沈冠軍,馮順山,曹紅松

(1 中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,太原 030051;2 北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

基于高斯偽譜法的有控火箭彈彈道優(yōu)化方法*

沈冠軍1,馮順山2,曹紅松1

(1 中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,太原 030051;2 北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

為了解決有控火箭彈彈道優(yōu)化問題,文中提出一種基于Gauss偽譜法的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。首先在縱向飛行平面內(nèi)建立火箭彈運(yùn)動(dòng)模型,將運(yùn)動(dòng)過程等效為路徑約束,以飛行始末狀態(tài)為邊界約束條件,建立起有控火箭彈彈道優(yōu)化模型?；贕auss偽譜法將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一系列非線性規(guī)劃問題并以序列二次規(guī)劃法求解。最后以某型火箭彈射程為優(yōu)化指標(biāo)進(jìn)行仿真,經(jīng)優(yōu)化后在保持飛行穩(wěn)定的前提下彈道射程明顯增加,表明文中所提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可有效地對(duì)彈道進(jìn)行優(yōu)化,并且具有收斂速度快的特點(diǎn)。

高斯偽譜法;有控火箭彈;彈道優(yōu)化

0 引言

彈道優(yōu)化是火箭彈彈道設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié),通過對(duì)火箭彈彈道軌跡和控制規(guī)律的優(yōu)化,以提高火箭彈的飛行性能。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和最優(yōu)控制理論的發(fā)展,數(shù)值法求解最優(yōu)控制問題逐漸在彈道優(yōu)化中得到了普遍應(yīng)用[1]。文獻(xiàn)[2]應(yīng)用極大值原理求解彈道修正引信彈道優(yōu)化模型,得到了最優(yōu)法向控制量。文獻(xiàn)[3]對(duì)間接法進(jìn)行彈道優(yōu)化時(shí)無法獲得全局最優(yōu)解的缺點(diǎn),提出了一種改進(jìn)方法。間接法獲得解的精度高,但是推導(dǎo)最優(yōu)性條件困難、收斂半徑小、協(xié)狀態(tài)變量初值猜測(cè)困難。為解決間接法在彈道優(yōu)化中的不足,文獻(xiàn)[4]通過序列二次規(guī)劃法求解了參數(shù)化后的助推滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[5]利用Radau偽譜法將助推-滑翔飛行器彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,文獻(xiàn)[6]根據(jù)偽譜法將再入動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程約束,將制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)換為不需要積分的最優(yōu)規(guī)劃問題。

文中結(jié)合Gauss偽譜法無需對(duì)微分方程求解,設(shè)置參數(shù)較少且精度較高的特點(diǎn),建立了有控火箭彈飛行平面內(nèi)彈道優(yōu)化模型,基于Gauss偽譜法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,以序列二次規(guī)劃法對(duì)此非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解,最終得到最優(yōu)控制問題的解,并通過實(shí)例進(jìn)行該方法的驗(yàn)證。

1 運(yùn)動(dòng)模型的建立

文中以一種鴨式布局的簡(jiǎn)易控制火箭彈為研究對(duì)象,其飛行過程如下:當(dāng)火箭彈出炮口后一定時(shí)間,鴨舵張開進(jìn)行控制,舵片的張開改變了火箭彈原來的氣動(dòng)布局而產(chǎn)生不同的氣動(dòng)力,不同的起控時(shí)間和舵片偏轉(zhuǎn)規(guī)律將影響火箭彈飛行性能,文中將舵片偏轉(zhuǎn)作用等效成飛行攻角,以等效攻角的形式在火箭彈縱向飛行平面內(nèi)建立運(yùn)動(dòng)方程組:

(1)

式中:V為飛行速度;θ為彈道傾角;x為射程;y為彈道高;α為飛行攻角;X、Y分別為空氣阻力和升力,可用式X=ρSCdV2/2,Y=ρSCyV2/2表示;S為彈體特征面積;Cd、Cy為阻力系數(shù)和升力系數(shù),計(jì)算中可通過數(shù)據(jù)表格的形式進(jìn)行插值獲得;ρ為大氣密度,大氣模型參考文獻(xiàn)[7]。

