趙美中，朱家明，李 哲，汪 曉

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)， 安徽 蚌埠 233030）

“嫦娥三號(hào)”于2013年12月14日成功實(shí)現(xiàn)月面著陸，根據(jù)我國的月球探測(cè)計(jì)劃，共分“繞”、“落”、“回”三個(gè)階段。在“落”這個(gè)階段，共需750秒，分為6個(gè)過程：主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩速下降和自由落體。本文旨在研究如何準(zhǔn)確定位“嫦娥三號(hào)”的下落位置以及“嫦娥三號(hào)”下降過程中燃料消耗最小。本文利用圖像的二值化法對(duì)落月位置進(jìn)行了準(zhǔn)確定位并創(chuàng)造性地定義了燃料能耗靈敏度表達(dá)式，以此建立了耗能最低的靈敏度分析模型。(1)

一、“嫦娥三號(hào)”近月點(diǎn)位置確定

（一）主下降階段動(dòng)力學(xué)仿真模型[1]

1.坐標(biāo)系的建立

定義參考慣性坐標(biāo)系OXrYrZr：原點(diǎn)O位于月球中心，Zr軸由月心指向初始軟著陸點(diǎn)，Xr軸位于環(huán)月軌道平面內(nèi)且指向前進(jìn)方向，Yr軸與Xr，Zr軸構(gòu)成坐標(biāo)系。

定義下降軌道參考坐標(biāo)系Ox0y0z0：原點(diǎn)O位于著陸探測(cè)器質(zhì)心，z0軸由月心指向著陸探測(cè)器質(zhì)心為正，x0軸位于當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)且指向著陸器前進(jìn)方向，y0軸與x0和z0軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系。兩個(gè)坐標(biāo)系的示意以及著陸器在坐標(biāo)系中的位置，如圖1所示。

圖1 軟著陸坐標(biāo)定義圖

2.模型的構(gòu)建

（1）定義推力方位角φ繞正軸z0旋轉(zhuǎn)為正，推力仰角θ繞負(fù)y0軸旋轉(zhuǎn)為正。分別用U，V，W表示著陸器的下降速度，在坐標(biāo)系ox0y0z0三軸上的分量，即

（2）引入質(zhì)量方程，可利用球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系，得到下降軌道參考坐標(biāo)系下的主下階段下落軌跡模型：

（二）近月點(diǎn)初始下降位置確定模型

1.著陸器位置的表示

由建立的主下降階段動(dòng)力學(xué)仿真模型，可將著陸器位置表示如下：

其中r為著陸探測(cè)器矢徑；αL為著陸探測(cè)器在赤道坐標(biāo)系的經(jīng)向坐標(biāo)；著陸探測(cè)器在赤道坐標(biāo)系的緯向坐標(biāo)為90-βL。

2.模型的構(gòu)建

（1）建立 αL，βL的表達(dá)式：

3.結(jié)果的分析

綜合以上兩個(gè)模型，代入月球參數(shù)，可以得到著陸器在著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)的位置為：20.0464°W，31.9989°N，14.8 km。本文雖然只給出了近月點(diǎn)下落位置的確定方法，但我們可以利用主下降階段動(dòng)力學(xué)仿真模型和初始下降位置確定模型，求得著陸器在遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置為：20.0464°E，31.9989°S，99.6 km。[2]

聯(lián)立（2）、（3）式，求得：

赤道坐標(biāo)系的經(jīng)向、緯向坐標(biāo)變化量為：

（2）代入經(jīng)緯度表達(dá)式：

二、基于Matlab的落月點(diǎn)定位

經(jīng)過主減速和快速調(diào)整兩個(gè)階段后，“嫦娥三號(hào)”將對(duì)落月位置進(jìn)行精確定位。此時(shí)我們利用圖像二值化方法對(duì)粗避障和精避障兩個(gè)階段進(jìn)行分析。

