還有其它特殊的光學(xué)特性，包括傳播過程中光強呈現(xiàn)為環(huán)狀分布、具有螺旋形的波前結(jié)構(gòu)、長距離傳播時穩(wěn)定性以及中心暗斑尺寸極小，同時渦旋光束本身不僅具有線性動量還攜帶有軌道角動量以及拓撲荷數(shù)［2-4］。它為空間光學(xué)通信、微生物科學(xué)、數(shù)學(xué)物理以及光學(xué)模擬計算提供了新的研究途徑［5-7］。由于渦旋光束中心的光強為0，這就大大減小了光束沿軸向的散射力，所以用渦旋光束代替高斯激光束來囚禁粒子時，在光束的軸心附近幾乎沒有光透過粒子，這樣不僅可以大幅度提高囚禁粒子的效率，還可以降低光束對生物細胞的熱損傷［8］。目前，人們研究發(fā)現(xiàn)渦旋光束可以作為傳輸信息的載體［9］，利用渦旋光束在自由空間進行信息的傳輸已經(jīng)成為一個新的研究方向。傳統(tǒng)光通信編碼技術(shù)是通過光的偏正態(tài)進行計算，而渦旋光束是利用軌道角動量進行。后者相比之下對傳輸信息的容量［10］實現(xiàn)了極大的提高，并且通過研究表明，根據(jù)渦旋光束軌道角動量實現(xiàn)的光學(xué)編碼技術(shù)其保密性更強［11］，進一步分析了拉蓋爾-高斯光束在大氣湍流中傳輸時的螺旋譜和系統(tǒng)容量等?？梢?，渦旋光束在囚禁和操縱微小粒子、量子信息處理等方面都具有巨大的應(yīng)用前景［12-15］。

長時間以來，關(guān)于渦旋光束的傳輸研究都認為該光束在傳輸過程中會保持較高的穩(wěn)定性，其實渦旋光束在傳播一段距離后，觀察平面上與源平面上的相位分布會出現(xiàn)較大的差異，并且拓撲荷的正負性決定等相位線彎曲的方向，尤其是忽視了對拓撲荷數(shù)為分數(shù)情況的討論。本文中主要針對渦旋光束在傳輸過程中的相位變化進行理論推導(dǎo)，在通過MALAB數(shù)值模擬的前提下，分析了渦旋光束在不同觀察平面和正負拓撲荷時的相位變化情況，尤其是對整數(shù)階與分數(shù)階相位奇點的穩(wěn)定性進行了比較，該結(jié)論對光信息編碼時的遠距離傳輸選擇有理論參考價值。

1 渦旋光束的傳播理論

沿著z軸傳輸?shù)母咚构馐?jīng)過擴束系統(tǒng)射入螺旋相位板后，出射光束就是拉蓋爾-高斯渦旋光束［1］。在螺旋相位板出射面z=0處的光場可以表示為:

式中，E0(ρ/σ)是初始強度，σ為光束的光斑尺寸，l為拓撲荷數(shù)，可以取整數(shù)或者分數(shù)，ρ和φ分別表示極徑和極角。渦旋光束的波前具有螺旋形相位結(jié)構(gòu)，在源平面處其等相位線呈發(fā)散的射線狀出射。利用自由空間傳輸時的菲涅耳衍射公式，傳輸一定距離后的渦旋光場分布為:

式中，k=2π/λ為波矢的大小。如圖1所示，螺旋相位板為源平面(z=0)，其坐標用(x'，y')表示，經(jīng)螺旋相位板出射的即為渦旋光束，傳輸一定距離z后規(guī)定為光束的觀察平面，其坐標為(x，y)。

Fig.1 Structure diagram of Gaussian beam on the source plane and the observation plane

將(1)式進行極坐標-平面坐標變換后代入(2)式中，其光場分布的表達式為:

通過對(3)式進一步處理為:

為深入分析拉蓋爾-高斯渦旋光束傳輸一定距離后的光場分布，通過(4)式做進一步的變化使其與(1)式相似，其變換后的表達式為:

2 相位分布的模擬分析

當渦旋光束傳輸一定距離z后，由(5)式可以得出，其拓撲荷數(shù)并未改變，只是觀察平面上的光場相位分布發(fā)生變化。(5)式指數(shù)函數(shù)項中前者表示傳輸項，后者為光束觀察平面上的相位改變。另外，渦旋光束在源平面上(z=0m)的相位分布取決于lθ，即環(huán)繞一周其相位變化為2π的l倍，等相位線是由一系列自光束中心發(fā)出的沿半徑指向的射線［3］所構(gòu)成。通過對源平面的相位分布進行模擬，這里渦旋光束的波長取為λ=632.8nm，其光斑尺寸為σ=0.5mm。圖2所示即為渦旋光束在源平面上的相位分布，取拓撲荷數(shù)分別為l=3和l=4。

Fig.2 Phase distribution of vortex beam on the source plane

拉蓋爾-高斯渦旋光束傳輸一定的距離之后，其光場的相位結(jié)構(gòu)分布取決于下面的式子:

式中，C表示常量。

下面對渦旋光束在觀察平面上(z為任意值)的相位分布進行模擬分析，其中取光束的傳輸距離z=1m。如圖3所示，即為渦旋光束在觀察平面z上的相位分布情況，其中拓撲荷數(shù)分別為l=3和l=4，和圖2中的拓撲荷保持一致。

Fig.3 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is positive

通過圖2與圖3對比發(fā)現(xiàn)，對于任意拓撲數(shù)l的拉蓋爾-高斯渦旋光束，在源平面(z=0m)處的拓撲荷數(shù)l與光場的等相位線的周期數(shù)取得一致，且在源平面上的等相位線都是從原點發(fā)散出的射線。當渦旋光束傳輸一定距離z后，其觀察平面上的等相位線由射線變成了花瓣狀的弧線，并且光束的拓撲荷數(shù)與等相位線的花瓣數(shù)相同，該結(jié)果與理論分析完全一致。

下面討論拓撲荷數(shù)與圖3相反時拉蓋爾-高斯渦旋光束的相位分布，即拓撲荷數(shù)分別變?yōu)閘=－3和l=－4，依然取光束的傳輸距離為z=1m，結(jié)果如圖4所示。通過與圖3二者進行比較可以得出，兩圖中的光場相位分布呈明顯的鏡像對稱關(guān)系，即拓撲荷數(shù)l取正數(shù)時，其光束的等相位線為順時針環(huán)繞彎曲方向，而當拓撲荷數(shù)l為負值時，光束的等相位線變?yōu)槟鏁r針環(huán)繞彎曲方向，二者恰好互為反向。

Fig.4 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is negative

3 相位奇點穩(wěn)定性的討論

渦旋光束在傳輸過程中其中心的光強始終保持為0，則中心處暗核處即為渦旋光束的相位奇點［1］。以前的理論研究得出，相位中心在光束傳播過程中能夠一直穩(wěn)定，通過對低階的渦旋光束進行了實驗驗證，結(jié)果表明，光束在傳輸過程中其暗中空的特性恒定［3］。上述分析都是針對于光束的拓撲荷數(shù)大于1的情況，而對拓撲荷數(shù)是分數(shù)的情況并沒有進行理論和實驗上的討論，其結(jié)論并不嚴密。

渦旋光束在源平面(z=0m)處的光場分布可用(1)式表示，其中拓撲荷數(shù)l可以為任意值，可知l取整數(shù)或者分數(shù)時，在源平面處的中心處光強都為0，即是暗斑，其光斑都為環(huán)狀。通過對源平面處渦旋光束的光強分布進行數(shù)值分析，結(jié)果如圖5所示，其中圖5a和圖5b分別為拓撲荷數(shù)l取整數(shù)和分數(shù)時的光強分布模擬圖，可以看出二者皆為環(huán)狀結(jié)構(gòu)，其中心強度為0。

當渦旋光束拓撲荷l取整數(shù)時，傳輸一定距離后在觀察平面處的光場分布可用(4)式表示。光場的幾何中心(x=0，y=0)處光強仍然保持為0，即為相位奇點的位置。但當拓撲荷數(shù)l取分數(shù)時，(4)式不再適用于表示觀察平面處的光強，通過衍射推導(dǎo)，其光場分布的表達式為:

將(7)式進行坐標轉(zhuǎn)換，其極坐標可以表示為:

由圖5a和圖5c以及圖5b和圖5d分別對比可以得出，當渦旋光束的拓撲荷數(shù)l取整數(shù)時，在觀察平面處的光斑會保持一定尺寸的展寬，且光束的相位奇點穩(wěn)定。而當拓撲荷數(shù)l取小于1的分數(shù)時，渦旋光束在源平面處光束依然會具有對稱性，但在觀察平面處的中心光強不為0，中心為暗核的特點消失，即光束的相位奇點不再具有穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

對利用螺旋相位板獲取渦旋光束在傳播過程中的相位演變情況進行了研究。通過理論分析和數(shù)值模擬，得出渦旋光束在傳輸過程中等相位線的花瓣狀弧線分布以及分數(shù)階光束相位奇點不穩(wěn)定的結(jié)論。近年來，光信息在自由空間的通信技術(shù)發(fā)展迅速，而光信息主要是依賴拓撲荷數(shù)進行代碼的編寫［3，9］，因此渦旋光束在這個技術(shù)領(lǐng)域可以得到廣泛的應(yīng)用。渦旋光束在傳輸一定的距離后，拓撲荷為整數(shù)階渦旋光束的相位具有穩(wěn)定性，因而適合進行光信息的編碼。但是，小于1的分數(shù)階光束的相位奇點由于不再具有穩(wěn)定性，故光束經(jīng)過長遠距離的傳輸后會導(dǎo)致信息光源很難與探測中心對準，因此，光束經(jīng)過長遠距離的傳輸后會出現(xiàn)信息失真現(xiàn)象，所以在進行光信息編碼時，應(yīng)盡量避免使用分數(shù)階的渦旋光束。

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