馮 玲 賀靖軒 何宇杰

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建福州 350116;2.廈門大學(xué)國際學(xué)院，福建廈門 361100)

一、引言

2015年 2月 9日，上證 50ETF 期權(quán)正式上市交易，意味著我國衍生品市場進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段。由于股票交易的賣空限制、交易成本以及資產(chǎn)不完全流動性等因素的存在，現(xiàn)實(shí)的金融市場是不完全的，因此基于完全市場假設(shè)的傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法不能完全適用，而不完全市場中期權(quán)定價(jià)的參數(shù)難以度量。于是，越來越多的學(xué)者從非參數(shù)角度研究期權(quán)定價(jià)。

盡管對期權(quán)的非參數(shù)定價(jià)方法的研究并不少，但絕大多數(shù)都是從期權(quán)的歷史交易價(jià)格出發(fā)來為新期權(quán)定價(jià)。由于市場的不完全性，如果期權(quán)的歷史交易價(jià)格不可靠或者很難得到，僅僅依靠期權(quán)價(jià)格來為新期權(quán)定價(jià)的非參數(shù)方法容易產(chǎn)生定價(jià)偏差。Stutzer 提出了正則定價(jià)方法，也屬于非參數(shù)期權(quán)定價(jià)方法的一種，但它不再嚴(yán)格需要使用期權(quán)的交易價(jià)格來為新的期權(quán)定價(jià)，而是直接從標(biāo)的資產(chǎn)的歷史收益數(shù)據(jù)出發(fā)估計(jì)新期權(quán)的價(jià)格。Stuzer 使用該方法對標(biāo)準(zhǔn)普爾500 指數(shù)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，正則方法估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與使用歷史波動率的Black－Scholes 定價(jià)方法計(jì)算的價(jià)格很接近。［1］Stutzer 和 Chowdhury 通過對芝加哥期貨交易所交易的債券期貨期權(quán)的實(shí)證研究，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法良好的定價(jià)效果。［2］Foster 和Whiteman 就修正的正則定價(jià)法展開了討論。他們分別對債券期貨期權(quán)和在芝加哥期貨交易所交易的大豆期貨期權(quán)進(jìn)行了實(shí)證分析，結(jié)果表明，正則方法均顯示了良好的定價(jià)效果。［3］［4］

Alcock 和 Carmichamel 將 Stuzer 的經(jīng)典正則方法與 Longstaff 和 Schwartz 的最小二乘法相結(jié)合，提出了加權(quán)最小二乘法來為美式期權(quán)定價(jià)，數(shù)值模擬結(jié)果顯示，該方法無論在常數(shù)波動率還是隨機(jī)波動率情況下，都取得了良好的定價(jià)效果和較小的定價(jià)偏差。［5］［6］Liu 和 Guo 用正則方法計(jì)算出了最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度，用此概率構(gòu)造隱含二叉樹，應(yīng)用該樹形結(jié)構(gòu)成功地為美式期權(quán)定價(jià)，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)證分析中，該方法都顯示了優(yōu)于Black－ Scholes 模型和經(jīng)典二叉樹方法的定價(jià)效果。［7］

Gray、Edwards 和 Kalotay 在利用正則方法對歐式期權(quán)定價(jià)時(shí)，加入了一個(gè)交易期權(quán)的價(jià)格信息，構(gòu)建了受約束的正則定價(jià)方法，通過實(shí)證研究表明無約束的正則定價(jià)方法并沒有比 Black－Scholes 定價(jià)模型的表現(xiàn)更好，而加了少數(shù)期權(quán)價(jià)格作為約束條件的正則定價(jià)方法，明顯減少了平均定價(jià)誤差。［8］Alcock 和 Auerswald 通過對美式期權(quán)的實(shí)證研究，證明了加入前一日歐式看漲期權(quán)的價(jià)格信息能提高定價(jià)效果。［9］為了進(jìn)一步檢驗(yàn)受約束正則方法的有效性，Alcock 和Smith 以大量的標(biāo)準(zhǔn)普爾100 指數(shù)交易數(shù)據(jù)為樣本，證明了“隱含波動率微笑”和期限結(jié)構(gòu)的存在，當(dāng)我們使用有期權(quán)價(jià)格信息約束的正則定價(jià)方法時(shí)，定價(jià)效果超過了使用隱含波動率的Black－Scholes 模型，而且比無約束的正則定價(jià)方法顯示出更高的定價(jià)精度。［10］

