郭迎鋼，李宗春，李 偉

(信息工程大學(xué)，河南 鄭州450001)

一、引 言

在變形監(jiān)測過程中，要獲取監(jiān)測區(qū)域變形情況的基本方法是在變形體的變形特征處設(shè)置一些監(jiān)測點，通過重復(fù)觀測監(jiān)測點的坐標(biāo)來獲取區(qū)域的變形信息。在實際的監(jiān)測過程中，如果對變形區(qū)域的某些沒有布設(shè)監(jiān)測點的區(qū)域感興趣，雖然可以通過內(nèi)插或擬合的方法來概略獲取其變形信息，但是無法進行精度評定。最小二乘配置具有可以評定精度的優(yōu)點［1］，恰好能解決這個問題。

最小二乘配置起源于根據(jù)最小二乘推估來內(nèi)插和外推重力異常的課題。1969年，經(jīng)克拉魯普(T Krarup)的發(fā)展，提出了最小二乘配置法;莫里茲(H·Moritz)對最小二乘配置進行了系統(tǒng)深入的研究，提出了帶系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘配置;經(jīng)過以后的發(fā)展，最小二乘配置在大地測量、航空攝影測量、坐標(biāo)系統(tǒng)變換、GPS水準(zhǔn)擬合［2］、形變測量等方面得到了廣泛的應(yīng)用［3］。本文將最小二乘配置應(yīng)用于形變監(jiān)測中變形網(wǎng)內(nèi)插點的變形分析，并通過試驗對該方法的進行了驗證。

二、基于最小二乘配置的內(nèi)差點形變分析

1．最小二乘配置原理

最小二乘配置的函數(shù)模型為

式中，L為維觀測向量;Δ為觀測誤差;X為t維非隨機參數(shù);A為n×t階設(shè)計矩陣，rank(A)=t;Y為隨機參數(shù)，包括n維的已測點信號S和g維的未測點信號S'，所謂未測點信號，是指在觀測方程中不出現(xiàn)的信號。

最小二乘配置的隨機模型為

最小二乘配置的估值準(zhǔn)則為

最小二乘配置的主要目的是估計未測點的完全信號

未測點完全信號的協(xié)方差矩陣如下

合理的協(xié)方差函數(shù)確定一直是最小二乘配置中的關(guān)鍵問題。在確定協(xié)方差函數(shù)時，一定要關(guān)注所研究對象的幾何和物理特性，因為這種特性決定了所研究對象內(nèi)部的相關(guān)性，而如何正確反映這種相關(guān)性正是協(xié)方差函數(shù)一直追求的目標(biāo)［4］，因此要具體情況具體分析，根據(jù)其特性選擇合適的方法［5］。

信號可以看作是平穩(wěn)隨機過程的一個實現(xiàn)(觀測值)，可以用隨機過程的協(xié)方差函數(shù)來描述。常用經(jīng)驗函數(shù)為

或

來構(gòu)造協(xié)方差矩陣。

2．最小二乘配置的計算步驟

最小二乘配置的計算步驟如下:

1)選擇趨勢函數(shù);

2)選擇并計算已測點的方差-協(xié)方差;

3)計算確定性參數(shù);

4)推估未測點的信號及完全信號估值;

5)精度評定。

3．利用最小二乘配置分析內(nèi)插點的形變

對于目標(biāo)的變形監(jiān)測，一般是通過觀測布設(shè)的變形監(jiān)測參考網(wǎng)網(wǎng)點坐標(biāo)的變化來分析其形變情況的。如果想了解除網(wǎng)點以外其他點的變形情況，可以用內(nèi)插或擬合的方法來進行分析，本文利用最小二乘配置對變形監(jiān)測網(wǎng)的內(nèi)插點形變情況進行分析。

對目標(biāo)的形變監(jiān)測可以分為沉降監(jiān)測和水平位移監(jiān)測，本文以沉降監(jiān)測為例。設(shè)沉降監(jiān)測網(wǎng)共有n個網(wǎng)點，對應(yīng)的高程分別為hi(i=1，…，n)，有m個內(nèi)插點。相應(yīng)的最小二乘配置隨機模型不變，函數(shù)模型為

