楊晗竹, 李廣俠,趙陸文, 張敬義

(解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院,江蘇 南京 210007)

SVD降噪在載波同步技術(shù)中的研究*

楊晗竹, 李廣俠,趙陸文, 張敬義

(解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院,江蘇 南京 210007)

為了提升突發(fā)通信中載波頻偏估計(jì)的性能，降低有效估計(jì)的信噪比門限，提出了一種基于奇異值分解去噪的頻偏估計(jì)方法。首先，該方法將含噪信號(hào)根據(jù)相應(yīng)映射轉(zhuǎn)換成矩陣，并對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解；其次，將較大的奇異值判定為信號(hào)特征予以保留，否則判定為噪聲特征置零；接著，根據(jù)降噪后的奇異值重構(gòu)矩陣，恢復(fù)成模擬信號(hào)；最后，將預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行M&M頻偏估計(jì)。結(jié)果表明，相比于不去噪的頻偏估計(jì)算法，該方法能夠提升估計(jì)精度，降低信噪比門限，具有一定的實(shí)用性。

突發(fā)通信；頻偏估計(jì)；奇異值分解

0 引 言

載波同步技術(shù)是通信過(guò)程中需要解決的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。在通信系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)序列經(jīng)過(guò)載波調(diào)制后，由射頻系統(tǒng)通過(guò)信道發(fā)射出去，接收機(jī)接收到的數(shù)據(jù)參數(shù)會(huì)受到信道、接收機(jī)和發(fā)送機(jī)的影響。為了使判決裝置能夠準(zhǔn)確恢復(fù)出發(fā)送數(shù)據(jù)，接收機(jī)必須要能夠準(zhǔn)確估計(jì)出信號(hào)參數(shù)。同步技術(shù)在本質(zhì)上就是對(duì)信號(hào)參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)和矯正。

在無(wú)線數(shù)字通信系統(tǒng)中，多普勒效應(yīng)、碼間串?dāng)_、多徑衰落、系統(tǒng)噪聲等問(wèn)題的存在，造成了信號(hào)的損耗，對(duì)載波同步產(chǎn)生很大阻礙。在這些損耗中，影響接收機(jī)性能的一個(gè)重要原因是頻率偏移。時(shí)間離散信道脈沖響應(yīng)受到頻偏的影響發(fā)生旋轉(zhuǎn)，使得接收機(jī)中的自適應(yīng)信道估計(jì)器無(wú)法對(duì)信道的變化進(jìn)行有效的跟蹤。當(dāng)外界干擾嚴(yán)重甚至達(dá)到一定程度時(shí)，頻偏將會(huì)影響到解調(diào)的性能。因此，為了實(shí)現(xiàn)載波同步，對(duì)頻偏進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償是非常重要的。

目前為止，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)對(duì)頻偏估計(jì)提出了不少方法，主要分為時(shí)域，頻域及時(shí)-頻分析算法等。

頻域類算法方面，頻偏估計(jì)值利用的是信號(hào)FFT后獲得的譜線，適應(yīng)的頻率動(dòng)態(tài)范圍最好能達(dá)到一半的采樣頻率。由于FFT普遍存在柵欄現(xiàn)象，直接獲得精確的頻偏估計(jì)值在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。Rife算法根據(jù)信號(hào)FFT后幅度最大的兩根譜線，經(jīng)插值獲得關(guān)于頻率的精確估計(jì)[1]。Quinn算法同樣利用幅度最大的兩根FFT譜線，但其插值利用的是譜線的復(fù)數(shù)值之比的實(shí)部，其估計(jì)性能隨著頻率波動(dòng)的情況要好于Rife算法，但依然存在嚴(yán)重惡化[2]。

時(shí)域類算法方面，Kay算法易于實(shí)現(xiàn)，可是其工作門限很高，在低信噪比條件不能適用[3]。Fitz算法具有較低的信噪比門限，但具有以下3個(gè)缺點(diǎn)：適應(yīng)的頻率范圍有限；運(yùn)算量隨觀察區(qū)間長(zhǎng)度的增加迅速增長(zhǎng)；只能估計(jì)頻率，相位估計(jì)還需額外的算法[4]。L&R算法的精度在之前的算法上有了一定提升，并且運(yùn)算量小，硬件實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，但是頻偏估計(jì)范圍較窄，其適用范圍比較偏向收發(fā)雙方動(dòng)態(tài)性較低的情況[5]。M&M算法因?yàn)樵谠砩献龀隽艘恍﹦?chuàng)新，相比于其他算法擴(kuò)大了頻偏估計(jì)的范圍，并且其方差在有效范圍內(nèi)已經(jīng)非常接近于克拉美羅界，只是M&M算法的信噪比門限較高，不適用于低信噪比的情況[6]。