2 優(yōu)化問題描述

由式(1)可以看出,當(dāng)火箭彈過彈道頂點(diǎn)進(jìn)入滑翔飛行階段,速度和彈道傾角的大小是影響射程的直接因素,同時(shí)重力的分量也是不可忽略的因素。在滑翔階段開始至結(jié)束[t0,tf]的時(shí)間段內(nèi),通過改變舵偏角大小使火箭彈產(chǎn)生不同的滑翔攻角α以產(chǎn)生足夠的升力減緩彈道傾角的改變,提高火箭彈在空中的滯留時(shí)間,對(duì)提高射程具有一定的影響。優(yōu)化問題可以歸結(jié)為:以射程為優(yōu)化性能指標(biāo),在時(shí)間段[t0,tf]內(nèi),tf終端自由,滿足相關(guān)中間約束與終端約束,尋找攻角的最優(yōu)控制規(guī)律,其實(shí)質(zhì)是一個(gè)終端時(shí)間自由,末段受約束,控制受約束,末值型性能指標(biāo),建立優(yōu)化模型如下:

1)性能指標(biāo):文中以研究火箭彈在給定射角下的最大射程,故性能指標(biāo)為:

(2)

2)狀態(tài)約束:為式(1)縱平面運(yùn)動(dòng)方程;

3)邊界條件:由式(1),滿足以下邊界條件:

(3)

4)控制變量約束:文中以滑翔攻角為控制變量,因控制舵所能產(chǎn)生的滑翔攻角有限,同時(shí)滑翔攻角應(yīng)該滿足彈體在空中的飛行穩(wěn)定性:

(4)

5)起始、終端狀態(tài)

初始條件:V=v0,θ=θ0,x=x0,y=y0

終端約束:V=vtf,θ=θtf,x=xtf,y=ytf

3 優(yōu)化問題求解

3.1 優(yōu)化原理及流程

將彈道優(yōu)化問題看作一般的最優(yōu)控制問題:尋找控制變量u(t)∈Rm,最小化具有一般性的Bolza型性能指標(biāo):

多發(fā)性內(nèi)分泌腫瘤-Ⅱ型是多器官(兩個(gè)或兩個(gè)以上)同時(shí)或者相繼發(fā)生的增生或腫瘤病變,包括甲狀旁腺功能亢進(jìn)、甲狀腺髓樣癌及腎上腺髓質(zhì)病變,屬于染色體顯性遺傳疾病,有研究顯示其有遺傳缺陷的基因位于第l0號(hào)染色體上。文獻(xiàn)資料提示MEN-Ⅱ型患者在甲狀腺、甲狀旁腺疾病出現(xiàn)之后,平均兩年九個(gè)月時(shí)有兒茶酚胺增多病征出現(xiàn)。組織病理檢查并不能區(qū)分腫瘤的良惡性,因此,患者應(yīng)終身隨訪。

(5)

式中,狀態(tài)變量x(t)∈Rn、初始時(shí)間t0和終端時(shí)間tf滿足動(dòng)力學(xué)微分方程約束:

(6)

滿足式(7)邊界條件和式(8)路徑約束:

(7)

(8)

求解優(yōu)化問題應(yīng)對(duì)優(yōu)化問題參數(shù)化,將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成非線性規(guī)劃問題,進(jìn)而采用成熟的序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解。結(jié)合上節(jié)優(yōu)化模型,其求解過程如圖1所示。

圖1 彈道優(yōu)化流程

3.2 優(yōu)化問題參數(shù)化過程

1)將最優(yōu)控制問題的時(shí)間由t∈[t0,tf]離散到τ∈[-1,1],變換如式(9)所示:

(9)

2)選取K個(gè)LG點(diǎn)以及τ0=-1作為離散節(jié)點(diǎn),以(K+1)個(gè)Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)(i=0,…,K)為基函數(shù)來近似狀態(tài)變量的時(shí)間歷程。

(10)

(11)

(12)

3)Gauss偽譜法中的節(jié)點(diǎn)包括配點(diǎn)(τi,…,τk)和初始點(diǎn)τ0≡-1以及終點(diǎn)τf≡1。式(10)未定義終端狀態(tài)X(τf),終端狀態(tài)應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)方程約束:

(13)

將終端狀態(tài)約束條件離散并用Gauss積分近似:

(14)

