☉江蘇省如皋初級中學(xué) 張 偉

類比全等學(xué)相似，基本套路是保證
——李庾南老師“相似三角形的判定”課例賞析

☉江蘇省如皋初級中學(xué) 張 偉

我們知道，當(dāng)前一些初中數(shù)學(xué)教材中對相似三角形的判定都是分幾個(gè)課時(shí)教學(xué)的，然而筆者最近有機(jī)會觀摩全國著名特級教師李庾南老師一節(jié)“相似三角形的判定”公開課時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)李老師通過類比全等三角形的判定方法，在一節(jié)課中把相似三角形的幾種判定方法全部探究出來，并且感覺也很自然，本文記錄這節(jié)課的教學(xué)過程，并附筆者的賞析，提供研討.

一、“相似三角形的判定”教學(xué)過程

1.通過類比、猜想，來啟發(fā)學(xué)生研究“三角形相似的判定”的思路

師：我們研究了全等三角形的定義、判定、性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，又研究了相似三角形的有關(guān)概念，明白了全等三角形是相似比為1時(shí)的相似三角形.那么，我們能用三角形全等的判定方法來判定三角形相似嗎？

生眾：肯定能！

師：但是不需要這么多條件，因?yàn)橄嗨迫切沃灰笮螤钕嗤灰蟠笮∫欢ㄏ嗟?現(xiàn)在我們研究如何把條件簡化到能保證三角形相似的最少情況——“三角形相似的判定”.

2.師生共同回顧三角形全等的判定公理

3.學(xué)生研究如何簡化三角形全等的判定公理及推論中的條件“k=1”（即相似比為1）

4.在學(xué)生個(gè)人探索研究、小組交流討論的基礎(chǔ)上，全班交流研究成果——猜想的判定命題

5.師生共同探究，證明三角形相似的判定假設(shè)的思路、方法、依據(jù)

李老師肯定了同學(xué)們根據(jù)相似三角形與全等三角形的聯(lián)系與區(qū)別對三角形全等的判定公理及推論中的題設(shè)進(jìn)行了調(diào)整，制作了三角形相似的判定命題之后，進(jìn)一步引導(dǎo)：“同學(xué)們制作的四個(gè)命題是不是真命題，能否作為判定三角形相似的依據(jù)呢？我們是要對這四個(gè)命題一一證明的.回憶一下，我們現(xiàn)在判定三角形相似已有哪些依據(jù)？”

學(xué)生已掌握了兩個(gè)依據(jù)，一是相似三角形的定義，二是根據(jù)相似三角形的定義得到的一個(gè)關(guān)于三角形相似的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（簡稱“預(yù)備定理”）

接著李老師畫出“預(yù)備定理”的圖形，寫出定理的表達(dá)式：如圖1，DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則△ADE∽△ABC.

聽課說明：這樣，李老師不僅為學(xué)生證明判定命題啟發(fā)了思路，而且通過凸顯定理的圖形和表達(dá)式，進(jìn)一步為學(xué)生用“疊合法”證題創(chuàng)設(shè)了思維情境.

李老師（適時(shí)講解，啟發(fā)思路）：我們已經(jīng)掌握了判定三角形相似的兩種方法——相似三角形的定義及由定義推出的“預(yù)備定理”.這樣根據(jù)“定義”或“預(yù)備定理”均可判定兩個(gè)三角形相似了.因而證明同學(xué)們制作的四個(gè)命題的思路，是要將其題設(shè)轉(zhuǎn)化為符合“定義”或“預(yù)備定理”的題設(shè).現(xiàn)在請同學(xué)們觀察“預(yù)備定理”中圖形的特征，研究如何將命題一轉(zhuǎn)化為符合“預(yù)備定理”的條件，從而可以用“預(yù)備定理”判定三角形相似.

學(xué)生分析“預(yù)備定理”和判定命題一的題設(shè)和圖形特征（如圖2）.

圖1

圖2

學(xué)生：容易想到需要把△A′B′C′（或△ABC）移到△ABC（或△A′B′C′）上去，使其滿足“預(yù)備定理”的圖形特征及定理的題設(shè).

6.學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐，獨(dú)立研究“移動(dòng)三角形”的具體方法，而后全班交流

課堂概述：有的同學(xué)是在△ABC的邊AB、AC（或在A′B′、A′C′的延長線）上，分別截取AD=A′B′，AE=A′C′（或A′D=AB，A′E=AC），連接DE就得到與△A′B′C′（或△ABC）全等的△ADE（或△A′DE），這就相當(dāng)于把△A′B′C′（或△ABC）移到△ABC（或△A′B′C′）上去，因而只要證明DE∥BC（或DE∥B′C′），就可根據(jù)“預(yù)備定理”判定△ADE∽△ABC（或△A′DE∽△A′B′C′），再根據(jù)相似的傳遞性證得△A′B′C′∽△ABC（或△ABC∽△A′B′C′）.老師對同學(xué)們的這種思路進(jìn)行了概括：先作“全等三角形”，再證“平行”.