近些年，有很多研究者在經(jīng)典算法的基礎(chǔ)上研究出了一些優(yōu)化算法，在性能上有所提升[7-12]。

針對(duì)M&M算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，方差接近理論極限，且估計(jì)范圍相對(duì)較大的優(yōu)勢(shì)，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化創(chuàng)新，通過(guò)將信號(hào)進(jìn)行奇異值分解降噪預(yù)處理，從而改變M&M算法工作門限較高的缺點(diǎn)，增強(qiáng)其在復(fù)雜的低信噪比現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的實(shí)用性，達(dá)到性能的提升。將新算法簡(jiǎn)稱為SVD-MM算法。

1 奇異值分解去噪

奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)同特征值分解目的一樣，都是將復(fù)雜的矩陣分解為簡(jiǎn)單的子矩陣，且子矩陣能夠表征復(fù)雜矩陣的重要特征。

1.1 特征值分解

矩陣A的特征值分解可表示成：

A=QΣQ-1

(1)

式中，矩陣Σ為對(duì)角陣，且僅對(duì)角線上存在由大到小排列的特征值，其他非對(duì)角線上值為0。對(duì)角線上的特征值越大，越能表征矩陣A的特征。矩陣Q是由矩陣A中每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的矩陣。

1.2 奇異值分解

對(duì)于較復(fù)雜的矩陣，特征值分解能夠簡(jiǎn)化且較準(zhǔn)確提取矩陣的特征值，但特征值分解的前提是矩陣必須是方陣，而在現(xiàn)實(shí)的通信環(huán)境中，信號(hào)矩陣常常不是方陣，奇異值分解是一種能適用于任意矩陣的分解方法：

A=UΣVT

(2)

式中，A是m×n維的矩陣，經(jīng)過(guò)奇異值分解后得到的矩陣U稱為左奇異向量，是m×m維的方陣，且矩陣U中的行向量正交；Σ是m×n維的矩陣，僅對(duì)角線上存在奇異值σ，其它的元素均為零；VT稱為右奇異向量，是n×n維矩陣，矩陣中的向量正交。

1.3 基于奇異值分解的信號(hào)降噪

與特征值分解方法類似，信號(hào)矩陣經(jīng)過(guò)奇異值分解后，如式(2)所示，矩陣Σ中的奇異值σ按照由大到小順序排列，σ越大越能表征信號(hào)矩陣的特征，且在σ值下降速率較快時(shí)，采用前10%甚至1%的奇異值就能較好地表征信號(hào)矩陣的特征?；谶@個(gè)特性，考慮采用前r項(xiàng)的奇異值來(lái)近似描述矩陣的特征[13]：

(3)

在式(3)中，r越接近n，近似描述效果越接近原信號(hào)矩陣A。

在現(xiàn)實(shí)的通信過(guò)程中，通信信號(hào)中?；祀s有噪聲信號(hào)，將該混合信號(hào)按照一定排列組合生成矩陣，經(jīng)過(guò)奇異值分解得到從大到小的奇異值σ。當(dāng)信噪比在一定門限范圍內(nèi)時(shí)，通信信號(hào)的特征較為明顯，奇異值的前幾項(xiàng)較大；高斯白噪聲的特征數(shù)量較多但不明顯，呈現(xiàn)雜亂的規(guī)律，奇異值對(duì)應(yīng)后面多且小的部分。SVD去噪的過(guò)程，就是從m×n維矩陣中提取出r×r維矩陣的過(guò)程，當(dāng)Σr×r越能代表通信信號(hào)的特征，最終得到的重構(gòu)信號(hào)去噪效果就越明顯(見(jiàn)圖1)。

(a)原始信號(hào)

(b)特征值

(c)濾波之后的信號(hào)：閾值為平均值

(d)濾波之后的信號(hào)：閾值為中值

從圖1容易看出，奇異值分解法去噪效果較明顯。奇異值分解后得到的前8個(gè)特征值中，主特征值大約為60 000，遠(yuǎn)大于其它特征值，說(shuō)明信號(hào)特征較噪聲更加明顯。有效特征值范圍的選取對(duì)去噪效果有著很大影響。圖1(c)、圖1(d)選取的特征值閥值分別為平均值和中值，在重構(gòu)過(guò)程中，將大于閥值的特征值看作是有效信號(hào)的特征值，保留并帶入計(jì)算；小于閥值的特征值看作是噪聲的特征值，置為零。從仿真圖1中可以看出，以均值作為閥值去噪的效果更加明顯。