式中，L為觀測值向量;α0、α1、α2為趨勢參數(shù);S為n×1維信號向量;Δ為觀測值誤差向量;未測點信號S'為m維。

通過兩期變形監(jiān)測的觀測值可以得到兩期觀測值的高程差，然后通過穩(wěn)定性分析可以得出各網(wǎng)點的實際變形量。將每個網(wǎng)點對應(yīng)的變形量作為觀測值向量L，利用最小二乘配置可以計算出系數(shù)α0、α1、α2，已測點信號S、未測點信號S'和未測點完全信號，也就是m個內(nèi)插點的沉降估值，未測點信號的權(quán)逆陣Σ^S'反映了估值的精度。相關(guān)公式推導(dǎo)如下

將式(7)的函數(shù)模型用式(1)的形式表示

用AX來表示α0+α1xi+α2yi，Y為隨機參數(shù)，包括n維的已測點信號S和g維的未測點信號S'。B=[ I 0]，I為n維單位向量。

對應(yīng)的誤差方程為

求導(dǎo)，令其等于零

得

將式(14)、式(16)代入式(9)得

式(18)左乘ATPL，顧及式(17)得

由式(18)得

將式(20)代入式(14)、式(16)得

顧及

根據(jù)誤差傳播定律，可以推導(dǎo)出精度估計式如下

關(guān)于信號的權(quán)逆陣賦值，選擇經(jīng)驗函數(shù)法，取經(jīng)驗公式為σ(d)=σ(0)exp(－K2d2)。

三、試驗結(jié)果及分析

為了驗證上文所提出的利用最小二乘配置分析變形監(jiān)測網(wǎng)內(nèi)插點變形情況的合理性及正確性，下面分別利用一組模擬數(shù)據(jù)和一組工程數(shù)據(jù)來進行試驗驗證。

1．模擬試驗

本試驗所使用的數(shù)據(jù)是模擬數(shù)據(jù)(如圖1所示)，數(shù)據(jù)范圍是一個100 m×100 m的矩形變形區(qū)域。下面給出試驗中所采用的變形監(jiān)測網(wǎng)點和檢查點的分布示意圖。

圖1 模擬試驗監(jiān)測網(wǎng)點和檢查點分布

變形監(jiān)測網(wǎng)點坐標(biāo)及兩期模擬沉降值見表1。

模擬變形區(qū)域的整體變形趨勢為:任意一點的變形量與它到1號點距離成正比，由此可以得出內(nèi)插點坐標(biāo)和理論的沉降值見表2。

取函數(shù)模型為

其中，Li為觀測值，α0、α1為趨勢參數(shù)，s為信號。隨機模型不變，信號的驗前協(xié)方差公式及觀測值的權(quán)矩陣公式取σ(d)=0．126exp(－0．36d2)，P=100×I。

計算所得內(nèi)插點的變形情況見表3。

表1 監(jiān)測網(wǎng)點坐標(biāo)和沉降量 m

表2 內(nèi)插點坐標(biāo)和沉降量 m

表3 預(yù)測沉降量與實際沉降量 m

通過比較計算所得的沉降量于所設(shè)計的理論值比較可以看出，最小二乘配置計算所得結(jié)果精度較高，與理論值相差不超過0．008 m，可以反映出內(nèi)插點的變形趨勢，因此可以用來分析內(nèi)插點的變形情況。還可以通過權(quán)逆陣來分析計算結(jié)果的精度，經(jīng)過最小二乘配置計算的未測點完全信號的權(quán)逆陣如下

2．工程試驗

選擇大連市紅旗街道岔鞍村滑坡監(jiān)測的工程數(shù)據(jù)［6］來進行試驗，選擇2010年10月29日和11月21日兩期觀測數(shù)據(jù)，有點P1—點P10共10個網(wǎng)點，隨機選取P3點和P7點作為內(nèi)插點，用最小二乘配置原理計算預(yù)測其變形情況，然后于實際測量結(jié)果進行比較。這里只針對網(wǎng)點和內(nèi)插點X坐標(biāo)進行分析。岔鞍村滑坡監(jiān)測網(wǎng)點坐標(biāo)及兩期觀測值X方向上形變量見表4。

