孫志民，趙 珺，王 偉

（大連理工大學 控制科學與工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

磨礦分級過程是整個選礦廠生產工藝流程中關鍵的環(huán)節(jié).磨礦作業(yè)直接關系到選礦生產的處理能力，磨礦產品的質量對后續(xù)浮選作業(yè)乃至整個選礦廠的經濟技術指標也有很大的影響［1］.選礦廠為達到控制指標，需要經常調節(jié)控制量，頻繁且大范圍的變化易導致設備穩(wěn)定性變差，影響生產安全.所以，有效地限制控制量的變化至關重要.

磨礦過程具有非線性，大時滯時變特性，現(xiàn)場當前主要采用的是常規(guī)PID 控制.此類方法在大的干擾量、工況發(fā)生改變時，難以實現(xiàn)理想的控制效果［2－4］.預測控制是一種以閉環(huán)優(yōu)化模型為基礎的控制策略，采用模型預測、在線的滾動優(yōu)化和反饋校正等方法，能有效地克服被控過程的不確定性、非線性和關聯(lián)性，在工業(yè)過程控制中獲得了大量成功的應用［5－7］.在預測控制方法中，預測模型的精度對控制效果起到至關重要的作用.支持向量機基于統(tǒng)計學理論，具有較強的逼近能力和泛化能力［8－10］.但是，上述方法僅追求控制效果，而忽略了對控制量的考慮，控制量大范圍的變化勢必會加速控制設備的磨損，而且也會帶來較高的能量消耗.如何在保證良好控制效果的同時，盡量減小控制量的變化率越來越被人們所重視.

本文提出一種基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化（Gaussian search based improved particle swarm optimization，G－IPSO）算法，該算法改變傳統(tǒng)粒子群的種群初始化策略，將粒子群以控制量初始值為中心進行高斯分布，增加在小范圍內尋優(yōu)的概率；并且改變傳統(tǒng)粒子群的速度更新方式，將控制量初始值引入速度更新公式，將該算法融合到最小二乘支持向量機（least square support vector machine，LS－SVM）預測控制中，構建磨礦系統(tǒng)預測控制器.

1 問題描述

磨礦分級過程是將粗礦粒磨細并將粗細礦粒分離的工業(yè)過程，為浮選作業(yè)提供濃細度合適的礦漿.其工業(yè)過程如圖1所示，它是由一個溢流型球磨機、一個變速率的渣漿泵和一個水力旋流器所組成的標準的磨礦回路.礦石經過給礦皮帶進入球磨機進行研磨，球磨機中的礦漿經過渣漿泵打到旋流器進行分離，旋流器的溢流進入后續(xù)的浮選作業(yè)，旋流器的返砂返回到球磨機再次研磨.回路中存在兩個固有的控制環(huán)節(jié)，一個是通過調整渣漿泵的速率來保持泵池液位的恒定，另一個是通過調整給礦水來保持球磨機磨礦濃度的穩(wěn)定.

圖1 磨礦過程流程圖Fig.1 Schematic diagram of grinding process

選礦廠為了使磨礦粒度、濃度、磨機處理量等控制目標達到良好的控制效果，需要不斷地調整給礦量、泵池補加水等控制量，控制器機械結構大范圍的變化必然影響設備的穩(wěn)定性，耗能且影響生產安全.如何既保證良好的控制效果，又能最大限度地限制控制量的變化，是一個亟需解決的問題.LS－SVM 作為一種通用函數(shù)逼近器可以以任意精度逼近非線性系統(tǒng)，具有很強的泛化能力，是非線性系統(tǒng)建模的有力工具.支持向量機預測器建立了非線性被控對象的預測模型，可以根據當前系統(tǒng)的控制信息預測出被控對象在未來的輸出值.再通過設計系統(tǒng)的優(yōu)化性能指標，利用非線性優(yōu)化控制器即可求出較優(yōu)的控制量.模型預測控制中的滾動優(yōu)化是一個求解非線性約束優(yōu)化問題的過 程，粒 子 群 優(yōu) 化（particle swarm optimization，PSO）是近年來發(fā)展起來的一種多變量隨機尋優(yōu)搜索方法，能快速有效地解決預測控制器設計中的目標函數(shù)優(yōu)化問題［11－13］.本文采用的LSSVM 模型預測控制的結構如圖2所示.