閥值的選取有很多種，可以有平均值，中值，或者最大值；甚至在知道原信號(hào)主頻個(gè)數(shù)時(shí)，有效特征值個(gè)數(shù)可以選取為主頻個(gè)數(shù)的兩倍[14]，這樣能夠保證重構(gòu)信號(hào)最接近有效信號(hào)，即去噪效果最好。

2 M&M頻偏估計(jì)算法

Umberto Mengali和M.Morelli于1997年提出了M&M算法[6]。對(duì)信號(hào)求自相關(guān)函數(shù)后，該算法對(duì)自相關(guān)函數(shù)的相位差分結(jié)果進(jìn)行平滑，將平滑結(jié)果作為載波的頻率估計(jì)值。

首先對(duì)信號(hào)求自相關(guān)函數(shù)，對(duì)自相關(guān)函數(shù)采樣得到自相關(guān)序列后，再分別進(jìn)行不同的運(yùn)算。

定義arg[R(m)]的自相關(guān)函數(shù)為：

1≤m≤L-1

(4)

式(4)另一種表達(dá)方式為：

R(m)=ej2πmfT+n(m)

(5)

式中，n(m)為零均值的噪聲項(xiàng)。從式(5)可以看出，自相關(guān)函數(shù)R(m)提供了用于頻率估計(jì)的全部信息，是基于自相關(guān)函數(shù)的頻率估計(jì)方法的基本依據(jù)。

式(5)還可表述為如下形式：

R(m)=ej2πmfT[1+γ(m)],1≤m≤N

(6)

式中，N為不大于L/2的參數(shù)。γ(m)=

(7)

由式(6)可以計(jì)算得到相位：

arg[R(m)]=[2πmfT+γ1(m)]2π,1≤m≤N

(8)

式中，γ1(m)為γ(m)的虛部。為了求取f的值，必須將非線性式展開(kāi)為線性關(guān)系式，但是這種操作在低信噪比的條件下是很難實(shí)現(xiàn)的，本文提出在f與相位增量φ(m)=[arg[R(m)]-arg[R(m-1)]]2π之間建立聯(lián)系，避免了f和arg[R(m)之間直接建立的非線性關(guān)系。

將式(7)帶入φ(m)，得到φ(m)可以表示為：

φ(m)=2πfT+γ1(m)-γ1(m-1),2≤m≤N

(9)

(10)

式中，ω(m)為平滑函數(shù)，表達(dá)式為：

(11)

3 基于SVD降噪的M&M頻偏估計(jì)

3.1 SVD-MM算法描述

由于信號(hào)的奇異值反映了接收信號(hào)中有用信號(hào)和噪聲的能量分布情況，故可以通過(guò)對(duì)信號(hào)作奇異值分解，分析并處理信號(hào)的奇異值，從而有效降低信號(hào)中噪聲的影響。本文利用奇異值分解降噪對(duì)信號(hào)作預(yù)處理，為之后的載波頻偏估計(jì)做準(zhǔn)備。

設(shè)x(n),n=1,2,…,N是長(zhǎng)度為N的一維信號(hào)采樣序列，利用此序列可以構(gòu)造矩陣：

(12)

式(12)中，A為m×n維矩陣，利用式(2)對(duì)矩陣A做奇異值分解，獲得一組非零奇異值。若原信號(hào)x(n)是由有效信號(hào)與噪聲信號(hào)共同組成的，那么組成的矩陣A也同樣是由有用信號(hào)和噪聲共同構(gòu)成。前幾個(gè)較大的奇異值主要代表有效信號(hào)，其它奇異值則主要代表噪聲，選取一個(gè)奇異值的閥值，將小于奇異值閥值即代表噪聲的那部分置零則能夠有效對(duì)原信號(hào)進(jìn)行去噪。接著利用式(3)重構(gòu)矩陣，將矩陣中各列的項(xiàng)值相加，再取平均值，最后就能夠重構(gòu)出去噪信號(hào)[14]。

重構(gòu)信號(hào)即作為預(yù)處理后的信號(hào)，最后將其帶入M&M頻偏估計(jì)算法。將經(jīng)過(guò)SVD預(yù)處理的頻偏估計(jì)結(jié)果與直接進(jìn)行頻偏估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如果性能提升不明顯，根據(jù)結(jié)果反饋進(jìn)行分析并選取更好的奇異值閥值，重新進(jìn)行計(jì)算，直到性能有所提升，將最優(yōu)的奇異值閥值代入實(shí)際應(yīng)用中。SVD-MM整體流程圖如圖2所示。

