劉 珺

(太原理工大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)系，山西 太原030024)

一、引 言

在GNSS定位技術(shù)高速發(fā)展與廣泛應(yīng)用中，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是必不可少的［1］，常常需要把GNSS獲取的WGS-84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到國(guó)家坐標(biāo)系或地方坐標(biāo)系下。

在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題中，當(dāng)有足夠數(shù)量的重合點(diǎn)的兩套坐標(biāo)值時(shí)，一般通過(guò)Gauss-Markov(GM)模型建立誤差模型，采用經(jīng)典LS法來(lái)求解其轉(zhuǎn)換參數(shù)。而GM模型的前提是假設(shè)僅有觀測(cè)向量包含隨機(jī)誤差，系數(shù)矩陣完全準(zhǔn)確而不包含隨機(jī)誤差，即目標(biāo)坐標(biāo)值存在誤差而源坐標(biāo)沒(méi)有被隨機(jī)誤差所污染。但是，同一個(gè)重合點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值都是通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的，不可避免地都會(huì)受到觀測(cè)環(huán)境、觀測(cè)者、觀測(cè)儀器等的影響而含有隨機(jī)誤差。此時(shí)，LS法所得的估值不具有無(wú)偏性等傳統(tǒng)特性［2-3］，不再是理想的最佳估值。

針對(duì)以上不足，基于EIV(errors-in-variables)模型的總體最小二乘(total least squares，TLS)被引入到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題中，并得到廣泛研究與應(yīng)用。許多研究表明，TLS方法建立的EIV模型能夠很好地處理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算中所有數(shù)據(jù)都被偶然誤差所污染的問(wèn)題［4-7］。陳義等［4］研究表明，在攝影測(cè)量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，即使當(dāng)控制點(diǎn)分布不合理或控制點(diǎn)數(shù)量減少時(shí)，TLS法仍能得到具有較高精度和較穩(wěn)定的解?？捉ǖ龋?］將TLS分別應(yīng)用于四參數(shù)模型和仿射變換模型中，通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)所得平差的單位權(quán)因子，得出了TLS所得的轉(zhuǎn)換參數(shù)是最優(yōu)的結(jié)論。劉立龍等［6］通過(guò)算例指出，在六參數(shù)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)解算中，TLS能夠更好地改善坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的內(nèi)部精度。

考慮坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題的多樣性和誤差分布的復(fù)雜性，那么具體到七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，如GNSS定位技術(shù)所得的WGS-84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到國(guó)家或地方坐標(biāo)系中，TLS法是否一定是比LS法更優(yōu)的解決方案。本文就重合點(diǎn)在兩種不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值獨(dú)立、等精度條件下，通過(guò)算例，計(jì)算和比較LS和TLS方法的轉(zhuǎn)換參數(shù)值和相應(yīng)的精度來(lái)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行探討。

二、七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

兩種不同的坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)是通過(guò)已知的重合點(diǎn)坐標(biāo)值得到。如果已知k個(gè)重合點(diǎn)(k＞3)在A和B兩種坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，那么觀測(cè)值數(shù)量為n=3k，參數(shù)個(gè)數(shù)為m=7，可列出相應(yīng)的七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

式中，XA、YA和ZA表示A坐標(biāo)下的坐標(biāo);XB、YB和ZB表示B坐標(biāo)下的坐標(biāo);X0、Y0、Z0、εX、εY、εZ和u是A坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到B坐標(biāo)系統(tǒng)的7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，分別為3個(gè)平移量參數(shù)，3個(gè)旋轉(zhuǎn)量參數(shù)和1個(gè)縮放因子參數(shù)。

在LS法下，將觀測(cè)向量L中的改正數(shù)記作V，參數(shù)向量的平差值記作^X，則誤差方程可寫(xiě)成

三、TLS法解算轉(zhuǎn)換參數(shù)

假定兩種坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)值互相獨(dú)立且服從N(0，1)，則可建立約束條件(目標(biāo)函數(shù))為

式中，vec()表示拉直變換。

式(3)和式(4)即為T(mén)LS的七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解算模型。本文采用基于迭代法對(duì)上述模型進(jìn)行求解［8］，并評(píng)定精度。

