顧建忠　嚴(yán)廣樂

摘要采用模糊隨機(jī)理論，構(gòu)建連續(xù)支付型變額生命年金模型.假定利率為三角模糊數(shù)，死亡率為隨機(jī)變量.結(jié)合精算理論，給出了連續(xù)支付型變額生命年金精算現(xiàn)值的期望、方差以及分布函數(shù)和分位數(shù)的模糊表達(dá)式.最后，通過實(shí)證分析計(jì)算出一個(gè)在養(yǎng)老保險(xiǎn)中常見的生命年金的相關(guān)值，驗(yàn)證模型的可行性.

關(guān)鍵詞模糊隨機(jī)變量；三角模糊數(shù)；α截集；生命年金

中圖分類號F840.67 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

AbstractThis paper proposed a continuous variable life annuities model by adopting the theory of fuzzy random variables， assuming that the interest rate is a triangle fuzzy number and the mortality is a random variable. Combined with the actuary theory， we obtained the mathematical expectation， variance， distribution， quantiles of the present value of annuities. Finally， we calculated these related values of a common life annuity in endowment insurance and verified the feasibility of the model with the empirical analysis.

Key wordsfuzzy random variables； triangle fuzzy number； α cut； life annuity

1引言

由于“退休養(yǎng)老金雙軌制”的存在，關(guān)于養(yǎng)老金制度的改革是近年來人們熱烈議論的話題.本文從精算的角度出發(fā)，通過對生命年金求出精算現(xiàn)值，以期為養(yǎng)老金制度改革及養(yǎng)老保險(xiǎn)合同設(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的理論依據(jù).

傳統(tǒng)的年金現(xiàn)值計(jì)算，是在固定利率的基礎(chǔ)上進(jìn)行，這顯然不符合實(shí)際情況.關(guān)于變化利率年金的研究，張連增等1考慮在Markov鏈隨機(jī)利率情況下，應(yīng)用隨機(jī)模擬的方法，對精算函數(shù)變量的概率分布做出完整描述.高建偉等2研究了各年利率分別在相互獨(dú)立和具有相關(guān)關(guān)系的情況下，計(jì)算生存年金期望現(xiàn)值的模型.Serena Tiong3提出與通脹相關(guān)聯(lián)的可變年金，旨在幫助投資者保護(hù)他們的投資組合避免通脹風(fēng)險(xiǎn).然而，以上相關(guān)文獻(xiàn)僅是考慮利率的隨機(jī)性，對于未來支付型的事件，利率具有不確定性，不僅表現(xiàn)為隨機(jī)性，還表現(xiàn)出模糊性.例如，未來n年的利率預(yù)期為“比較高”或“比較低”，對于這樣的模糊性術(shù)語問題，需要更可靠的理論來支撐.

在精算領(lǐng)域，當(dāng)一些精算模型的參數(shù)信息不可獲得或者模糊不清時(shí)，模糊理論為此提供了理論基礎(chǔ).王孟霞等4結(jié)合中國養(yǎng)老保險(xiǎn)基金投資現(xiàn)狀，考慮預(yù)期收益率是模糊數(shù)的情形，建立養(yǎng)老保險(xiǎn)基金均值-方差組合投資模型，得到了較好的效果.高井貴等5利用可信性理論，給出了全離散定期壽險(xiǎn)的均衡純保費(fèi)和準(zhǔn)備金的計(jì)算公式，但未給出連續(xù)支付型以及非定額支付情況下的相關(guān)結(jié)論.Huang Tao等6研究個(gè)體索賠額為模糊隨機(jī)變量（Fuzzy Random Variables，F(xiàn)RV）索賠過程風(fēng)險(xiǎn)模型，得到破產(chǎn)概率的機(jī)會均值.然而，該風(fēng)險(xiǎn)模型的Poisson過程引入模糊隨機(jī)變量增加了模型的復(fù)雜度，導(dǎo)致破產(chǎn)概率的相關(guān)值比較復(fù)雜，若干結(jié)果很難甚至無法得到.Jorge等7根據(jù)模糊隨機(jī)理論，研究離散型定額生命年金及年金組合的相關(guān)性質(zhì)，得到了比較切合實(shí)際的結(jié)果，對于壽險(xiǎn)合同的設(shè)計(jì)提供了參考價(jià)值.

6結(jié)論

傳統(tǒng)的年金現(xiàn)值計(jì)算往往假設(shè)性認(rèn)定利率為固定值，顯然不符合實(shí)際情況.本文利用模糊隨機(jī)理論，以三角模糊數(shù)為例，將年金現(xiàn)值計(jì)算推廣到連續(xù)型支付，并且年金支付額為變額情形，得到相應(yīng)的期望值、方差、分布及分位數(shù)的模糊表達(dá)式.利用保險(xiǎn)業(yè)生命表的相關(guān)數(shù)據(jù)，擬合出死亡分布函數(shù)，通過一個(gè)養(yǎng)老保險(xiǎn)中常見的年金實(shí)證分析計(jì)算出相關(guān)數(shù)值，驗(yàn)證模型的可行性.

類似于傳統(tǒng)固定利率的年金模型，在今后的研究中，可以試圖將本文的連續(xù)情形與離散情形相統(tǒng)一，得到一致的表達(dá)方式.另外，也可以對年金進(jìn)行組合投資，考慮年金投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量等問題.

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