圖2 基于SVD去噪的載波頻偏估計(jì)流程

基于SVD降噪方法的實(shí)現(xiàn)實(shí)際是通過(guò)利用有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的相關(guān)性進(jìn)行奇異值閥值的判斷。當(dāng)有用信號(hào)和噪聲信號(hào)相關(guān)性較小時(shí)，奇異值閥值較為明確，判定噪聲信號(hào)比較容易，去噪效果較好。當(dāng)有用信號(hào)和噪聲信號(hào)相關(guān)性較大時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)信號(hào)混雜度較高，通過(guò)奇異值不能很好地進(jìn)行判定。甚至在信噪比很低，噪聲信號(hào)和有用信號(hào)相似甚至將其淹沒(méi)時(shí)，SVD降噪功能失效。

3.2 性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

目前公認(rèn)的評(píng)價(jià)頻率估計(jì)方法的性能指標(biāo)主要有估計(jì)均方根誤差、估計(jì)方差、估計(jì)范圍、計(jì)算復(fù)雜度、信噪比門限值等。均方根誤差表明估計(jì)算法是有偏的還是無(wú)偏的，方差則用來(lái)表示估計(jì)算法的估計(jì)精確度。一個(gè)完美的頻偏估計(jì)算法必然是無(wú)偏的并且方差很小。通常一個(gè)算法估計(jì)精度的標(biāo)準(zhǔn)用克拉美羅界[15](Modified Cramer-Rao bounds, MCRB)來(lái)表示，即估計(jì)方差越接近MCRB值，說(shuō)明此算法的估計(jì)精度越高，是估計(jì)精度最好的情況。頻偏估計(jì)的MCRB值可由式(13)得到：

(13)

式中，L0為觀測(cè)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，T為采樣周期，Es/N0為信噪比真值?？蓮年P(guān)于方差的仿真圖中大體判斷出該算法工作的信噪比門限值。

估計(jì)范圍也是一個(gè)很重要的指標(biāo)，定義為f0/fs，即歸一化頻偏，f0為載波頻偏，fs為采樣頻率。受奈奎斯特采樣定理的限制，頻偏的最大估計(jì)范圍是(-0.5～0.5)。計(jì)算量在工程中影響實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，可通過(guò)算法的復(fù)乘法和復(fù)加法來(lái)分析。在實(shí)際情況下，計(jì)算復(fù)雜度與估計(jì)精度、估計(jì)范圍等相矛盾，這是目前算法急需解決的問(wèn)題之一。

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證奇異值分解降噪算法的有效性，本文采用Matlab語(yǔ)言進(jìn)行軟件仿真。設(shè)置信號(hào)的采樣頻率為1 000 Hz；預(yù)設(shè)頻偏為300 Hz；采樣點(diǎn)數(shù)選取32、64、128這3種模型，在信噪比從-15～15 dB之間進(jìn)行仿真。對(duì)比未預(yù)處理和預(yù)處理后頻偏估計(jì)的均方根誤差、方差和估計(jì)范圍這3個(gè)性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及性能分析如下。

4.1 估計(jì)精度

不同的模型長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)的仿真估計(jì)值接近真實(shí)值的速率也不一樣。模型長(zhǎng)度越長(zhǎng)，在低信噪比時(shí)就能更快接近真實(shí)值，但是同時(shí)，計(jì)算的數(shù)據(jù)量也相應(yīng)增大。如圖3歸一化均方根誤差對(duì)比圖所示，在L=128條件下，圖3中未進(jìn)行預(yù)處理的信號(hào)大約在-3 dB的時(shí)候接近真實(shí)值，但是進(jìn)行了預(yù)處理的信號(hào)在-5 dB之前就能夠接近真實(shí)值。其他采樣長(zhǎng)度的信號(hào)臨界值也相應(yīng)地有約2 dB的降低，更好的貼近了現(xiàn)實(shí)環(huán)境下的信號(hào)傳輸。并且從圖3中可以看出，在相同仿真次數(shù)下，去噪后信號(hào)的仿真曲線更加平滑，在接近真實(shí)值附近信號(hào)波動(dòng)減小，更加穩(wěn)定地趨近于真實(shí)值?？傮w來(lái)說(shuō)，去噪后的信號(hào)頻偏估計(jì)性能在精確度上有所提升。