4)對(duì)式(10)求導(dǎo)可得狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù),將動(dòng)力學(xué)方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束:

(15)

(16)

式中：τk(k=1,…,K)為集合κ中的點(diǎn),而τi(i=1,…,K)屬于集合κ0={τ0,τ1,…,τK}。最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程約束即轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束:

(17)

5)將Bolza型性能指標(biāo)函數(shù)中的積分項(xiàng)用Gauss積分來近似,得到在Gauss偽譜法中的近似性能指標(biāo)函數(shù):

(18)

綜上5個(gè)步驟,Gauss偽譜法將連續(xù)最優(yōu)控制問題離散并轉(zhuǎn)換成為非線性規(guī)劃問題,詳細(xì)的步驟參考文獻(xiàn)[8-9]。

4 仿真實(shí)例

以某小型火箭彈為例,將火箭發(fā)動(dòng)機(jī)主動(dòng)段末速度等效為炮口速度,彈體質(zhì)量m0=14.5 kg,出炮口速度v0=650 m/s,起始射角θ0=45°,氣動(dòng)數(shù)據(jù)通過氣動(dòng)軟件計(jì)算獲得,飛行最大允許攻角|α|≤20°,未經(jīng)優(yōu)化前在此發(fā)射條件下射程為13.14 km,優(yōu)化后應(yīng)使火箭彈射程x≥20 km,落角θ≥40°,落點(diǎn)速度V≥200 m/s,終端時(shí)間自由。

利用上述偽譜法原理,將方程組進(jìn)行參數(shù)化,編制程序,選取插值點(diǎn)數(shù)分別為20、30、50,在計(jì)算機(jī)內(nèi)存為8 G,主頻為2.66 GHz四核環(huán)境下,其耗時(shí)如表1所示。

由表1數(shù)據(jù)得出,優(yōu)化計(jì)算耗時(shí)隨著插值點(diǎn)數(shù)的增加而增加。插值點(diǎn)數(shù)較多,時(shí)間間隔較小,描述控制量的變化情況越細(xì)致,能夠避免在插值點(diǎn)數(shù)較小下描述問題的不精確性,但是插值點(diǎn)數(shù)越多計(jì)算耗時(shí)越多,故需要合理設(shè)置插值點(diǎn)數(shù)滿足一定的精度下所需時(shí)間最少。

圖2和圖3分別為插值點(diǎn)數(shù)為20、30、50的射高曲線和攻角曲線。由圖2中可以看出,在插值點(diǎn)數(shù)為30和50下優(yōu)化后的射高曲線基本一致,而在插值點(diǎn)數(shù)為20下射高曲線無法描述最優(yōu)射高曲線,在20～80 s間具有明顯的偏差。由圖3中攻角曲線可以看出,在時(shí)間20～40 s,隨著點(diǎn)數(shù)增加攻角逐步向最優(yōu)值逼近。

圖2 不同插值點(diǎn)數(shù)下的射高曲線

圖3 不同插值點(diǎn)數(shù)下的攻角曲線

圖4 插值點(diǎn)數(shù)為30的哈密頓函數(shù)

綜合上述,文中選取插值點(diǎn)數(shù)為30,圖4是該優(yōu)化問題的哈密頓函數(shù)曲線,由龐特里亞金極小值定理可知,末端時(shí)間自由的優(yōu)化問題其哈密頓函數(shù)為零。圖4中曲線量級(jí)在10-13證明了此優(yōu)化問題解的最優(yōu)性。

表2為優(yōu)化前后的彈道參數(shù)對(duì)比,由表2可知,優(yōu)化后的彈道最大射程為23 km,落點(diǎn)速度229.84 m/s,落角55°,滿足落點(diǎn)約束條件。

表2 優(yōu)化前后彈道參數(shù)對(duì)比

圖5～圖9為通過高斯偽譜法得到的彈道參數(shù)和未優(yōu)化前的彈道參數(shù)對(duì)比曲線。由圖5射程對(duì)比曲線可知,彈道經(jīng)優(yōu)化后射程明顯增加。由圖6、圖7可知,優(yōu)化后的彈道在彈道頂點(diǎn)處相比原彈道相對(duì)平緩,產(chǎn)生這一現(xiàn)象在于彈道初始段,彈體以一定正攻角飛行產(chǎn)生升力來減緩彈道傾角的改變。當(dāng)火箭彈接近彈道頂點(diǎn)處,控制機(jī)構(gòu)改變飛行攻角,在負(fù)攻角的作用下彈道被拉平。過彈道頂點(diǎn)后,火箭彈在控制機(jī)構(gòu)作用下按正攻角飛行以抵消重力分量,達(dá)到提高射程的目的。