圖2 基于PSO 優(yōu)化的LS－SVM 模型預測控制結構圖Fig.2 Structure diagram of LS－SVM model predictive control based on PSO

2 算法介紹

粒子群算法是一種基于種群的隨機優(yōu)化算法.設粒子群體規(guī)模為L，粒子i表示為popi＝（ui，F(xiàn)i），0＜i≤L，其中ui＝（ui1ui2…uim）表示粒子i的位置向量，F(xiàn)i表示粒子i的當前適應值向量.設粒子i的速度向量為vi＝ （vi1vi2…vim）.種群的初始位置為ui＝（umin1＋r（umax1－umin1）umin2＋r（umax2－umin2） …uminm＋r（umaxm－uminm）），r為［0，1］間的隨機數(shù).在第t次迭代，粒子i的速度、位置、慣性權重的調整公式為［14］

式中：c1、c2為加速因子；r1、r2為［0，1］間的隨機數(shù)；Fbi＝（Fbi1Fbi2…Fbim），表示粒子i所經歷過的歷史最好位置；Fg＝（Fg1Fg2…Fgm），表示整個粒子群中所有粒子發(fā)現(xiàn)的最好位置，即粒子群優(yōu)化獲得的控制量.

然而，傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化在初始化粒子群時，每個粒子被隨機分散到控制量的變化范圍內，然后再進行搜索.由于每次的求解控制量沒有與前一時刻的控制量建立聯(lián)系來限制控制量的變化，可能導致控制量的變化率很大.顯然，減小控制量的變化率可以對安全生產提供保障，以及延長控制器的使用壽命.本文提出了高斯區(qū)域搜索的改進粒子群優(yōu)化來求解控制變量.所提出的優(yōu)化算法為了能達到既盡量限制控制量變化率又能保證控制效果的目標，須加強粒子群的局部搜索能力，盡量在初始值附近搜索到最優(yōu)解.為此，將上一時刻的控制量考慮在內，將其作為粒子群的高斯中心，粒子群以高斯分布形式散落在搜索區(qū)域內，從粒子群中心開始向外搜索.搜索的迭代過程中，修改粒子群的速度更新方式，以使搜索始終有指向粒子中心的向心力，直到目標函數(shù)值滿足所設定的閾值或者達到最大迭代次數(shù).

2.1 基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化

2.1.1 高斯分布搜索 本文設計了一種擴散算子并將其引入粒子群優(yōu)化算法.該擴散算子是一個變異算子，采用高斯變異技術.設種群中粒子位置初始值為u（k）＝（u1（k）u2（k） …un（k）），經擴散操作后的粒子位置u′（k＋1）＝（u′1（k＋1）u′2（k＋1） …u′n（k＋1））.則擴散算子由式（2）表示：

其 中i＝1，2，…，n，δ′i為正態(tài)分布的標準差，Ni（0，δ′i）為一個服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，其均值為0，標準差為δ′i.由于正態(tài)分布的隨機數(shù)在均值附近取值的概率較大，u′（k＋1）得到一個小步長變化量的概率較大.換句話說，粒子將在初始值附近進行一次局部搜索的概率很大.利用式（2）初始化粒子群，有利于在小范圍內搜索到最優(yōu)解.

2.1.2 改進粒子群優(yōu)化 為了增強粒子群優(yōu)化的搜索能力，本文對粒子群速度更新方式進行了改進.在基本的速度更新方式中，粒子的局部最優(yōu)與全局最優(yōu)對粒子的狀態(tài)影響較大.在迭代過程中，粒子通過跟蹤這兩個“極值”來持續(xù)更新自己，以使自己向“極值”方向靠攏.本文將初始值u（k）引入速度更新公式，由式（3）表示：

此改進加強了初始值對粒子運行路線的干預程度，和局部最優(yōu)與全局最優(yōu)一樣起到對粒子的“拉拽”作用，使得粒子在搜索最優(yōu)解的同時，能兼顧搜索步長的極小化.

2.2 初始解的生成

若初始種群中存在有最優(yōu)解或者次最優(yōu)解，算法會以較高效率收斂并停止.為減小粒子群優(yōu)化的求解時間，加快優(yōu)化計算速度，本文對初始種群的產生過程做出改進，所提方法的核心思想是借用上一時刻的控制量來產生優(yōu)質種群，不只是簡單地隨機生成初始種群.

在第一步求解控制量時因為沒有“種子”信息，可以高斯隨機地產生全部初始種群進行計算.在求解過程中，將上一時刻k優(yōu)化結果中的后P－1個控制量左移一位，最后一個控制量高斯隨機生成，構成k＋1時刻的一個初始粒子（如圖3所示）.這種方法在保證了初始群體中存在優(yōu)良種子個體的同時保證群體的多樣性，可以加快算法收斂的速度，減少求解時間.