綜上所述，受約束的非參數(shù)正則定價(jià)方法，在為期權(quán)定價(jià)時(shí)明顯減少了定價(jià)偏差，提高了定價(jià)精度，但國外學(xué)者的研究基本都局限在歐式和美式期權(quán)的定價(jià)上。本文擬將非參數(shù)正則方法拓展到為路徑依賴的奇異期權(quán)定價(jià)，并在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率時(shí)，加入約束條件以提高定價(jià)精度，最終得到路徑依賴型奇異期權(quán)的定價(jià)公式。

二、奇異期權(quán)的受約束正則方法

本文從期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史交易價(jià)格出發(fā)，計(jì)算出歷史收益數(shù)據(jù)，得到真實(shí)世界的概率分布。通過最小叉熵原理，將真實(shí)概率分布轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中性概率分布，并加入期權(quán)價(jià)格信息作為約束條件，以提高計(jì)算精度。最后，結(jié)合路徑依賴型奇異期權(quán)的具體收益形式，得到期權(quán)的定價(jià)公式。

(一)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史收益

采用離散時(shí)間定價(jià)方法時(shí)，對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的觀測頻率是影響定價(jià)精度的一個(gè)重要因素。用t 表示當(dāng)前時(shí)刻，T 表示期權(quán)到期時(shí)刻，將期權(quán)期限T－t 分為N 個(gè)時(shí)間間隔，用tj表示觀測時(shí)刻，?j=1，2，…，N?？疾霱 條股票價(jià)格路徑，則每一條都由(N+1)個(gè)價(jià)格元素組成，即當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格St和在N個(gè)觀測時(shí)刻的價(jià)格

所以，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格和收益率相應(yīng)地由下式表示:

本文假設(shè)這M 條股票價(jià)格路徑在真實(shí)世界中是服從均勻分布的。用表示經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，是真實(shí)分布π 的一個(gè)逼近。

(二)風(fēng)險(xiǎn)中性概率

正則定價(jià)方法的核心是將真實(shí)世界的概率測度轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度。所求的風(fēng)險(xiǎn)中性概率π*(i)，?i=1，2，…，M必須滿足等價(jià)鞅測度的性質(zhì):

這里，r 為無風(fēng)險(xiǎn)利率。真實(shí)的市場是不完全的，可能存在多個(gè)符合條件的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度。因此，找出其中最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度是本方法的關(guān)鍵所在。根據(jù)最小叉熵原理，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度就是在滿足已知條件下，最靠近真實(shí)概率(i)的概率測度，可以通過求最小Kullback－Leibler 距離來得到:

(三)約束條件

期權(quán)價(jià)格中隱含了為新期權(quán)定價(jià)所需要考慮的價(jià)格敏感因素，如果期權(quán)的價(jià)格是可靠且可得的，無疑是對新期權(quán)定價(jià)最有用的信息。因此，一種包含期權(quán)價(jià)格信息，又不僅僅依賴期權(quán)價(jià)格的非參數(shù)定價(jià)方法成為了學(xué)者們的研究方向。Gray和 Newman (2005)，Gray、Edwards 和 Kalotay(2007)、Alcock 和 Auerswald(2008)等學(xué)者的研究表明，如果同標(biāo)的相應(yīng)期權(quán)是被準(zhǔn)確定價(jià)的，將其價(jià)格作為約束條件，加入到新期權(quán)的定價(jià)中，可以提高定價(jià)精度。

本文在為奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)，加入相同標(biāo)的的歐式期權(quán)價(jià)格和美式期權(quán)價(jià)格作為約束條件，排除相應(yīng)的奇異期權(quán)價(jià)格是為了防止循環(huán)計(jì)算。以無股息股票為標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)，其價(jià)格與相同標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)相同。又因?yàn)闅W式看跌期權(quán)和美式看跌期權(quán)的價(jià)格中，所隱含的市場信息相似，為簡化分析，選擇其中一種作為約束。

所以，本文在為路徑依賴型奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)，考慮加入歐式看漲期權(quán)價(jià)格、美式看跌期權(quán)價(jià)格，以及同時(shí)加入這兩種期權(quán)作為約束條件。為得到準(zhǔn)確定價(jià)的同標(biāo)的約束期權(quán)的價(jià)格，本文采用Black－Scholes 模型計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)格Cobs，采用二叉樹方法得到美式看跌期權(quán)價(jià)格Pobs。

