李玉山

(菏澤學(xué)院物理系，菏澤274015)

1 引 言

玻色氣體由于在一定的條件下能夠展現(xiàn)出超導(dǎo)、超流、玻色–愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)等奇特現(xiàn)象而成為凝聚態(tài)物理研究的熱點(diǎn)之一. 在各種類(lèi)型的勢(shì)阱及外場(chǎng)約束下，玻色氣體所表現(xiàn)出的相變特征和磁學(xué)性質(zhì)更是人們關(guān)注的重點(diǎn). 前人的研究大多集中于單純勢(shì)阱約束的玻色氣體［1-3］、磁場(chǎng)中的荷電自旋-1 玻色氣體［4，5］、磁場(chǎng)和勢(shì)阱中不考慮自旋-磁場(chǎng)作用的玻色氣體［6-8］等方面，關(guān)于自旋-磁場(chǎng)作用究竟會(huì)如何影響磁場(chǎng)和勢(shì)阱中玻色系統(tǒng)的相變和磁性質(zhì)的研究很少見(jiàn)到報(bào)道. 電荷自由度和自旋自由度都將會(huì)對(duì)磁場(chǎng)和勢(shì)阱中的荷電玻色氣體相變和磁性產(chǎn)生重要影響，電荷自由度將導(dǎo)致朗道抗磁性，自旋自由度則會(huì)引起泡利順磁性，兩種作用的相互競(jìng)爭(zhēng)下系統(tǒng)將會(huì)呈現(xiàn)怎樣的性質(zhì)是我們本文關(guān)注的重點(diǎn).

近年來(lái)，人們對(duì)超導(dǎo)體層狀結(jié)構(gòu)及磁性薄膜材料的關(guān)注，激發(fā)了人們對(duì)于低維玻色系統(tǒng)的興趣，因此研究低維系統(tǒng)對(duì)于開(kāi)發(fā)新材料和器件也有著重要的物理意義［9-13］. 本文選取的研究模型為勻強(qiáng)磁場(chǎng)和簡(jiǎn)諧勢(shì)阱約束的二維自旋-1 理想荷電玻色氣體，研究的重點(diǎn)為電荷-磁場(chǎng)和自旋-磁場(chǎng)作用的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)BEC 相變和磁性質(zhì)的影響.研究方法為截?cái)嗲蠛头ê桶虢?jīng)典近似相結(jié)合，并將所得結(jié)果與磁場(chǎng)和簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中不考慮自旋-磁場(chǎng)作用的玻色系統(tǒng)進(jìn)行比較.

2 物理模型及解析推導(dǎo)

將質(zhì)量為m，電量為q，自旋為1 的理想玻色系統(tǒng)，置于各向同性簡(jiǎn)諧勢(shì)阱和z 軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中. 該模型所對(duì)應(yīng)的單粒子哈密頓和能譜可表示為

式中，ω0和ωL分別代表勢(shì)阱頻率和Larmor 頻率，ωs= μsB/? 為自旋引起的角頻率.·為內(nèi)稟磁矩=(mc)與外磁場(chǎng)→B 的相互作用能，→S為自旋算符. ^lz是角動(dòng)量在z 軸方向的投影，→A 是磁場(chǎng)→B 對(duì)應(yīng)的矢量勢(shì). 量子數(shù)n = 0，1，2，...;ml= 0，±1，±2，... ;ms= -1，0，1.

當(dāng)系統(tǒng)熱能量遠(yuǎn)大于能級(jí)間隔時(shí)，也可采用半經(jīng)典近似研究該模型，將分立能譜看成連續(xù)譜，對(duì)量子數(shù)的求和用對(duì)量子數(shù)的連續(xù)積分來(lái)代替，此時(shí)激發(fā)態(tài)粒子數(shù)可化簡(jiǎn)為