圖3 初始粒子的產生Fig.3 Initialization of particle

2.3 基于G－IPSO 的預測控制器

對一個有d步延遲的非線性被控對象，當輸入控制量為u（k）時，輸出量為y（k＋d），通過被控對象過去的輸入輸出和當前輸入u（k），由LS－SVM 預測器獲得系統(tǒng)的輸出預測值為（k＋d），對于待優(yōu)化的輸入u（k＋1）和上一時刻的輸入輸出，獲得系統(tǒng)的輸出預測值為（k＋d＋1）.系統(tǒng)實際的輸出量和預測值的偏差

用偏差修正（k＋d＋1）進行反饋校正補償：

為一個非線性系統(tǒng)設計優(yōu)化控制器，就是要通過粒子群優(yōu)化算法求得使適應值函數(shù)最小的優(yōu)化控制量.設定控制量的適應值函數(shù)為

式中：m為輸出變量個數(shù)，yr為參考軌跡，yp為經反饋校正后的預測輸出，qi為輸出加權，ri為控制加權，P是控制時域，Δuj（k）＝uj（k）－uj（k－1）.

實際中，為了很好地限制控制量的變化，控制加權的選取就顯得格外重要，常規(guī)手段是經過大量的實驗來確定控制加權系數(shù)，但這具有很強的主觀性.為了避免這種主觀性，又保證對輸入的變化量進行限制，采用本文提出的基于高斯搜索的粒子群優(yōu)化來優(yōu)化控制變量，可以約簡適應值函數(shù)為

2.4 G－IPSO算法步驟

G－IPSO 算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟1 根據上一時刻的控制量u（k），將其作為粒子群的高斯中心，應用2.1.1的方法產生高斯分布的初始粒子群u′（k＋1）.

步驟2 利用產生的粒子群，計算各自的適應值，得出粒子群的全局最優(yōu)Fgm并記錄擁有最優(yōu)適應值的粒子.

步驟3 判斷全局最優(yōu)適應值Fgm是否滿足迭代停止條件.滿足或者達到最大迭代次數(shù)即退出尋優(yōu)過程，并將最優(yōu)粒子作為當前時刻的控制量u（k＋1）作用到控制對象中.

步驟4 根據式（3）更新每個粒子的速度和位置，轉入步驟2.

3 仿真實驗及分析

為了驗證本文算法的有效性，采用兩類問題進行實驗：第一類是對典型多峰值函數(shù)進行控制，多峰值函數(shù)在同一控制目標下會有多個解，適于驗證本文算法的有效性；第二類是工業(yè)過程實驗，在實際工業(yè)應用中也能夠有良好的應用效果.

3.1 多峰值函數(shù)

為顯示基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化算法在約束控制量變化方面的優(yōu)越性，采用文獻［15］的輸入二維的多峰值函數(shù)（式（8））作為仿真模型，并與普通粒子群優(yōu)化進行比較：

其中x∈［－1，1］，y∈［－1，1］.

3.1.1 參數(shù)設置

（1）LS－SVM 預測器中，利用該函數(shù)模型輸入變化幅度為x∈［－1，1］、y∈［－1，1］的隨機信號，仿真得到400組數(shù)據，前300組作為訓練樣本，后100組作為測試樣本，離線訓練最小二乘支持向量機模型.選擇參數(shù)分別為γ＝10，δ2＝0.05.

（2）本文算法優(yōu)化控制器中，設定δ′x＝δ′y＝0.1，P＝3，L＝50，最大迭代次數(shù)為200，閾值Fok＝10－7.

（3）控制目標為正弦函數(shù)yr（k）＝0.8×sin（kπ／20），其中k為仿真步數(shù).仿真總步數(shù)為80.

3.1.2 實驗效果與分析 實驗效果如圖4～6所示.

從圖4可以看出，兩種優(yōu)化方法均能取得很好的控制效果.但是，圖5與6的結果表明傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法的x和y的變化量在搜索范圍內大幅度波動，顯然這對控制器來說是不利的.而基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化算法的x和y的變化量均在小范圍內小幅度波動，實驗結果能夠說明基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化能在保證控制效果的前提下，對x和y的變化率起到明顯的約束作用.

圖4 f（x，y）在兩種優(yōu)化方法下的閉環(huán)響應Fig.4 The closed－loop response of f（x，y）by two kinds of optimization methods

圖5 兩種優(yōu)化方法下x 的變化量Fig.5 The variation of xin two kinds of optimization methods

圖6 兩種優(yōu)化方法下y 的變化量Fig.6 The variation of yin two kinds of optimization methods

另外，鑒于粒子群優(yōu)化算法是隨機優(yōu)化算法，為了比較傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法和采用本文的基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化算法的效果，本文給出多次實驗的平均控制量變化率作為比較指標.

其中T代表仿真的總步數(shù)，u代表x或y.分別按照兩種方法做了10組對比實驗，得到的控制量平均變化率如表1所示.