圖3 信號(hào)分別未去噪和去噪后頻偏估計(jì)歸一化均方根誤差對(duì)比

4.2 方差和信噪比門限

如圖4所示，M&M算法頻偏估計(jì)的信噪比門限值非常明確，高于門限范圍的估計(jì)值極其接近MCRB，但是低于門限范圍的估計(jì)值就極大地遠(yuǎn)離MCRB。在L=128的條件下，圖4中未進(jìn)行預(yù)處理的信號(hào)信噪比門限約為-2 dB；進(jìn)行了去噪的信號(hào)信噪比門限約為-5 dB，降低了3 dB；其他采樣長(zhǎng)度下，信噪比門限也相應(yīng)有大約2～3 dB的降低。并且在低于信噪比門限時(shí)，圖4中進(jìn)行了預(yù)處理的信號(hào)雖然遠(yuǎn)離MCRB，但是其相比于未預(yù)處理信號(hào)，歸一化方差降低了約一個(gè)數(shù)量級(jí)，表示估計(jì)數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定?？傮w來(lái)說(shuō)，去噪后的信號(hào)頻偏估計(jì)性能在穩(wěn)定性上有所提升。

圖4 信號(hào)分別未去噪和去噪后頻偏估計(jì)歸一化方差對(duì)比圖

4.3 估計(jì)范圍

如圖5所示，進(jìn)行了去噪預(yù)處理的估計(jì)范圍比原估計(jì)范圍有一定程度的提升。雖然去噪后的信號(hào)進(jìn)行頻偏估計(jì)，并沒(méi)有改變M&M算法的原理和方式，但是新算法成功降低了信噪比門限，因此在新門限附近，原算法的估計(jì)范圍已經(jīng)極不穩(wěn)定，而新算法依然能保持較大估計(jì)范圍。M&M算法在頻率與相位增量之間建立關(guān)系而不是直接在頻率與相位之間建立關(guān)系的思想，相比于其他經(jīng)典算法有著更高的估計(jì)范圍[16]，因此新算法也有著相同的高估計(jì)范圍。

圖5 信號(hào)分別未去噪和去噪后頻偏估計(jì)歸一化范圍對(duì)比

5 結(jié) 語(yǔ)

論文首先利用奇異值分解技術(shù)對(duì)含有噪聲的復(fù)信號(hào)進(jìn)行降噪，再對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行經(jīng)典的M&M頻偏估計(jì)。相比其它算法，本文提出的SVD-MM算法雖然計(jì)算復(fù)雜度有所增加，不過(guò)隨著硬件處理能力的提高，利用FPGA等完成SVD去噪已經(jīng)非常便捷，計(jì)算復(fù)雜度已不是制約算法性能的瓶頸。

通過(guò)Matlab仿真驗(yàn)證，該方法可以獲得更低的信噪比門限、更低的差錯(cuò)概率，并基本保持原本較大的估計(jì)范圍不變。在環(huán)境復(fù)雜、干擾因素較多的現(xiàn)實(shí)通信過(guò)程中，降低1dB甚至2dB的信噪比門限，對(duì)低信噪比環(huán)境下突發(fā)信號(hào)載波同步的實(shí)現(xiàn)意義重大，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

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Research of SVD in Carrier Synchronization Technology

YANG Han-zhu，LI Guang-xia，ZHAO Lu-wen，ZHANG Jing-yi

(Communication Engineering College,PLA University of Science and Technology,Nanjing Jiangsu 210007,China)

In order to improve the performance of carrier frequency offset estimation algorithms in burst-mode communication, and reduce the SNR threshold in effective estimation, a new frequency offset estimation method based on singular value decomposition is proposed. Firstly, this method transforms the primal signal into matrix via a relevant reflection, and then implements singular value decomposition of the matrix. Secondly, the several fairly large singular values are determined as signal characteristic for reservation or otherwise as noise characteristic turning into zero. Thirdly, based on the new singular values the analog signals are reconfigured .Finally, M&M frequency offset estimation is done on the preprocess signals. Experiment results show that, as compared with traditional algorithm, the proposed method could raise the estimation precision, reduce the SNR threshold, and thus is of certain practical value.

burst-mode communication; frequency offset estimation; singular value decomposition

2015-04-01；

2015-07-20 Received date:2015-04-01；Revised date：2015-07-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.91338201);中國(guó)博士后科學(xué)基金(No.2013M542485)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.9133201);China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M542485)

TN927.2

A

1002-0802(2015)09-1004-06

楊晗竹(1991—)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、衛(wèi)星導(dǎo)航等;

李廣俠(1964—)，男，碩士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、衛(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星測(cè)控等;

趙陸文(1977—)，男，博士，講師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、衛(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星測(cè)控等;

張敬義(1989—)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ趴垢蓴_。

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.09.005