（一）粗避障和精避障的三維成像

利用Matlab軟件對(duì)給出的著陸探測(cè)器距離月球2 400 m和100 m時(shí)的數(shù)字高程圖進(jìn)行編程，所得三維成像圖，如圖2、圖3所示。

圖2 距月球表面2 400 m的高程三維成像圖

圖3 距月球表面100 m的高程三維成像圖

從圖2中可以看到，圖像中心所處地周圍都被月球凸脊和凹坑所圍繞，并非是最佳的著陸地點(diǎn)，因此如何對(duì)著陸探測(cè)器的下降位置進(jìn)行調(diào)整控制就非常重要。

從圖3中可以看到，距離著陸探測(cè)器下方有個(gè)比較大的凹坑，考慮到著陸探測(cè)器自身體積以及降落軌道的誤差，因此著陸探測(cè)器在降落時(shí)應(yīng)盡量避開此凹坑。

（二）粗避障階段的二值化處理及準(zhǔn)確定位

運(yùn)用Matlab7軟件對(duì)給出的距月球2 400 m時(shí)的數(shù)字高程圖進(jìn)行編程并對(duì)下落區(qū)域進(jìn)行初步篩選。所得圖像如圖4、圖5所示。

圖4 處理后的2 400m高程圖

圖5 2 400 m處理想落點(diǎn)示意圖

針對(duì)圖4中的每一個(gè)像素點(diǎn)定位一個(gè)坐標(biāo)，建立一個(gè)X和Y軸均為2 400個(gè)單位的坐標(biāo)系，每個(gè)像素的距離為1 m。其中白色部分的RGB值為1，1，1，表示該落月面不平滑。黑色部分的RGB值為0，0，0，表示該落月面平坦，為較優(yōu)的降落位置。另外考慮到著陸探測(cè)器體積大小以及在下降過程中可能產(chǎn)生的軌道誤差，認(rèn)為降落地點(diǎn)應(yīng)位于離著陸探測(cè)器最近且平坦面積相對(duì)較大的一片區(qū)域，如圖5中藍(lán)色邊框區(qū)域所示。

結(jié)果分析：從圖5中可以得到，著陸探測(cè)器此時(shí)所處的位置為（1 150，1 150），理想著落點(diǎn)矩形區(qū)域的中點(diǎn)坐標(biāo)為（600，1 650），通過幾何關(guān)系可得探測(cè)器距理想著陸點(diǎn)的直線距離為m，方向朝西南方向與X軸的夾角為42.274°。[3]

（三）精避障階段的二值化處理及準(zhǔn)確定位

同粗避障階段的處理方式，利用Matlab7軟件對(duì)給出的著陸探測(cè)器距離月球處時(shí)的數(shù)字高程圖進(jìn)行編程并對(duì)下落區(qū)域進(jìn)行初步篩選。所得圖像如圖6、圖7所示。

圖6 處理后的100 m高程圖

圖7 理想落點(diǎn)區(qū)域示意圖

同粗避障階段的處理方式，針對(duì)圖6中的每一個(gè)像素點(diǎn)定位一個(gè)坐標(biāo)，建立一個(gè)X和Y軸均為1 000單位的坐標(biāo)系，每個(gè)像素的距離為0.1 m。此時(shí)若假設(shè)坐標(biāo)系中點(diǎn)（500，500）的位置即著陸探測(cè)器拍攝照片時(shí)所在的位置，如圖6所示。由圖6可看出，著陸探測(cè)器此時(shí)的位置位于凸脊的上方，無法進(jìn)行降落，因此，綜合考慮著陸探測(cè)器所在高度以及可移動(dòng)的操作空間，認(rèn)為距離此時(shí)著陸探測(cè)器位置最近的平坦空間即為著陸探測(cè)器的最佳降落區(qū)域，如圖7所示。