表1 傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化和本文算法控制多峰值函數(shù)的控制量變化率效果對比Tab.1 Comparative results of the control variable changing rate on multi－modal function between classic PSO and G－IPSO

從表1中可以明顯看出，與傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化搜索策略相比，在使用本文優(yōu)化算法之后，x、y的變化率都明顯降低，針對f（x，y）模型，控制量x和y的平均變化率均大幅度減小，說明本文算法限制操作變量變化幅度的效果非常明顯.

3.2 工業(yè)模型

文獻［16］給出了某實驗型球磨機磨礦回路在某工況下的動態(tài)特性.在此模型中控制變量為球磨機給礦速率u1和泵池補水速率u2；兩個被控變量為溢流中通過104μm 孔徑的磨礦粒度質量分數(shù)y1和磨機排礦率y2.通過階躍響應測試磨礦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型如式（10）所示：

3.2.1 參數(shù)設置

（1）Matlab 仿真中，仿真采樣時間 取0.5s［17］.為模擬現(xiàn)場情況，在控制量加載時疊加方差為0.01的高斯噪聲.

（2）LS－SVM 預測器中，利用該磨礦系統(tǒng)的離散模型輸入變化幅度為u1∈［0，1］、u2∈［0，1.2］的隨機信號，仿真得到1 000 組數(shù)據.本文將前800組作為訓練樣本，后200組作為測試樣本，離線訓練粒度和磨機處理量的最小二乘支持向量機模型.選擇參數(shù)分別為γ＝50 000，δ2＝50和γ＝20 000，δ2＝100.

（3）本文算法優(yōu)化控制器中，設定δ′x＝δ′y＝0.1，P＝3，L＝70，最大迭代次數(shù)500，閾值Fok＝10－6.

3.2.2 仿真結果與分析 采用基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化的系統(tǒng)跟蹤粒度設定值和磨機排礦速率設定值的控制效果如圖7～10所示.

從圖7和8可以看出，即使工作點變化較大，采用本文提出的基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化的預測控制器也可以無超調地跟蹤設定值的變化，并且具有足夠快的響應速度.而且，從圖9和10可以看出大幅度地切換設定值不會導致控制量的突變.由于粒子群優(yōu)化算法是隨機搜索算法，控制系統(tǒng)輸出存在很小的靜態(tài)誤差.

圖7 磨礦粒度的閉環(huán)響應Fig.7 The closed－loop response of grinding size

圖8 磨機處理量的閉環(huán)響應Fig.8 The closed－loop response of mill throughput

為了驗證該控制器的抗干擾能力，在仿真第20步時加入給礦干擾，使給礦量變化0.1；在仿真第40步時加入補加水干擾，使補加水變化0.1，仿真結果如圖11～14所示.

圖9 給礦速率的閉環(huán)響應Fig.9 The closed－loop response of fresh feed rate

圖10 泵池補加水的閉環(huán)響應Fig.10 The closed－loop response of water addition rate to the sump

圖11 干擾條件下磨礦粒度的閉環(huán)響應Fig.11 The closed－loop response of grinding size under interference

從圖11和12可以看出，磨礦粒度和磨機處理量的實際值均出現(xiàn)了一定量的擾動，但整個系統(tǒng)并沒有受到較大的影響，擾動過后迅速恢復正常，說明該預測控制器對系統(tǒng)的擾動具有良好的魯棒性.而且，從圖13和14可以看出，在系統(tǒng)受到擾動，控制量波動后迅速恢復小范圍的變化.

圖12 干擾條件下磨機處理量的閉環(huán)響應Fig.12 The closed－loop response of mill throughput under interference

圖13 干擾條件下給礦速率的閉環(huán)響應Fig.13 The closed－loop response of fresh feed rate under interference

圖14 干擾條件下泵池補加水的閉環(huán)響應Fig.14 The closed－loop response of water addition rate to the sump under interference

為了比較未加操作變量變化限制和采用本文算法的效果，同圖7、8的控制要求，以式（9）作為比較指標，分別按照兩種算法做了10 組對比實驗，得到的平均控制量變化率如表2所示.

從表2中明顯看出，與傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化搜索策略相比，在使用本文算法后，u1、u2變化率都明顯降低，說明該算法對復雜的工業(yè)系統(tǒng)的操作變量亦有優(yōu)越的約束能力，具有良好的應用前景.

表2 傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化和本文算法控制磨礦過程的控制量變化率效果對比Tab.2 Comparative results of the control variable changing rate on grinding process between classic PSO and G－IPSO

4 結 語

為限制預測控制中控制變量的變化幅度，又能保證控制效果，本文提出一種基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化算法，并將此算法與LS－SVM 相融合建立非線性預測控制器.仿真結果表明該算法在對球磨機磨礦回路進行控制中能夠取得滿意的控制效果，控制器具有很快的響應速度和較高的魯棒性.證明本文提出的基于高斯搜索的改進粒子群優(yōu)化，與傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化相比，能夠有效地約束控制量的變化.

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