臨界溫度之下，凝聚在基態(tài)的粒子所占的比例為

代表玻色分布函數(shù). 半經(jīng)典近似下，

3 結(jié)果及討論

首先對(duì)截?cái)嘟品ㄗ隹煽啃苑治觯M(jìn)而給出求和量子數(shù)取何值時(shí)，截?cái)囗?xiàng)數(shù)能夠達(dá)到系統(tǒng)要求. 為計(jì)算和表述方便，用nmax來(lái)統(tǒng)一代替式(4)和(8)中的求和量子數(shù)n 和ml的最大值，即定義n ∈［0，nmax］，ml∈［- nmax，nmax］. 假定系統(tǒng)的總粒子數(shù)N 為1000，圖1 給出了BEC 臨界溫度隨nmax倒數(shù)的變化. 當(dāng)1/nmax≤0.005 ，即nmax≥200 時(shí)，開(kāi)始收斂，g 越大，需要更大的nmax才能收斂. 為保證計(jì)算結(jié)果可靠，本文以下的計(jì)算選定nmax= 1000 ，并引入符號(hào)TSA 和SCA 分別表示截?cái)嗲蠛头ê桶虢?jīng)典近似結(jié)果.

圖4 給出了基態(tài)粒子凝聚比例隨溫度的變化關(guān)系，相同磁場(chǎng)不同自旋g 因子的粒子遵循了基本相同的規(guī)律，由插圖可以看出，這種變化規(guī)律也不因磁場(chǎng)的不同而發(fā)生較大的改變.

圖7 給出的自旋g 因子臨界值gc隨溫度和磁場(chǎng)的變化表明半經(jīng)典近似依然不可靠. 截?cái)嘟平Y(jié)果表明，固定溫度下，gc隨磁場(chǎng)增大而增大，弱磁場(chǎng)區(qū)域，gc隨磁場(chǎng)變化比較劇烈，隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng)，增加的趨勢(shì)變緩慢，最終趨于固定值.固定磁場(chǎng)下，gc隨溫度升高而緩慢下降，但下降的趨勢(shì)非常小.

圖1 BEC 臨界溫度 隨1/nmax 的變化( = 0.5 ，N = 1000 )Fig.1 The BEC critical temperature versus the inverse truncated order for = 0.5 and N = 1000

圖2 隨(a)磁場(chǎng) 和(b)自旋g 因子的變化規(guī)律Fig.2 Plots are the BEC critical temperature as a function of (a)magnetic field and (b)spin g-factor

圖3 隨粒子數(shù)N 的變化(= 0.5 )Fig.3 The BEC critical temperature versus the number of particles for= 0.5

圖4 基態(tài)粒子凝聚比例隨溫度的變化，橫軸約化溫度為各自的BEC 臨界溫度. 插圖為不同磁場(chǎng)時(shí)的TSA 值Fig.4 Condensate fraction of ground states versus the temperature. The temperature is scaled by their respective BEC critical temperature. Inset:TSA results for different magnetic field

圖5 磁場(chǎng) = 0.5 時(shí)，磁化強(qiáng)度隨溫度的變化Fig.5 The magnetization versus temperature for magnetic field = 0.5

圖6 磁化強(qiáng)度 隨自旋g 因子的變化:(a)固定磁場(chǎng) = 0.5 ，(b)固定溫度 = 5Fig.6 The magnetization versus the spin g-factor for (a)fixed magnetic field =0.5 and (b)fixed temperature = 5

圖7 自旋因子臨界值gc 隨(a)磁場(chǎng)和(b)溫度的變化Fig.7 The critical value of spin factor gc versus (a)magnetic field and (b)temperature

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)磁場(chǎng)和勢(shì)阱中二維自旋-1 理想荷電玻色氣體的研究，給出低維玻色系統(tǒng)的相變特征和磁性質(zhì). 自旋-磁場(chǎng)作用能夠增強(qiáng)BEC 臨界溫度，而電荷-磁場(chǎng)作用會(huì)降低BEC 臨界溫度，二者的競(jìng)爭(zhēng)將導(dǎo)致BEC 臨界溫度隨磁場(chǎng)先略微上升后緩慢下降. 自旋效應(yīng)并不明顯改變BEC 臨界溫度隨粒子數(shù)的變化及基態(tài)粒子凝聚隨溫度的變化.引入自旋g 因子來(lái)描述系統(tǒng)的順磁性效應(yīng)，隨著g 的增加，磁化強(qiáng)度呈現(xiàn)抗磁性到順磁性的轉(zhuǎn)變.gc受溫度影響較小，但隨外磁場(chǎng)的增大而增大，最終趨于某一固定值.

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