加入約束條件后的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度可以通過求解下式得到:

求解公式(5)的拉格朗日函數(shù)為:

上述最優(yōu)化問題的解γ*，在無約束條件下是一個(gè)M 維的列向量;當(dāng)加入一個(gè)約束期權(quán)作為約束條件時(shí)，則變?yōu)镸 行兩列的矩陣γ*={γ1，γ2};當(dāng)同時(shí)加入歐式和美式約束期權(quán)時(shí)，是一個(gè)M 行三列的矩陣，γ*={γ1，γ2，γ3}。

(四)奇異期權(quán)價(jià)格

目前，路徑依賴型奇異期權(quán)主要有三類:亞式期權(quán)、回望期權(quán)和障礙期權(quán)。本文將通過對幾何平均亞式看漲期權(quán)(A)、固定回望看跌期權(quán)(L)和下跌敲出看漲期權(quán)(B)的定價(jià)研究，來說明正則方法對路徑依賴奇異期權(quán)的定價(jià)效果。

根據(jù)前文推導(dǎo)，通過公式(11)得到了與每條股票價(jià)格路徑相對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，將其與奇異期權(quán)在相應(yīng)路徑上的貼現(xiàn)收益相乘，即可得到對期權(quán)價(jià)格的一個(gè)估計(jì):

三、數(shù)值實(shí)驗(yàn)

(一)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格

正則方法直接從標(biāo)的資產(chǎn)的歷史收益數(shù)據(jù)出發(fā)為期權(quán)定價(jià)，所以在進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先需要模擬標(biāo)的資產(chǎn)的“歷史交易價(jià)格”，從而得到收益率數(shù)據(jù)。

在模擬股票價(jià)格路徑時(shí)，假定市場是無摩擦的，標(biāo)的股票不產(chǎn)生股息和紅利，并且利率是常數(shù)。將每一個(gè)交易日作為時(shí)間間隔，每天觀測一次標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，即dt=1/250年。數(shù)值實(shí)驗(yàn)的具體參數(shù)設(shè)定如下:(1)期權(quán)的到期期限T=0.1年、0.3年、0.5年 和 1年;(2)時(shí) 間 間 隔dt=1/250，因此，觀測頻率 N=T/dt(取整數(shù));(3)模擬產(chǎn)生 500 條股票價(jià)格樣本路徑，即M=500;(4)無風(fēng)險(xiǎn)利率 r=6%;(5)漂移率μ=10%，波動率σ=20%;(6)當(dāng)前時(shí)刻即在t=0時(shí)，股票的價(jià)格S0=40 元;(7)障礙期權(quán)的障礙水平H=35。

假設(shè)股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，則

用Matlab 模擬出500 條股票價(jià)格路徑，從而得到股票的“歷史交易價(jià)格”。這里選擇其中10條來說明股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動下的走勢情況(見圖1)。

圖1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑

得到標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)期限內(nèi)的價(jià)格后，根據(jù)公式(1)得到標(biāo)的資產(chǎn)的歷史收益率R(i)tj。這里任意選取3 條模擬路徑，來說明標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格和收益情況，如表1所示:

表1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格及收益率

(二)受約束正則方法求奇異期權(quán)估計(jì)值

分別以歐式看漲期權(quán)、美式看跌期權(quán)，以及同時(shí)加入歐式看漲和美式看跌期權(quán)作為約束條件，來計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率，從而求得奇異期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值。

以歐式看漲期權(quán)作為約束條件時(shí)，拉格朗日乘子 γ*={γ1，γ2}，是一個(gè) 500* 2 的矩陣，行數(shù)等于標(biāo)的資產(chǎn)的路徑條數(shù)M，矩陣的列分別與標(biāo)的資產(chǎn)和約束期權(quán)相對應(yīng)，γ1和γ2是兩個(gè)相互獨(dú)立的M 維列向量:

例如，當(dāng) T=0.5，X/S0=0.9 時(shí)，

根據(jù)公式(13)，即可得到為奇異期權(quán)定價(jià)所需的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)中性測度，它是一個(gè)M 維的列向量，每一個(gè)元素與每一條標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑相對應(yīng)，即賦予每一條價(jià)格路徑一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率:

以美式看跌期權(quán)為約束時(shí)，計(jì)算過程類似上述所示。

同時(shí)加入歐式和美式約束期權(quán)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性概率表示為:

其中:

此時(shí)，用來得到最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度π^ * 的拉格朗日乘數(shù) γ*={γ1，γ2，γ3}是一個(gè) M 行 3 列的矩陣，γ1、γ2和 γ3都是 M 維的列向量。

應(yīng)用Matlab 編程，即可得到各種約束條件和無約束條件下，奇異期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值。

四、定價(jià)效果分析

蒙特卡羅模擬方法在為路徑依賴的奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)，相比其他數(shù)值方法，具有更大的有效性和更高的彈性。只要模擬次數(shù)足夠多，能夠得到穩(wěn)定、理想的定價(jià)結(jié)果。本文將蒙特卡羅模擬方法得到的路徑依賴奇異期權(quán)的價(jià)格作為理論值，來驗(yàn)證受約束正則方法的定價(jià)效果。對每個(gè)期權(quán)進(jìn)行100000 次模擬，為保證模擬結(jié)果的穩(wěn)定性，每一個(gè)期權(quán)價(jià)格都是重復(fù)3 次后得到的平均值。將正則方法計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)格作為估計(jì)值，蒙特卡羅模擬得到期權(quán)價(jià)格作為理論值。如果本文的定價(jià)方法可行，至少應(yīng)取得與蒙特卡羅模擬近似的定價(jià)結(jié)果。

期權(quán)到期期限 T 分別為 0.1、0.3、0.5 和 1年，期權(quán)價(jià)值狀態(tài) X/S0 分別等于 0.8、0.9、1 和1.1，考察在不同到期期限和價(jià)值狀態(tài)下，受約束正則方法的定價(jià)效果。用A 表示幾何平均亞式看漲期權(quán)，L 表示固定回望看跌期權(quán)，B 表示下跌敲出看漲期權(quán)。用 UCAN 表示無約束正則方法，CCANC 表示以歐式看漲期權(quán)為約束的正則方法，CCANP 表示以美式看跌期權(quán)為約束的正則方法，CCANC ＆ P 表示同時(shí)以歐式看漲和美式看跌期權(quán)為約束的正則方法。表2顯示了正則方法得到的估計(jì)值與蒙特卡羅模擬得到的理論值之間的百分比誤差。

表2 奇異期權(quán)的定價(jià)誤差(%)

續(xù)表2

從總體來看，奇異期權(quán)價(jià)格的理論值和估計(jì)值之間的百分比誤差較小，尤其是對價(jià)內(nèi)、平價(jià)的亞式期權(quán)和回望期權(quán)，擬合效果非常好?？梢?，用正則方法為路徑依賴的奇異期權(quán)定價(jià)是可行的。

進(jìn)一步分析，對于幾何平均亞式看漲期權(quán)而言，CCANC ＆ P 的定價(jià)誤差最小，其次是 CCANC，CCANP 并沒有顯示比UCAN 更優(yōu)的定價(jià)效果;觀察固定回望看跌期權(quán)，隨著期權(quán)價(jià)值狀態(tài)從虛值到平值再到實(shí)值的變化，定價(jià)誤差逐漸減小，進(jìn)一步說明正則方法對價(jià)內(nèi)期權(quán)顯示更優(yōu)的定價(jià)效果，且 CCANC ＆ P 對理論值的擬合效果最好，而CCANC 和CCANP 的定價(jià)效果差異不大;對障礙期權(quán)而言，定價(jià)誤差略大于前兩類奇異期權(quán)，CCANC ＆ P 的擬合效果最好。對三類路徑依賴奇異期權(quán)的定價(jià)效果分析可以得到，加入約束條件后，定價(jià)誤差縮小?？梢?，在正則方法中加入同標(biāo)的期權(quán)作為約束，可以有效提高定價(jià)精度。而加了兩種約束期權(quán)價(jià)格的方法定價(jià)效果最好，這也在預(yù)料之中。