圖5 優(yōu)化前后射程對(duì)比

圖6 優(yōu)化前后射高對(duì)比

圖7 優(yōu)化前后攻角對(duì)比

圖8 優(yōu)化前后彈道傾角對(duì)比

由圖8所示彈道傾角變化曲線可知,在圖7優(yōu)化后的攻角控制律下,彈道傾角相對(duì)未優(yōu)化前變化較緩慢,尤其是在彈體過彈道頂點(diǎn)后,優(yōu)化后的彈道傾角變化率明顯小于未優(yōu)化前,這也從另一方面解釋了圖6中射高相比未優(yōu)化前平直。彈體在正攻角不斷作用下產(chǎn)生向上的升力抵消重力分量從而使圖9中過彈道頂點(diǎn)速度基本維持在一定值。

圖9 優(yōu)化前后速度對(duì)比

在彈道末段,隨著攻角的減小彈體產(chǎn)生的升力減小,引起速度和彈道傾角變化率的增大,如圖8中末段彈道傾角變化現(xiàn)象所示。彈體在過彈道頂點(diǎn)后以較小的彈道傾角進(jìn)行飛行以提高射程,但是較小的落角使得彈體在終點(diǎn)產(chǎn)生跳彈等現(xiàn)象,減小彈體的終點(diǎn)毀傷效能,那么針對(duì)有落角約束的彈道在彈體離地一定距離時(shí),設(shè)置合理的控制規(guī)律以增加彈道傾角的改變以滿足落角約束的要求,從圖中可以看出,在此攻角的控制規(guī)律作用下,彈道傾角的變化規(guī)律是滿足上述要求的。

綜合上述分析并且結(jié)合彈箭飛行知識(shí)可以得出,通過高斯偽譜法優(yōu)化得到的彈道參數(shù)是合理的。

5 結(jié)論

文中基于高斯偽譜法對(duì)常規(guī)有控火箭彈彈道進(jìn)行了優(yōu)化分析,仿真結(jié)果表明,相比間接法該方法能夠快速對(duì)控制變量進(jìn)行求解,并且所求解滿足最優(yōu)控制理論中最優(yōu)解的必要條件;通過合理的選取Gauss插值點(diǎn)數(shù)和建立適當(dāng)?shù)膹椀纼?yōu)化模型,Gauss偽譜法的求解精度和速度能夠?yàn)榛鸺龔椇?jiǎn)易制導(dǎo)中最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提供參考;同時(shí)利用高斯偽譜法對(duì)彈道進(jìn)行優(yōu)化是一種全局搜索方法,很好的避免了火箭彈飛行過程中模型參數(shù)不確定性的干擾,具有很好的魯棒性。

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Trajectory Optimization for Controllable Rockets Based on Gauss Pseudo Spectral Method

SHEN Guanjun1,FENG Shunshan2,CAO Hongsong1

(1 School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China;2 State Key Laboratory of Explosion Science and Technology, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

To solve trajectory optimization problems of controllable rockets, an optimization design method based on Gauss pseudo spectral method was proposed. The motion model of rockets in flight plane was established, the movement of rockets was taken as path constraints, and then the conditions of flight start and end point were taken as boundary constraints, trajectory optimization model was established. This trajectory optimization problem was transformed into a series of nonlinear programming problems based on the Gauss pseudo spectral method and solved by sequential quadratic programming method. Finally, with range as the optimization index, a certain type of rocket was simulated, the trajectory range significantly increased after optimization while the stability of the flight was maintained, which shows the proposed optimization method can effectively optimize trajectory and has a characteristic of fast convergence speed.

Gauss pseudo spectral method; controllable rockets; trajectory optimization

2014-07-17

兵科院支撐基金(62201070503)資助

沈冠軍(1987-),男,浙江長興人,博士研究生,研究方向:彈道優(yōu)化技術(shù)。

TJ013.2

A