結(jié)果分析：從圖7中可看出，著陸探測(cè)器所處位置的坐標(biāo)為（500，500），理想著陸點(diǎn)矩形區(qū)域的中點(diǎn)坐標(biāo)為（650，300）。利用幾何關(guān)系可求得著陸探測(cè)器所處位置與理想著陸區(qū)中心位置的直線距離為25 m，方向朝東北方向與X軸成53.13°。[4]

三、基于耗能最低的靈敏度分析模型

（一）問題的準(zhǔn)備

積分法化分時(shí)間：將探測(cè)器軟著陸時(shí)間分解為無數(shù)個(gè)極小的 Δt，取其中一段 Δt，使得任意 ε＞0，均有Δt＜ε。因此，在Δt時(shí)間內(nèi)，探測(cè)器的質(zhì)量、加速度和所受的推力均不變，且探測(cè)器的位移是一條直線。

（二）問題的求解

1.建立模型

要使軟著陸全程燃料耗能最低，則只需使每一個(gè)Δt時(shí)間段內(nèi)的燃料耗能最小即可。設(shè)在該Δt時(shí)間段內(nèi)，探測(cè)器的初始速度為v1，末速度為vt，消耗的燃料能量為E，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)知識(shí)以及能量守恒的定理，可建立以下非線性模型：所要求的目標(biāo)函數(shù)為：

2.定義燃料靈敏度表達(dá)式

在控制變量Δt、v1、α不變的條件下，增大或改變F的值對(duì)E產(chǎn)生的影響可通過定義燃料耗能的靈敏度，即：

上述定義式中，δ表示燃料耗能的靈敏度，ΔF表示推力F的該變量的絕對(duì)值大小，ΔE表示在改變推力的情況下燃料耗能的改變值。

（三）模型的結(jié)論

由靈敏度分析得，隨推力F和探測(cè)器加速度的增大，在相同Δt內(nèi)，通過的位移l也增大，因此產(chǎn)生更多的內(nèi)能Q。由于所受月球的重力勢(shì)能減少得更快，因此推力的增大會(huì)增加燃料的耗能。通過靈敏度的定義式計(jì)算可得，推力每增加一單位，燃料耗能就多增加個(gè)單位。

四、結(jié)論

本文將參考慣性坐標(biāo)系、下降軌道參考坐標(biāo)系兩種參考坐標(biāo)系相結(jié)合，使得近、遠(yuǎn)月點(diǎn)下降位置的確定更加準(zhǔn)確可靠。另外還靈活借助積分的思想，將運(yùn)動(dòng)的全過程分解為無數(shù)個(gè)小階段，簡(jiǎn)化了變量參數(shù)的計(jì)算，并且通過定義具體的靈敏度表達(dá)式將敏感性分析問題用定量的形式表達(dá)出來，簡(jiǎn)潔實(shí)用。文中所構(gòu)建的近、遠(yuǎn)月點(diǎn)位置確定模型，基于Matlab7的精確定位模型以及基于燃料能耗最低的靈敏度分析模型，也適用于地球衛(wèi)星和火星等星球的探測(cè)器的發(fā)射相關(guān)過程的求解，從而可以促進(jìn)更好地利用環(huán)地衛(wèi)星為人們服務(wù)，提高人們的生活質(zhì)量，也可以為人類探索外太空提供可靠的參考思路。

注 釋：

（1）2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題（2014-09-22）[2014-09-12].http://www.mcm.edu.cn.

[1]蔡艷芳.月球探測(cè)器軟著陸制導(dǎo)控制方法研究[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)碩士論文，2006.

[2]卓金武.Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

[3]王鵬基，張熇，曲光吉.月球軟著陸飛行動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)控制建模與仿真[J].中國科學(xué)，2009（3）：522-523.

[4]張洪華，梁俊，黃翔宇，等.“嫦娥三號(hào)”自主避障軟著陸控制技術(shù)[J].中國科學(xué)，2014（6）：559-561.