四、算例分析

本文算例［9］中包含5個(gè)重合點(diǎn)，其在WGS-84和1954北京坐標(biāo)系下的測(cè)量坐標(biāo)值見(jiàn)表1。

首先建立七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，然后分別采用LS法和TLS法，使用Matlab編寫(xiě)計(jì)算程序，求得相應(yīng)的轉(zhuǎn)換參數(shù)見(jiàn)表2，同時(shí)計(jì)算兩種方法所得的單位權(quán)中誤差與相應(yīng)各轉(zhuǎn)換參數(shù)的中誤差見(jiàn)表3。

通過(guò)LS法得到單位權(quán)中誤差為3．47 cm，那么可以選擇+30 cm(超過(guò)了3倍的單位權(quán)中誤差)作為粗差。設(shè)計(jì)5種坐標(biāo)值中包含粗差的方案，具體如下:

P1-a:XA1坐標(biāo)值包含一個(gè)粗差(+30 cm)。

P1-b:XB1坐標(biāo)值包含一個(gè)粗差(+30 cm)。

P2-a:XA1和YA1坐標(biāo)值各包含一個(gè)粗差(+30 cm)。

P2-b:XB1和YB1坐標(biāo)值各包含一個(gè)粗差(+30 cm)。

P2-c:XA1和XA2坐標(biāo)值各包含一個(gè)粗差(+30 cm)。

按上述方案模擬數(shù)據(jù)，采用LS法和TLS法所得的參數(shù)解見(jiàn)表4，以及相應(yīng)參數(shù)精度見(jiàn)表5。

表1 兩種坐標(biāo)系下的測(cè)量坐標(biāo)值 m

表2 LS和TLS應(yīng)用于七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)解

表3 LS和TLS應(yīng)用于七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)精度

表4 LS和TLS應(yīng)用于七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)解(坐標(biāo)值含有粗差)

表5 LS和TLS應(yīng)用于七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)精度(坐標(biāo)值含有粗差)

由表3可知，TLS解算的單位權(quán)中誤差和相應(yīng)參數(shù)中誤差都比LS計(jì)算的結(jié)果小，說(shuō)明TLS解算的精度比LS高。由表2可知，TLS和LS解算的轉(zhuǎn)換參數(shù)沒(méi)有顯著差異，說(shuō)明TLS和LS求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)后續(xù)用于其他點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)所得坐標(biāo)值將是一樣的。

由表4和表5可知，當(dāng)坐標(biāo)值中含有粗差時(shí)，LS法和TLS法所得的參數(shù)解幾乎相同，但在精度上TLS法還是相對(duì)較高。但結(jié)合表2和表3來(lái)看，LS法和TLS法都不能很好地抵抗粗差對(duì)參數(shù)解的影響。

五、結(jié) 論

1)在七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中，TLS對(duì)所有變量的誤差施加了最小化的約束條件。與LS相比，TLS同時(shí)考慮系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的誤差所建立的EIV模型，更為合理和符合實(shí)際。

2)在七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中，相對(duì)于LS法，TLS雖然在精度(單位權(quán)中誤差和轉(zhuǎn)換參數(shù)的中誤差)上有一些優(yōu)勢(shì)，但是所求的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)是沒(méi)有顯著差異的，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)對(duì)系數(shù)矩陣的誤差不敏感。當(dāng)坐標(biāo)值中存在粗差時(shí)，TLS法和LS法同樣不能很好地抵抗粗差對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)解的影響。

3)在七參數(shù)轉(zhuǎn)換的工程應(yīng)用中，相比于轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，我們往往更關(guān)心的是所得轉(zhuǎn)換參數(shù)解的值。那么在相應(yīng)的工程測(cè)量的實(shí)踐中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，仍可直接采用LS法來(lái)求解，而不選用TLS法。

［1］ 郭英起，唐彬，張秋江，等．基于空間直角坐標(biāo)系的高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究［J］．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2012，32(3):125-128．

［2］ 丁克良，歐吉坤，陳義．整體最小二乘法及其在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［C］∥中國(guó)測(cè)繪學(xué)會(huì)第九次全國(guó)會(huì)員代表大會(huì)．北京:中國(guó)測(cè)繪學(xué)會(huì)，2009．

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［7］ 陸玨，陳義，鄭波．總體最小二乘方法在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用［J］．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28(5):77-81．

［8］ 魯鐵定，周世?。傮w最小二乘的迭代解法［J］．武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2010，35(11):1351-1354．

［9］ 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院．誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2003．