用正則方法估計(jì)奇異期權(quán)價(jià)格存在某些方面的不足，當(dāng)期權(quán)價(jià)外很多，價(jià)格很小時(shí)，正則方法不夠敏感，定價(jià)效果不理想。這也可能涉及本文在進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)的定價(jià)精度問題，進(jìn)一步增加模擬次數(shù)M，增加觀測頻率N，可以在一定程度上提高定價(jià)精度。

經(jīng)過比較分析，用正則方法對路徑依賴的奇異期權(quán)定價(jià)是可行的，取得了與蒙特卡羅模擬近似的定價(jià)結(jié)果，尤其對實(shí)值期權(quán)的定價(jià)效果最好。而受約束正則方法的定價(jià)效果優(yōu)于無約束正則方法，尤其是加了歐式看漲和美式看跌兩類約束期權(quán)的正則方法，對理論值的擬合效果最好?？梢姡趥鹘y(tǒng)正則方法上，加入準(zhǔn)確定價(jià)的同標(biāo)的期權(quán)價(jià)格作為約束，可以有效提高定價(jià)精度。

五、結(jié)論

本文的研究，為路徑依賴型奇異期權(quán)的定價(jià)提供了一種可行的選擇。受約束正則方法是一種非參數(shù)期權(quán)定價(jià)方法，不需要提前作關(guān)于波動率、收益分布情況等方面的假設(shè)，直接從期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史交易價(jià)格中得到定價(jià)所需的數(shù)據(jù)，在市場不完全特征明顯的情況下可用于為新期權(quán)定價(jià)，且該方法定價(jià)過程在邏輯上很清晰，容易通過編程實(shí)現(xiàn)。

進(jìn)一步的研究，可以考慮將標(biāo)的資產(chǎn)的流動性指標(biāo)、市場限制條件等其它期權(quán)價(jià)格敏感因素作為約束條件，加入到風(fēng)險(xiǎn)中性概率的計(jì)算中，考察其對定價(jià)效果的影響;也可以通過在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步放寬假設(shè)條件，在更接近現(xiàn)實(shí)市場的情況下進(jìn)行研究。本文在常數(shù)波動率和常數(shù)利率的環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，且采用擴(kuò)散模型來模擬股票價(jià)格路徑，證明了該方法為奇異期權(quán)定價(jià)的可行性。進(jìn)一步的研究，可嘗試使用隨機(jī)過程來刻畫波動率和利率，使用跳－擴(kuò)散模型來模擬股票價(jià)格，以更符合實(shí)際市場的動態(tài)情況，從而進(jìn)一步考察該非參數(shù)方法的適用性。

注釋:

［1］Stutzer，M.，“A simple nonparametric approach to derivative security valuation”，Journal of Finance，vol.51(1996)，pp.1633－1652.

［2］Stutzer，M.，Chowdhury，M.，“A simple nonparametric approach to bond futures option pricing”，Journal of Fixed Income，vol.8(1999)，pp.67－75.

［3］Foster，F(xiàn).D.，Whiteman，C.H.，“An application of Bayesian option pricing to the soybean market”，American Journal of Agricultural Economics，vol.81(1999)，pp.722－ 728.

［4］Foster，F(xiàn).D.，Whiteman，C.H.，“Bayesian prediction，entropy，and option pricing”，Australian Journal of Management，vol.31(2006)，pp.181－206.

［5］Alcock，J.，Carmichael，T.，“Nonparametric American option pricing”，Journal of Futures Markets，vol.28(2008)，pp.717－748.

［6］Longstaff，F(xiàn).，Schwart，E.，“Valuing American options by simulation:A simple least－ squares approach”，Review of Financial Srudes，vol.14(2001)，pp.113－147.

［7］Liu，Q.，Guo，S.，“Canonical distribution，Implied Binominal Tree，and the pricing of American Options”，Journal of Futures Markets，vol.33(2013)，pp.183－198.

［8］Gray，P.，Edwards，S.，Kalotay，E.，“Canonical valuation of options in the presence of stochastic volatility”，Journal of Futures Markets，vol.25(2007)，pp.1－19.

［9］Alcock，J.，Auerswald，D.，“Empirical tests of canonical nonparametrc American option－ pricing methods”，Journal of Futures Markets，vol.30(2010)，pp.509－532.

［10］Alcock，J.，Smith，G.，“Testing alternative measure changes in nonparametric pricing and hedging of European options”，Journal of Futures Markets，vol.34(2013)，pp.320－345.