表4 監(jiān)測網(wǎng)點坐標(biāo)和X方向上形變量 m

3號點和7號點的坐標(biāo)和兩期觀測值X方向上真實形變量見表5。

該試驗中所采用的變形監(jiān)測網(wǎng)點和檢查點的分布示意如圖2所示。

函數(shù)模型和信號的驗前協(xié)方差公式及觀測值的權(quán)矩陣公式與模擬試驗一致，計算內(nèi)插點的變形情況見表6。

表5 內(nèi)插點坐標(biāo)和X 方向上真實形變量 m

圖2 真實試驗監(jiān)測網(wǎng)點和檢查點分布

表6 X方向?qū)嶋H形變量與預(yù)測形變量 m

通過比較計算所得的沉降量與點位的實際觀測形變量比較可以看出，在工程試驗中，計算值與實際形變量相差較大，但可以反映出內(nèi)插點的變形趨勢，因此可以用來分析內(nèi)插點的變形情況。還可以通過權(quán)逆陣來分析計算結(jié)果的精度，經(jīng)過最小二乘配置計算的未測點完全信號的權(quán)逆陣如下

由試驗結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，采用模擬數(shù)據(jù)進行試驗所得到的結(jié)果精度很高，證明本文利用最小二乘配置原理來分析變形監(jiān)測控制網(wǎng)內(nèi)插點變形情況是可行的;采用真實數(shù)據(jù)進行試驗所得到的結(jié)果與實際測量結(jié)果相差較大，其原因是有些網(wǎng)點的變形具有特殊性，但仍然可以反映出內(nèi)插點的變形趨勢，并可以通過未測點完全信號的協(xié)方差陣來評價預(yù)測形變量的精度，因此該方法可以用來分析內(nèi)插點的變形情況。兩組試驗結(jié)果表明，本文提出的基于最小二乘配置原理的變形監(jiān)測網(wǎng)內(nèi)插點形變分析的方法是可行的。

四、結(jié)束語

本文從最小二乘配置理論出發(fā)，推導(dǎo)了預(yù)測變形監(jiān)測網(wǎng)內(nèi)插點形變量的計算公式和精度估計式，并通過模擬數(shù)據(jù)試驗和工程數(shù)據(jù)試驗，驗證了該方法的正確性和有效性，得出了最小二乘配置可以用于分析變形監(jiān)測網(wǎng)內(nèi)插點變形分析的結(jié)論。相比較于直接內(nèi)插或擬合的方法求內(nèi)插點的變形量，最小二乘配置的優(yōu)勢在于可以在提供預(yù)測值的同時進行精度評定，對于精度較低的預(yù)測結(jié)果可以舍棄，以保證對預(yù)測點形變信息預(yù)測分析的可靠性。

［1］ 張希，江在森，用最小二乘配置獲得地形變應(yīng)變場動態(tài)圖像的幾個問題研究［J］．地殼形變與地震，1999(3):32-39．

［2］ 杜紅飛，謝劭峰，孫昌瑜．最小二乘配置法在GPS高程異常值推估中的應(yīng)用［J］．河南科學(xué)，2013(2):208-211．

［3］ 黃維彬．近代平差理論及其應(yīng)用［M］．北京:解放軍出版社，1990．

［4］ 柴洪洲．地殼運動背景場及其監(jiān)測網(wǎng)數(shù)據(jù)處理理論與方法研究［D］．鄭州:解放軍信息工程大學(xué)，2006．

［5］ 柴洪洲，崔岳，明鋒．最小二乘配置方法確定中國大陸主要塊體運動模型［J］．測繪學(xué)報，2009，38(1):61-65．

［6］ 朱爽．大連市紅旗街道岔鞍村滑坡監(jiān)測研究［D］．長春:吉林大學(xué)，2014．