左思艷，郭鵬飛

（1.連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇連云港222006；2.連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，江蘇連云港222006）

本文所涉及的群均為有限群，所用群論符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是規(guī)范的，可參閱文獻(xiàn)[1].

設(shè)∑為一抽象群論性質(zhì).有限群論研究中非常重要的課題是研究子群的∑性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.為了解決這一問(wèn)題，二十多年來(lái)，群論學(xué)家們從研究有限群的結(jié)構(gòu)及其正規(guī)子群的關(guān)系入手，給出了各種各樣的廣義正規(guī)性的概念，如：擬正規(guī)子群、次正規(guī)子群、可補(bǔ)子群等等，統(tǒng)稱為有限群的∑性質(zhì)，具有∑性質(zhì)的群稱為∑群.如果群G的子群H與G的任意子群K可置換（即HK=KH），則稱H為G的擬正規(guī)子群.利用有限群的∑性質(zhì)，借助于群的極大子群、極小子群、Sylow子群的極大子群、2-極大子群等來(lái)研究群的冪零性、超可解性和可解性等，已取得了大量的研究成果[2-6].特別需要指出的是，李千路、郭秀云[5]從另一角度考慮子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響.具體的結(jié)論是：設(shè)為一個(gè)群，若的所有非正規(guī)的極大子群是冪零群，則（1）G為可解群；（2）G是p-冪零群，其中p為的某個(gè)素因子；（3）若非冪零群，則2≤，其中k是G的非冪零正規(guī)極大子群的個(gè)數(shù).

關(guān)于子群性質(zhì)的傳遞性也是有限群論研究的熱點(diǎn)之一.設(shè)H，K和L都是群G的子群，且滿足H≤K≤L.若H是K的正規(guī)子群（擬正規(guī)子群），K是L的正規(guī)子群（擬正規(guī)子群），必有H是L的正規(guī)子群（擬正規(guī)子群），則稱群G為T-群（PT-群）.Gaschütz[7]和Zach?er[8]分別給出可解T-群、可解PT-群的結(jié)構(gòu).群G是一個(gè)可解T-群（可解PT-群）的充要條件是G有一個(gè)奇階正規(guī)交換的Hall 子群H使得G/H是一個(gè)Dede?kind 群（模冪零群），并且G的每個(gè)元素在H上誘導(dǎo)一個(gè)冪自同構(gòu).

本文的目的是考慮群G的所有非正規(guī)極大子群M都是可解PT-群，得到群G為可解群的一個(gè)新的充分條件.

1 基本概念和引理

引理1[8]若群G是PT-群，則G是超可解的.

引理2[9]設(shè)群G為內(nèi)超可解群，則

（1）G僅有一個(gè)正規(guī)的Sylow子群p；

（2）P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群，且P/Φ（P）非循環(huán)群；

（3）若p≠2，則P的方次數(shù)是p；

（4）若P為非交換群且p=2，則P的方次數(shù)至多是4.

引理3[6]設(shè)G是一個(gè)群，p為G的階的一個(gè)素因子，

（1）若p是奇數(shù)，P的每個(gè)極小子群均包含于NG（P）的中心化子，則G為p-冪零群；

（2）若p=2，P的每個(gè)2階和4階循環(huán)子群都是NG（P）的擬正規(guī)子群，則G為2-冪零群.

2 主要結(jié)果

定理1若群G的所有非正規(guī)極大子群M都是可解PT-群，則G是可解群.

證明設(shè)群G為極小階反例，則

（1）G非單群.

若G是單群，則G的每個(gè)極大子群非正規(guī)，因此G的每個(gè)極大子群都是可解PT-群.由引理1，G的每個(gè)真子群都是超可解的.再由引理2，G是可解群，矛盾，（1）成立.

（2）G有唯一極小正規(guī)子群N.

由（1），G非單群，則G有一極小正規(guī)子群N1使得N1≠G.假設(shè)G有另一極小正規(guī)子群N2使得N2≠G且N2≠N1，則對(duì)于G的每個(gè)非正規(guī)的極大子群M而言，成立G=N1M=N2M.由假設(shè)，M是可解PT-群.再由引理1，M是超可解群，所以G/N1和G/N2都是可解群，且G=G/（N1∩N2）≤（G/N1）×（G/N2），因此G是可解群，矛盾，（2）成立.

若N是奇階群，則由Feit-Thompson 定理（奇階群可解定理），N是可解群.對(duì)于G的每個(gè)非正規(guī)的極大子群而言，G/N≌M/（M∩N）成立.再由M的超可解性，G/N是超可解群，因此G是可解群，矛盾，（3）成立.

（4）完成證明.

由（3），N是偶階群.設(shè)P是G的Sylow 2-子群，則P∩N是N的Sylow 2-子群.由Frattini 論斷，G=NNG（P∩N）.令K是G的一個(gè)非正規(guī)的極大子群且滿足NG（P∩N）≤K，則由假設(shè)，K是可解PT-群.設(shè)H是P∩N的任一2 階或4 階循環(huán)子群.由于H次正規(guī)于NG（P∩N），由文[8]可知，可解PT-群的子群還是可解PT-群，于是NG（P∩N）和NN（P∩N）都是可解PT-群，因此H在NN（P∩N）中擬正規(guī).由引理3，N是2-冪零群，因此G是可解群，矛盾.

極小階反例不存在，從而G為可解群.

推論1若群G的所有非正規(guī)極大子群M都是可解T-群，則G是可解群.

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