有的同學(xué)是在△ABC的邊AB（或A′B′的延長線）上，截取AD=A′B′（或A′D=AB），過點(diǎn)D作DE∥BC（或DE∥B′C′）交AC（或A′C′的延長線）于點(diǎn)E，由“預(yù)備定理”證得△ADE∽△ABC（或△A′DE∽△A′B′C′），再證得△ADE≌△A′B′C′（或△A′DE≌△ABC），由相似的傳遞性證得△A′B′C′∽△ABC（或△ABC∽△A′B′C′）.

這時(shí)同學(xué)們能自行總結(jié)思路：先作“平行”，再證“三角形相似”.

7.概括“疊合法”的證明步驟和原理，總結(jié)相似三角形的判定定理

通過以上的實(shí)踐討論和適時(shí)概括，不僅獲得了三角形相似的判定定理：如果兩個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.即：如圖3，在△ABC和△A′B′C′中

圖3

聽課說明：學(xué)生對用“疊合法”來證明三角形相似的判定命題已有了較深刻的理解，接著李老師讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)教材用“疊合法”證明“如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似”的方法和規(guī)范化的表達(dá).判定命題“兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的證明就迎刃而解.（作為學(xué)生課外作業(yè)）

在上述基礎(chǔ)上，師生繼續(xù)討論判定命題“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的證明思路.

例題已知：如圖4，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

圖4

在學(xué)生個(gè)人思考的基礎(chǔ)上全班交流討論，得出如下兩種證明思路.

思路一：用“疊合法”證明.

在CA上截取CA1=C′A′，過點(diǎn)A1作A1B1∥AB，交CB于點(diǎn)B1，所以

因?yàn)锳1C=A′C′，所以

所以A1B1=A′B′.所以Rt△A1B1C≌Rt△A′B′C′.

又因?yàn)镽t△A1B1C∽Rt△ABC，所以Rt△A′B′C′∽Rt△ABC.

思路二：用比例的性質(zhì)和勾股定理證明.

又因?yàn)椤螩=∠C′=90°，

所以△ABC∽△A′B′C′.（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似）

8.師生共同總結(jié)三角形相似的判定方法的知識結(jié)構(gòu)圖

相似三角形定義→判定三角形相似的預(yù)備定理→三角形相似的判定定理

二、課例賞析

1.類比全等學(xué)相似，新知生成的前提

我們發(fā)現(xiàn)，李老師在上面的課堂引入、新知探索階段都非常重視全等知識的復(fù)習(xí)回顧，比如開課階段和學(xué)生一起把全等三角形的判定方法梳理出知識結(jié)構(gòu)，而正是這個(gè)知識結(jié)構(gòu)的梳理，使得學(xué)生在后續(xù)相似三角形的探索過程中找到了方向，成為研究新問題的重要生長點(diǎn).事實(shí)上，這正是類比思想在本課中的重要價(jià)值，而且在課中，李老師明確指出全等三角形是相似比為1的特殊情況，從而激發(fā)了學(xué)生思考、探索相似比不為1的情況，在類比學(xué)習(xí)的過程中，既指出了相同點(diǎn)，又揭示了不同點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生辨別類比過程中的“同而不同”，思辨了“特殊”與“一般”之間的包涵關(guān)系.

2.注重“基本套路”，探索方向的保證

人教社資深編審章建躍博士曾指出數(shù)學(xué)教學(xué)要注意“基本套路”，比如接觸一種新“數(shù)”的學(xué)習(xí)時(shí)，其“基本套路”為數(shù)的概念、運(yùn)算（運(yùn)算法則的歸納）、運(yùn)算律（類比前面運(yùn)算積累下來的運(yùn)算律，概括適合新數(shù)系的運(yùn)算通性，目的是簡化運(yùn)算）；比如幾何學(xué)習(xí)中四邊形的研究套路是：四邊形的概念，基于邊、角、對角線、對稱性的角度研究判定、性質(zhì)及應(yīng)用等；我們注意到，在上文中的相似三角形的判定教學(xué)中，李老師非常注重“基本套路”的滲透，比如開課階段全等三角形的判定方法的知識結(jié)構(gòu)，對應(yīng)著課堂小結(jié)階段的相似三角形的知識結(jié)構(gòu)圖；再如學(xué)生在探索直角三角形相似的判定方法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的出發(fā)點(diǎn)（如基于全等角度猜想、基于平行線分線段成比例角度思考），既保證了探索方向的正確，又讓學(xué)生感受到問題起點(diǎn)和解決問題途徑的多樣性.

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）.H